1、高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象1华东师范大学理工学院数学系2009届学士学位论文高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象The Self-focusing phenomenon of Gaussian beams passing through a nonlinear medium姓 名： 王睿 学 号： 10051520118 班 级： 2005级4班 指导教师： 刘永明 职 称: 教授 2009年5月完成高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象2目 录摘要 3Abstract 3一、引言 4二、预备知识 4（一）波动方程 4（二）赫姆霍茨方程 6（三）高斯光束表达式推导 7三、问题研究 10（一）
2、光束在介质上表面折射透射 11（二）光束在介质中的传播 14四、模型建立及分析 17参考文献 24附录程序25致谢 27高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象3高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象摘要：随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（100nm） ，而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜
3、上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。本文主要研究高斯激光束通过非线性均匀绝缘介质后光强的改变。由电磁场基本原理，推导出高斯光束是缓变振幅条件下波动方程的近似解，研究其在介质突变面处的反射透射。重点研究高斯激光束在非线性介质中的传播问题，这一过程中有自聚焦现象。研究过程主要采用数值计算方法用差分方程代替偏微分方程研究问题的数值解。比较光强的变化。关键词：高斯光束，非线性，自聚焦，差分方程Abstract：With the development of information and nano technology, it is desirely requried that some a
4、spects can reach as exactly small as the scale of nano, including the the Size of the minial bit of information in the Pieces of optical information storage, Lithography linewidth in Large-scale integrated circuits and Microelectronic technology, Resolution optical microscope. However, due to the na
5、tural restrictions of Ray diffraction, it can be hardly satisfied as it practical required. While the research of nonlinear thin film materials can realize the obtaination of the nano facula, which uses a nonlinear thin film materials as well as the modulation of Laser energy and the thickness along
6、 with the structure of a film control thus the exit surface of the nonlinear thin film can furhter decrease the spot size. The facula can have effect on information storge or lighography film through the Near-filed coupling so that it can be applied into Nano-information storage, nano-lithography or
7、 nano-imaging. In this article, we majorly have research on the change of the light power when Gaussian beams passes through the nonlinear insulation thin film。Based on the principle of Electromagnetic field，we conclude that Gaussian beams is the approximate result of Wave equation under the conditi
8、on of slowly varying amplitude，we also focus on its reflex transmission at the point of Medium surface mutations. While the most important aspect that we have research on is the issue of transpotation of Gaussian beams in a nonlinear medium，in which there is a phenomena of the self-focusing. We use
