1、第四讲 牛吃草问题进阶教学课题：牛吃草问题进阶教学课时：两课时教学目标：1.经历牛吃草问题的探究解决过程，掌握牛吃草问题的一般解题步骤。2.理解牛吃草问题的本质，会将一些常见应用问题转换为牛吃草问题解决。3.通过牛吃草问题的解题模式，初步感受到建立数学模型解决问题的优越性。教学重难点：掌握牛吃草问题解题的一般步骤，学会对一些简单实际问题加以“模型化” 。教学过程：一，故事导入一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。 消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。 ” 消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设
2、货栈起火，您怎么办?”数学家回答：“我把消防栓接 到软管上， 打开水龙，把火浇灭。 ”消防队长说：“完全正确!最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办?”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就 把货栈点着。 ” 消防队长大叫起来：“什么?太可怕了!您为什么要把货栈点着?” 数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。 ”二，新课学习牛顿在其著作普遍的算术(1707 年出版)中提出如下问题：“12 条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21 条公牛在 9 星期吃掉 10由格尔的牧草，问多少条公牛在 18 个星期内吃掉 24 由格尔的牧草？“ （由格尔是
3、古罗马的面积单位，1 由格尔约等于 2,500 平方米）。这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题”。也叫做牛吃草问题牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有 的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量每天（每周）新长出的草的数量。例 1：牧场上长满牧草，每天匀速生长。这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃10 天。问供 25 头牛可吃几天？思路引导:这是一道典型的牛吃草问题，我们首先要明确哪些量是变化的量，哪些
4、是不变的量，这里引导学生去思考解答。根据牛吃草问题的基本解决方法。假设每头牛每天吃的草是“1”份,计算出 10 头牛 20 天吃草的份数和 15 头牛 10 天吃草的份数。抛出问题，让学生思考为什么两种情况下牛吃的草份数不一样，学生回答因为多吃了 5 天多长了一些草。引导学生计算出每天草生长的份数。再提问原来草地上有多少草：牛吃掉的减去后来长的就是原来有的。在知道了这两个重要条件之后，再利用来解决问题。现在有 25 头牛，一边在吃一边在长，相当于是每天吃掉了多少草？然后用原有的草除以每天实际减少的份数求的时间。（1）求草每天的生长量（1020-1510）（20-10)=5（2）求原有草量 15
5、10-510=100（3）供 25 头牛吃几天：100（25-5）=5（天）答：供 25 头牛可吃 5 天。小结,这是牛吃草问题的基本解决步骤：把每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；求出每天（周）的新生长的草量是多少；求出原来的草量是多少；假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃原来的草所用几天（周）数即为所求。这里配套 A 组练习 1例 2：24 头牛 6 天可以将一片牧草吃完；21 头牛 8 天也可以将这片牧草吃完。如果每天草的增长量相同，要使这片牧场草永远吃不完，至多放几头牛吃这片牧草？思路引导：可以先让同学们自己根据基本步骤去找到每天草的变化量以及原来草场的草量。也相当于是巩固例 1
6、 所介绍的基本解题步骤。在学生都得出结果之后。引导学生考虑在什么样的情况下草永远吃不完。如果每天吃掉的草比他长出来的要多。那总有一天能吃完草地上所有的草。只有当每天吃掉的草小于或者等于生长的草时，这片草地才永远不会被吃光。所以最多放入牛的头数和每天长草的份数相等。【分析与解】 （218-246）（8-6）=（168-144）2=242=12（头）答：要使这片牧场草永远吃不完，至多放 12 头牛吃这片牧草.这里配套 A 组练习 2例 3：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船舱内。如果 10 人淘水，3 小时淘完；如果 5 人淘水，8 小时淘完。如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？
