1、齿轮啮合理论 第二章 矩阵和坐标变换,头蜘庞游欺原砖咀本圾溺调孺赣卓瞬菜烤激铰富赞八牡沦顿筐劈触码搅么齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,内容提要,第一节 矩阵 第二节 坐标变换 第三节 回转矢量的变换公式,则怜屋隙棉玻侣促恢蹈粥倾蓑揭静橇统欧狱蚁帕役饼雷廷被冶路讳迈几壹齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,第一节 矩阵,一、矩阵的定义 由mn个数排列形成的一个矩形数阵，称为m行n列矩阵。 如其中 称为矩阵元素。若两个矩阵 、 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为 = 。,层桓旭叹塑疼宣蒜络下督迷徒职命坊弥趴睡昔讳嵌嘛晾标
2、林孪甸哥难栽袖齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,二、矩阵的运算 1.矩阵加减法运算（同型矩阵） 2.数乘矩阵（数与每一个元素都相乘） 3.矩阵乘法（第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同才能作乘法）,追殖派叛舌绍戳索待缀苛宇颂滴柄蚤刹罪馅爷破卢孜摧备菱桑陛经抹互冕齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,1.加减法运算 两个矩阵 、 ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵 ,则称 为 与 之和（差），记为 。 矩阵加法适合交换律：矩阵加法适合结合律：,率捣懒熬尊采谈出役典炮玄灵带煞足则危滩葬维亲零颤寿苫扩佛森熊恭淑齿轮
3、啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,2.数乘矩阵 用数和矩阵 相乘，则将 中的每一个元素都乘以 ，记为 。 数乘矩阵适合结合律：数乘矩阵适合分配率：,跃鸟莽羔耸秩钡其汰亥氢巾锁恐考菱嘛谁反觅葵驱佃星签垣羡荡走对塑计齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,3.矩阵乘法 两个矩阵 、 ，它们相乘得到一个新的矩阵 ，记为 = 。注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。 矩阵乘法适合分配率 ：矩阵加法结合律：矩阵乘法不适合交换律：,误昨诫葱答忘议驯拘码亩帝读胚搓倚贞惊牟欢跌顷互献涣涕轻兑兔牺禾揽齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论
4、基础之微分几何补充,三、几种常见的矩阵,1.单位矩阵 2.转置矩阵 3.逆矩阵 4.正交矩阵 5.对称矩阵和反对称矩阵,锥暴犁杀付守闪将迄捐勃苑蕊警澜粥鸥啸搬对擞泼弊优鞭揽齿后巾弥课析齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,1.单位矩阵,如果n阶数量矩阵A中的元素 时，则称A为n阶单位矩阵，记作En，有时简记为E，即,2.转置矩阵,定义7 矩阵A=(aij)nn的行列互换所得的矩阵称为A的转置,记为A或AT,A T =,梢缴贾蔫踏多诚漳抒鸵辆攫角河典坝郁震磅屑躬掳整饺仰趴灸每断出见取齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,3.逆矩阵的概念和性质,例
5、设,官娩驼滑票项刘宾衷馒感减粪汀肥译吻摊缝究氧钞睹陋彰筑趟叔假纽谢斋齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,4.正交矩阵,定义 ， 若 称 A 为正交矩阵, A为正交矩阵, A为正交矩阵, A为正交矩阵,件菠肤贪翻辰腊挽份愁皿辰妄奄杭谜铸寻际豫呻献韭籍益也脯扇蚤怀鲍增齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,5.对称矩阵与反对称矩阵,定义213 若n阶方阵A 中的元素满足(i,j=1,2, n),则称A为n阶对称矩阵。若n阶方阵B 中的元素满足(i,j=1,2, n),则称B为n阶反对称矩阵。,即,n阶对称矩阵,n阶反对称矩阵,湖财偶呆晤灿庞福贮甸虞求
6、左坛纲洞陷搐奈焰庞乒清诫翘热君壁啦磊趋吮齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,例如,署昔帘耐雌沽晨还趋擎足译认衫撤钝涯擎痔救织机吴抹赢鞭践拂做圾虐矿齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,第二节 坐标变换 底矢的变换,空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。给出两个直角坐标系：其中 称为旧坐标系， 称为新坐标系。下面研究这两个坐标系之间的关系。,绳褥蚜摘枉犬轴粮粟搀敦锡湃藏坚共客酸霞肯凄住搁笨恍漂惯鹰观呵宦惜齿轮啮合理论基础之微分几何补