9、高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象4Numerical method as a primary method, in which we use Difference equation instead of Partial Differential Equations to calculate the numerical solution of the issue and consequently compare the change of the light intensity. Key words: Gaussian beams, nonlinear, Self-focusing, Diff
10、erential Equations一、引言随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（100nm ） ，而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。而通过非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。实验中我们常常采用高斯光束作为光源进行问题研究。高斯光束是波动方程在缓变振幅下的一个特解，非线性介
11、质的折射率随光强的变化而变化，因而高斯光束通过非线性介质发生自聚焦和衍射现象，从而改变能量分布。本文主要研究光强的变化，通过具体数值建立数学模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得问题的数值解，研究光束通过非线性介质后能量的变化。二、预备知识（一）波动方程波动理论认为，光是一定频率范围内的电磁波，其运动规律可用 Maxwell 方程组来描述：高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象5(1-1)0BEtDHJtB 其中， ijkxyz上式中 为电场强度， 为电位移， 为磁场强度， 为磁感应强度，一般情EDHB况下他们都是矢量且为时间空间坐标的函数，还满足物质方程：(1-2)0()EPBMJ 式中 为电极
12、化强度， 为电流密度， 为自由电荷密度， 为电导率， 为磁化PM强度。 14088.50/27ASVcm真 空 中 的 介 电 常 数真 空 中 的 磁 导 率在线性极化情况下 0PE式中 为介质的线性极化率。在非磁，各向同性均匀介质中， ，在区域 中，由(1-1)的M0j 第二式、(1-2)中第一式，有 ，将(1-2) 第二式代入(1-1)第一式，等式两边取旋E 0度，有(1-3)0Ht由(1-1)第三式、(1-2)第一、三式可得高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象6(1-4)0EPHt将(1-4)代入(1-3)，由 可得E（ ） =(1-5)22000ttt 因为 ，(1-5)整理后可得E
13、(1-6)22000EPttt = 对于无损介质（等效于 ）有(1-7)22011EPctct =0式中 为真空中的光速：c(1-8)201c(1-6)、(1-7) 为线性光学的基本方程。（二）赫姆霍茨方程激光光学中常用复数 E（公式中用 代替方便输入）表示电场强度：(2-1)12E(2-2),itExyztxyze介质的电极化强度也可以用复数表达式 ：(2-3)12P 高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象7(2-4)0, ,xyztExyzt(2-5)0, ,式中带“ ”量为共轭量。利用(2-1)(2-5)式可将(1-7)式化为(2-6)=2, ,0ExyzkExyz式中 为复折射率(2-7)
14、1 在标量场假设下，(2-6)式成为(2-8)=2, ,0ExyzkExyz在真空中， ，于是有1(2-9)2,0xyzkxyz(2-8)、(2-9) 式都称为赫姆霍茨方程。（三）高斯光束表达式推导由前面分析可知稳态传输电磁场满足赫姆霍茨方程(3-1)2,0ExyzkExyz式中 与电场强度的复表式 间有关系：,Exyz,t(3-2),itxyzxyze由数理方程基本知识可知，平面波和球面波都是（3-1）式的特解。高斯光束则不同，它不是（3-1）式的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。设(3-3),ikzErzAre在 SVA（缓变振幅）近似下有高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象8(3-4
15、)2Akzz= 利用(3-4)式可将(3-1)式在柱坐标 下写为,rz(3-5)2210AAikrrz在旋转对称情况下 与 无关，(3-5)式简化为如下的抛物方程(3-6)2120AAikrrz为了求得(3-6)式的一个特解，可设在 处有一振幅为(3-7)200,rwzArAre的高斯光束，然后求在任意处 的 。式中 为振幅常数，如果只考虑相对,0值，则可由归一化条件求出。 定义为 处场振幅减小到最大值 的 值，称0z1er为腰斑（或光腰，束腰） ，它是高斯光束光斑半径的最小值。设试探解为(3-8)2001, rfzArzfe 式中 、 为待定函数，满足1fz2f(3-9)1201ff 将(3