7、思路引导：这里稍微引导一下学生，将这种问题和牛吃草问题联系起来解决，这是牛吃草问题的一种常见变形。已经进入的水相当于是原有的草，每小时匀速进入的水就相当于是每天生长的草，这里的舀水的人就相当于是吃草的牛。还是将前面的步骤交给学生自己完成，找出变化量和原有量，最后要如何安排人，可以让同学这样思考，因为要求 2 小时掏完，那么这两小时一共掏出的水就应该是原来的水加上 2 小时内漫进来的水。先把这个量找到再除以时间就是需要安排的人数了。【分析与解】 （1）每小时漏进水量：（58103）（8-3）=2（2）船原有水量：103-23=24（3）要安排多少人：2422=14（人）答：如果要求 2 小时掏完
8、，要安排 14 人掏水.这里配套 B 组练习 5例 7.由于天气逐渐变冷，牧场上的草不仅不增长，反而以固定的速度在减少，已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算可供多少头牛吃 10 天？思路引导：之前我们做的是草地上的草在增长的题目，这道题告诉我们草地上的草在枯萎，每天都在减少。那么我们想一想要怎么办？计算出 20 头牛 5 天吃的草和 15 头牛 6 天吃的草之后，通过比较我们发现后者要少一点，那同学们想想为什么吃的草不一样多呢？因为多过了一天草地上的草枯萎了一些自然减少。那么我们是不是可以找到草地每天减少的草的份数。接下来还是要找到原来的草地上有多
9、少草。要供牛吃 10 天，也就是每天要吃每天减少 15 份，而草场自然减少的量是 10 份，那安排 10 头牛就可以了。【分析与解】（1）205-156=10（份） （2）205+105=150（份） （3）1501010=5（头）答：照此计算可供 5 头牛吃 10 天.这里配套 B 组练习 6例 8.甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和 12 个工人，5 小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和 28 个工人，3 小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有 2 台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，
10、每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)思路引导：这里跟老师一起回想老师开头说过的故事，我们要如何将这样一个问题转化成牛吃草问题来解决。3 个仓库的面粉就是草地上原有的草，搬运的工人就是吃草的牛。那么这个皮带输送机相当于什么？28 个工人 3 小时搬了多少份？12 个工人 5 小时搬了多少份？为什么要少搬一些？ 因为皮带输送机在2 小时内搬运了 24 份。好，这里的皮带输送机搬运的就相当于草地枯萎引起的草量每天减少的份数。那么转换成牛吃草问题之后再按照步骤来解决。每天减少的量，原来的量先求出来。这里让学生自己去完成。分析与解】 （1）1 台输送机 1 小时输送量为
11、：（283-125）（5-3）=12（份） （2）每个仓库原有面粉量为：60+125=120（份）或 84+312=120（份）（3）丙仓库还需工人搬运的面粉量：120-2212=72（份）（4）2 小时需要搬运的工人人数为：722=36（人）答：如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要 36 个工人.小结：牛吃草问题作为一个奥数里的经典题型，在各种奥赛或者小升初考试中非常常见，正因为太常见了，所以必须要考出新意来。也就是说我们会碰到的问题不太可能以牛和草这样的形式出现在我们面前，一般都是一些变化后的形势，比如刚刚的漏水舀水的形势，还有排队买票啊,或者是自动扶梯之类的问题。我们一定要能够
12、灵活的抓住条件特征，把他转化成牛吃草问题来解决。例 4：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。若同时开 4 个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需 30 分钟；同时开 5 个检票口，需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？思路引导：这道题就是牛吃草问题的一种常见的变形。同学们自己来看看如何转化这里的条件。开始检票时就已经有的人就是原来的草，后来每分钟来的人就相当于是每天长的草，售票口放人进场就是牛在吃草。那么这个问题的解题步骤就交给同学们自己完成了。【分析与解】 （1）每分钟新来旅客多少份：（430-520）（30-20）=2（份）（2)原有旅客
