1、麦克斯韦速率分布律的一种推导方法安海东（天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系，甘肃，天水，741000）摘要：运用基本的初等方法推导出了麦克斯韦速率分布律，同时，对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值积分运算中对积分限可以取分子速率无限大作了定量的解释和说明。关键词：麦克斯韦速率分布律；分布函数；推导方法；分子数比率分类号：O552.3+1 One of the Derivation Methods of Maxwell Velocity Distribution LawAn Haidong(School of physics and information science，Tians
2、hui Normal University，Tianshui Gansu，741000)Abstract: Maxwell velocity distribution law is derived by the basic methods, meanwhile, why molecular speed can take the infinite quantity in the normalized of distribution function and the infinitesimal calculus of the average value of the mechanical quan
3、tity. In this thesis, the reasonable explanation is put forward by quantitative analysis.Key wards: Maxwell velocity distribution law，distribution function，derivation methods，number ratio of molecule物理与信息科学学院 2009 届毕业论文01 引言麦克斯韦速率分布律是热学中的重要知识点，但大学热学教材没有作详细的推导，而是直接给出了麦克斯韦速率分布律，对在分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的
4、积分运算中，为什么能对积分限取分子速率为无限大（根据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大）作了定量的分析，并得出结论，这种取法是合理的，可行的。2 麦克斯韦速率分布函数的推导设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为 N，以分子速度 v 在 x，y，z三个方向的分量 ， ， 为坐标轴建立直角坐标系，如图 1 所示，处于平衡态的气体xvyz分子速度分布应该是各向同性的，分子速度分量限制在 + ， + ， xvxdyvydzv+ 内，即它们的速度矢量的端点都在体zvd积元 = 内的分子数 显然与总分wzyxvdN子数 N 和速度间隔体积元 成正比，即wzyxvFd)(2（1）
5、（其中 ） 22zyxv（1）式中的比例系数为zyxdvNvF)(2（2）（2）式即为速度分布函数。其物理意义是在单位速度间隔 = 内的分子数占总分子数的比率。速度分dwzyxv布函数的自变量取 是为了不突出该函数只与速度的大小有关，与速度的方22zyxvv向无关这一特点。由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布与其他分量无关，zvyvxvOdwzyvx图 1物理与信息科学学院 2009 届毕业论文1故可令（3）)()(2zyxvffvF对上式两边同时取对数，得（4）)(ln)(l)(ln)(l2 zyxfff上式分别对 ， ， 求偏导，并注意到vyz 22zyxvv整理后有：(5.1) x
6、xdvfvdFv)(12)(12(5.2)yyff)()(2(5.3)zzdvfvdFv)(1)(12上面三个式子左边是完全相同的，因而右边也应该是相等的，但(5.1)式中右边仅与有关而与 ， 无关，但（5.2）式中右边仅与 有关而与 ， 无关，但（5.3）式xvyz yvxvz中右边仅与 有关而与 ， 无关，要使它们对任意的 ， ， 都成立，则必须同时zvxvy yz等于一个与 ， ， 均无关的系数 ，即xyz（6）zzyyxx dvfdvffvdfv )(12)(12)(12对上式积分得（7.1）21)(xvxeAf（7.2）2yy（7.3）23)(zvzef（其中 ， ， 均为常数）1A