16、-8)式微分后代入(3-6)，整理得到(3-10) 2121122 1400 00fzfikfzfzrikfz 高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象9由(3-10)对任意 成立条件得到下面两个关系式r(3-11)22012100fzikfzffif式中 表示 。微分方程组(3-11)在边界条件为(3-9)式时的解为dz(3-12)1220011fzfzzziikZ式中(3-13)220001Zk称为共交参数。于是我们证明了，形如(3-14)20100,1rziZAArzei的高斯光束是赫姆霍茨方程(3-1)在 SVA 近似下的一个特解。其物理意义为：如果在处有一形如(3-7)式的高斯光束，则它将
17、以(3-14)式非均匀高斯球面波的形式在0z空间传播。(3-14)式可改写为(3-15)220, rkriRzzArzez 式中高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象10(3-16)2000101tanzzZzRzzZ高 斯 光 束 的 光 斑 半 径高 斯 光 束 的 等 相 面 曲 率 半 径高 斯 光 束 的 相 位 因 子利用(3-16)式可将 改写为,Erz(3-17)220, rrikzRzArzeez 相 位 部 分振 幅 部 分(3-18)220, rrikztRzAErzteez 相 位 部 分振 幅 部 分 三、问题研究：下面研究高斯光束在非线性薄膜介质中的折射系数透射系数的计
18、算问题。计算中物理量取常用单位。如上图所示，为了使问题简单化，我们假设高斯光束垂直入射介质，非线性薄高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象11膜介质绝缘，面积无穷大，厚度为 h。折射率 表达式为：(4-1)0,IrI式中 为入射光光强。在波动光学中，光强为振幅的平方。 、 为常数。I 0I实际上 值还与 有关，但由于待研究的非线性介质薄膜厚度极小，简化问题，z我们默认非线性薄膜介质垂直方向 值不随 的改变而改变。z我们将问题研究分为三个：1、高斯光束在非线性薄膜上表面发生的反射透射2、进入介质后光束的传播3、光束在薄膜下表面再次发生反射透射问题 1 和 3 道理相同，我们暂时先不考虑问题 3。主要
19、研究问题 1，问题 2，而关键在于问题 2 光波在非线性介质中的传播。（一）光束在介质上表面反射透射光波是波长很短的电磁波，因此光的反射、折射现象就是电磁波在不同介质分界面上的反射、折射。任何波动在两个不同介质分层面上的反射、折射都属边值问题，因此电磁波在两种不同介质分界面上的反射与折射是由电磁场 和 在分界面EB上所满足的边值关系确定的。边值关系：(4-2)21210nDEBnH 式中 表示突变面（即分界面）的上的单位外法线。n如图，在 处平面为分界面的两种不同的均匀各向同性介质中，由(3-16)可0z知 ， 入射波 i，反射波 r，折射波 d 的电场强度可表示为(0)R高斯光束通过非线性介
20、质的自聚焦现象12(4-3)00,iti itritdEtet 式中 ， 、 未知。200rEAeE0因为在绝缘介质分层面上电荷面密度 ，电流面密度 ，因此在 分界面000z上只需满足如下边值关系(4-4)0dirtirtEH式中的下标 t 代表切向分量。综上，要满足(4-4)条件，首先要求入射波，反射波，折射波的相位在 平面上任何一点，任何时刻都要相同，即0z(4-5)0zititit由此必有 ，说明反射波，折射波与入射波频率相等。接下来继续分析反射波，折射波的振幅。由于 ，入射的高斯光束表达式为0z(4-6)20,ritiErtAe由此可得薄膜折射率为 200rIe对 r 进行泰勒展开后取
21、前两项，有 2000II r高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象13即 20(1)ncr其中00In020()Ic正入射情况下，有透射波 d： 2, ,1diErtErt（二）进入介质后光束的传播当折射率 为上述定义表示时，赫姆霍茨方程有220(1)0EkncrE其中 22422(1)11crcrrrc整理后，有 220(1)0EknrE（若考虑吸收，吸收系数定义为 20(,)()arzzr设复折射率 ，可将方程改为2ik220(1)0EnrE其中 ， ）0002anik02()acicnk高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象14设 0(,)(,)iknzErzArze在 SAV 条件下，可得 2
22、 20012AiknknArz设该方程解具有高斯函数形式 20()0(,)()iknrqzAArzesz带入方程，对任意 r 成立，满足微分方程组 21dqqzsdq根据边界条件 1000()()zzqsiZ有 11cossinicosinsqzzzqz根据上式，我们得到了高斯光束在薄膜中的传播方程，下面讨论过程中电场表达式 E 均用此式表示高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象15通过折射率我们可知薄膜下表面反射系数为 ，透射系数为1R12T当第一次下表面反射波返回上表面的时候，有上表面反射系数 ,透射系数21R，同时传播距离为 2d，由此分析我们可知，第一次下表面透射波21T12(,) (,)1ErdErd第二次下表面透射波： 22 1(,)(,3)ErdRTErd第 N 次下表面透射波： 21(,)(,21)nnErdRTErnd 薄膜透射波有 1(,)lim(,)nd iiErErd实验中，由于折射率 的影响，几次后透射波会小到忽略不计，可以通过数值计算来求出合理的答案需要带入实际参数来计算结果
