1、 复习讲义-空间距离 空 间 距 离1.点与点的距离：（1）解三角形及多边形；（2）向量法：空间任意两点 、 间的距离即线段AB的长度：设 、 ，则AB1,xyz2,Bxyz222111Axyz2.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.求法： （1）直接法：求两异面直线的公垂线段的长度； （2）转化法：转化为线面距离或面面距离，两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离；找平面 使 且 ，则异面直线 、 的距离baab就转化为直线 到平面 的距离，又转化为点 到平面 的距离A（3）向量法：在 上取一点 , 在 上取一点 , 设 、 分别aAbBab
2、为异面直线 、 的方向向量 ,求 （ ， ） ，nn则异面直线 、 的距离cosAd3.点到平面的距离：已知点 是平面 外的任意一点，P过点 作 ，垂足为 ，则 唯一，则 是PAP点 到平面 的距离.即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 .求法：（1）直接法：过点 作一平面与平面 垂直，再过点 作两平面的交线的垂线即可(借助面的垂面）（2）等体积法：（换底）（3）线面平行法：若过点 有一直线 平面 ，则直线 上的任一点到平面 的距离等于Pll到点 到平面 的距离.P（4）线段比例转化法：平面的统一斜线上的两点到该平面的距离与这两点到斜足的距离成比例，运用此结论可转化
3、为另一点到该平面的距离.（5）向量法：法一、设 是平面 的法向量，在 内取一点 , nB则 到 的距离AcosABd4.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离). 求距离的一般步骤：（1）找出或作出相关的距离； （2）证明它符合定义；（3）归到某三角形或多边形中计算; （4）作答.空 间 角 异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角及其平面角。求空间角的思想方法1、求异面直线所成角的常见方法有两种，一是平移转化法，在异面直线上选择“特殊点” ，作另一直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，构造出含异面直线所
4、成角的三角形，解三角形即可。方法二是向量法，两条面直线的方向向量所成的锐角或直角，就是异面直线所成的角2、求直线与平面所成角的常见方法有两种：（1）射影转化法：关键是寻找过斜线上一点与平面的垂线，解由斜线、垂线、射影所组成的直角三角形。（2）向量法：直线 AB 与平面 所成的角 可看成是向量 与平面 的法向量 所成的ABn锐角的余角，所以有。nABn,cossin3。求二面角，一般有直接法与间接法两种，直接法即作出二面角的平面角，作法有(1)根据定义，(2)寻找与棱垂直的平面，(3)利用三垂线定理及逆定理，无棱二面角先作出棱后，同上进行，间接法主要是射影法，（4）向量法求二面角的大小已知二面角
5、 l，点 A 是二面角 l 内一点，过点 A向 、 引垂线，垂足分别为 C、B ，则 AC、AB 确定平面 ABC，延伸平面 ABC，交直线 l 于点 D，根据二面角的平面角的定义，易证CDB就是二面角 l 的平面角。 CDB180CAB ，而CAB 可看成 、 的法向量 、 所成的角（或其补角） 。nAnaAbanbBAADlBAC复习讲义-空间距离 ABCDEA1 B1C1D1xyz图 1ABC DEFxyzP图 21.如图 1，在长方体 中，AD= =1，AB=2 ，点 E 在棱 AB 上移动。ABCD11A（1）证明：面 C1D1E 面 A1DE （2）当 E 为 AB 的中点时，求点
6、 E 到面 的距离；1CD（3）AE 等于何值时，二面角 的大小为 。14(4)当 E 为 AB 的中点时，求异面直线 AD1、EC 间的距离2。如图 2，四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形， 底面 ABCD，AD=PD，E，F 分别PABCDPDCD、PB 的中点。 （）求证：EF 平面 PAB；（）设 AB= BC， 求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。求面 ABP 与面 PCD 所成锐二面角的大小求二面角 P-AC-B 的大小求异面直线 AC 与 PB 所成角的大小3如图，设ABC 和DBC 所在的两个平面互相垂直，且 AB=BC=BD，CBA=DBC=120 0。 求：（1）AD 和平面 BCD 所成的角；（2）BD 和直线 AC 所成的角；(3)DC 和面 ADB 所成角（3） 二面角 ABDC 的正切值； ABDC