7、2将（7.1） ， （7.2） ， （7.3）式代入（3）式得(其中 = ) （8）)(222)(zyxvevF A123联系实际，考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故 应为负值。物理与信息科学学院 2009 届毕业论文2令 ，由归一化条件得2（9） 1)( 222 zvyvxvzyx dedeAdvF将 代入上式。ivei2可得 于是3A（10）)(32 22)(zyxvevF再利用分子平均动能等于 ，这一关系：有KT KTvmvzyx23)(212即mvzyx3)(22（11） dFvzyxzyx)(22可以确定 ，代入（10）式便得到麦克斯韦速度分函数：KTm)(2322)()(
8、 zyxvKTmzyxedvNvF（12）或KTmvevF232)()（13） 通常所说的速率分布函数 指的是不论速)(vf度方向如何，只考虑速度大小的分布，所以在这种情况下，应该在以 ， ， 为坐标轴v的球坐标系中表示。分子速度大小限制在 v 与 v+dv 之间而分子速度的方向为任意，即它们的速度矢量的端点都落在半径为 ，厚度为 的球壳内，这个球壳的体积等于 ，d dv24如图 2 所示。dvOx yvzv图 2物理与信息科学学院 2009 届毕业论文3用体积元 代替体积 。dv24zyxdvzyx则气体分子速率在 vv+dv 区间的分布为（14）dvFdf24)()(将麦克斯韦速度分函数（
9、13）式代入上式得（15）veKTmvf KTm23)2()(即 （16）Tf 232)(4)(这就是麦克斯韦速率分函数，即麦克斯韦速率分布律。3 为何能取积分限为无限大在讨论平衡态下气体分子的速率分布时，不论在归一化表达式中，还是在求力学量（如； ）的平均值的积分运算中总是取积分上限为无限大。然而，根据狭义相对1v2论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大。那么，为什么可以取积分限为无限大呢！为了解释这一问题，先计算气体分子速率大于某一速率 v 的分子数比率.以 表示速率在 0v 之间的分子数比率，则（1 ）表示速率大于 v 的分子数N N比率。令 则KTmx21)( dvx其中 21 p
10、TmK21即为分子的最可几速率，这样，根据麦克斯韦速率分布律，得pv（17）22224)2(4 0003 xxxxvKTmv edededeN 其中 在概率论和数理论中称为误差函数，用 表示，xde02 )(xrf即 （18）xderf02)(物理与信息科学学院 2009 届毕业论文4（其中 的数值可查误差函数简表：附表一）)(xerf以空气分子为例，作进一步定量分析，取 T=300K，平均摩尔质量 ，13029molkg可算出最可几速率为 =pv145sm当 x=2.8 时， 速率在 0 之间的分子数比率为162xp 162sm速度大于 的分子数比率约为%85.98.2).(2).(eerf
11、N 1 310由此可见，在计算中把积分限取为无限大与取为 相比较，误差仅是 ，162s3这对我们要解决的实际问题，影响甚小，而计算却非常简便。因此，在归一化条件中以及在用速率分布函数计算力学量平均值时，通常把积分限取为无限大是可行的。4 结束语综上所述，麦克斯韦速率分布律可以采用一种初等的，基本的方法导出，通过对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中积分限可取分子速率为无限大作进一步分析，从而得出结论：分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中积分限取分子速率为无限大对我们解决实际问题影响甚小，却能使计算变地简便，因此，这样作是合理的，可行的。参考文献：1 李椿，章立源
12、，钱尚武. 热学M. 北京：高等教育出版社， 1979：721053 范中和. 大学物理M. 陕西：陕西师范大学出版社，2006：2372414 同济大学应用数学系主编. 高等数学M. 第五版. 北京：高等教育出版社， 20015 张国文. 麦克斯韦速率分布函数的教学. 晋东南师范专科学校学报J. 2004. 第 21 卷.第 2 期6 李汝烯. 推导麦克斯韦分布律的一种方法. 大理师专学报 J. 1997. 第 1 期7 吴敢. 麦克斯韦速度分布律几种证明方法的比较. 大学物理 J. 1989. 第 12 期8 吴瑞贤. 推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法. 大学物理J. 1982. 09 期9 言经柳. 麦克斯韦速率分布律的推导. 南宁师范高等专科学校学报 J. 1999. 第 2 期附表一：误差函数简表xdeerf02)(X )(rf x )(xerf0.2 0.2227 1.6 0.97630.4 0.4284 1.8 0.98910.6 0.6039 2.0 0.99530.8 0.7421 2.2 0.99811.0 0.8427 2.4 0.99931.2 0.9103 2.6 0.99981.4 0.9523 2.8 0.9999物理与信息科学学院 2009 届毕业论文1