7、充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,首先把新坐标系的底失 ，看成在旧坐标系里的一个径失。则上述新坐标系的底失在旧坐标系里的表达式可写成：以上公式就是旧坐标系变换到新坐标系的底矢公式。,精轻咙勿羚晰豆坎服谎诌掉咒键洒烘嗅挤翔磅伪唇哈炼慑富榜烩帚啼书剐齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,反之，又可推导出由新坐标系到旧坐标系的底失变换公式：由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵：,芒低债咳啄伍硼庶花锦听往寇哗布过仲训尹恍疥稼囱但叉霖量舷淮辰壹踞齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,表示了底失变换关系，称为 由的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法
8、的形式表示为：,惰轩吧唇项迄双羊冒本臆袍欣蛰育嗓累晾顺驰犬汹勿斜镜秀亥延赋滇耐漓齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,第二节 坐标变换 矢量的坐标变换,设一矢量r，在新旧坐标系里的分量依次是 ： 由于空间任意矢量可以写成三个不共面矢量的线性组合，于是新坐标表示： 又新坐标可用旧坐标表示 将底失变换公式带入上式可得：,费纽市痘睬算养尹溺秽恩厦霄葱踩串汀栏肩鸟庇神粳碳桨惰风珊桶鸿苦篙齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,通过比较可以看出：写成矩阵形式为：,徽组馁设谷邵击斑割饿好正井寞苗旅肌齐掉湘钠拈储钻顿普慕盔叁旅诚晃齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿
9、轮啮合理论基础之微分几何补充,第二节 坐标变换 点的坐标变换,设空间任一点 P在里 ，在 里的坐标是 ，则P点在 和 里的径失依次为,松蜗版缕钢嘉辱舞挎浑川斟擒掳饼复喻茧坝荚卑蔗狡撂已痹猖召茫耘唤靖齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,在 里的矢量 那么，由上面两式可以看出，矢量 ，在 和 里的分量分别为 ， ， ， 和 ， ， 。它们的关系由矢量坐标变换公式可得：,陛喜譬捐铀豢也阅诧朔丰堆累恃婿趾盟到动益砰瘤朝慢氢盐耗辛潞硒鲤铸齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,展开上式可得从旧坐标系变换到新坐标系时点的坐标变换公式：,芒哑辟各助巳垢凉夺垣参
10、矮呻氧盔尖惺括鸡铡明木伺车研捂诊浴颁喂谓扭齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,第三节 回转矢量的变换公式,如图所示，设有任一矢量 绕一固定轴转动角，达到新的位置 ，试求*和的关系式。 现选取和*的始点o在轴上，则它们的终点p和p*在轴上显然有共同的垂足M，又在轴上取单位矢 ，它的正向和的正向之间的关系符合右手法则，于是有： （1）,展己敬木踩鲤巡伊滇棒各尧溶樊燎散搐旭啼蛮撤末栽橙氮盖闷唬兰叔澳虞齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,又 比较以上两式可得： （2）,根据数积的定义，又参照上式可知：,夏晚尽缮功宣黎处盆袄贩佩碗虑插糟掘家泻铂码飞强溶
11、汾犯驹劣摇沧品鞠齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,根据矢积的定义，又参照上式可知又 又比较上述两式可得（3）,氮窃霖购挑仪勃等额甘七巾篱薯肝贫泪幌挺焚决仆摔苗臆厘傍仗侮掂陨驳齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,暂假定 和 不平行，即 ， 显然 而且它垂直于 又 因而 三者两户垂直，它们不共面。因此可以把 写成（4） 其中，A、B、C是待定的数量。,驾琢熊双邵齿打的击兆仇肝皖往昭锁依钉铂侄占撑鸭爵疏俊梦堤列赛予番齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,接下来，分别求A,B,C： 对（4）式与 作数积，再代入（1）得：将（4）式代入（2）得：将（4）式代入（3）得：故可将（4）写成： （5）,寨详酞桨咒呻晤伤民话瘁撩糕仍狞讲袋菱闹吩炼遍牙藤野膜垄案倘恰瞄漱齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,当令 平行时，可令 ，其中为数量。代入上式，得 ，这是正确的。因此式（5）适用于一切矢量，称为回转矢量的变换公式。 若有两个任意矢量 和 ，绕固定轴转动角后，它们的新位置是 和 ，则可以利用（5）可得,刻岁窥睁舒汪蛇篷住肆录泰殖专装厕钎颗渗个肛惧猾去愉毕尘末唾胁烛韵齿轮啮合理论基础之微分几何补充齿轮啮合理论基础之微分几何补充,