13、人数：430-230=60（份）（3)需要多少分钟：60（7-2）=12（分钟）答：如果同时打开 7 个检票口，那么需 12 分钟.这里配套 A 组练习 3例 5：有三块草地，面积分别是 4 公顷，8 公顷和 10 公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 24 头牛吃 6 天，第二块草地可供 36 头牛吃 12 周。问第三块草地可供 50 头牛吃几周？思路引导这道题是牛吃草问题中较难的一道，因为这三块草地上原有的草不一样多，每天长的草也不一样。那么我们首先找到他们的关系，因为第二块草面积是第一块草的两倍，所以原有的草是第一块的两倍，每天长的也是第一块的两倍。所以第二块草地上的草
14、始终是第一块的两倍，那么 24 头牛 6 天吃完第一块草地，就是说 48 头牛 6 天吃完第二块草地。接下里我们就可以根据老师介绍的基本步骤找到草地生长的量和原有的量。又根据第三块草地和第二块草地面积的关系，从而推导出第三块草地草地生长的量和原有的量。进而解决问题分析与解】由题意知 4 公顷草可供 24 头牛吃 6 周，可以推出 8 公顷草可供 48 头牛吃 6 周。假设 1 头牛 1 周吃一个单位的草，那么 1 周草场的增长量为（3612-486）（12-6）=24，原有草量为：3612-2412=144.从而推导出 10 公顷的草场原来草量：144810=180,10 公顷的草场一周新长草
15、量为：24810=30.综上所述，在 10 公顷的草场上一周之内长出的草可以供 30 头牛吃，草场原来的草可以供剩下的牛吃 180（50-30）=9（周 )答：第三块草地可供 50 头牛吃 9 周.例 6：一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完。现有若干头牛吃了6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃 2 天便将草吃完，问原有多少头牛吃草？思路引导：根据题目条件，让学生求出草地变化量和原有的量。接着因为题目告诉我这群牛中途被卖掉了 4 头，所以吃了 8 天才吃完。那么我们假设如果没有妞被卖掉了话，应该比现在的情况多吃多少？这 4 头牛没被卖掉那后面 2 天他要继
16、续吃掉 8 份草，所有我们就知道如果没有牛被卖掉现在应该吃掉的比目前的情况还要多 8 份草，求出来之后除以 8 就是原有的牛的头数。【分析与解】 （1）求草每天的生长量（1730-1924）（30-24)=9（2）求原有草量 (17-9)30=240 (3)6+2=8(天）(4)牛的头数：（240+89248=40（头）答：原有 40 头牛吃草。作业：A 组练习 4 B 组练习 7 C 组练习 8课堂总结：要明确解决此类牛吃草问题的基本步骤：把每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；求出每天（周）的新生长的草量是多少；求出原来的草量是多少；假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃原来的草所用几天
17、（周）数即为所求。几种常见的变形，我们要能够熟练的将条件进行转化，转变成牛吃草的模型来解决问题。板书设计: 大标题黑板左半侧是附板书，记录解题基本步骤，以及常见牛吃草问题的几种类型。右半侧作为例题讲解和计算区域。课后练习1、 【分析与解】 （1020-1510）（20-10）=5（个）答：泉水每小时涌出的水量是 5 个单位.2、 【分析与解】 （20012-3006）（12-6）=10020012-10012=1200（千克）或 3006-1006=1200（千克）答：商店原有水果 1200 千克3、 【分析与解】 （1632-2416）（32-16）=（512-384）16=8 1632-8
18、32=2562568+8=32+8=40（辆)答：如果要 8 天恰好运完，那么需要 40 辆汽车来运4、 【分析与解】 （420-612）（20-12）=1420-120=60605+1=13答:若想 5 天把草吃完，需要 13 只羊去吃B 组训练题5. 【分析与解】(510-123)(10-3)=2 123-23=30 302+2=17(人)答:如果需要 2 小时内掏完水，需要 17 人6 【分析与解】205-166=4(份) 205+45=120(份) 120(11+4)=8(天)答:可供牛吃 8 天.7【分析与解】(1）1 公顷每天新生长的草量为：（12146-11105）（14-10）=1.5（单位）（2）1 公顷原有草量为：11105-1.510=7（单位）（3）8 公顷每天新生长的草量：1.58=12（单位）（4）78（19-12）=567=8（天）答：第三块草地可供 19 头牛吃 8 天.C 组训练题8【分析与解】205-156=10（级） 205+105=150（级）答：该扶梯共有 150 级
