1、星火学习交流会数学素材 高中数学常用结论第 1 页 共 7 页1.德摩根公式 .();()UUUUCABCABC2. ABUCABR3. 若= ,则的子集有 个,真子集有( 1)个,非空真子集有( 2)123,na 2n2n 2n个4.二次函数的解析式的三种形式 一般式 ; 顶点式 )0)fxabc;零点式 .2()(0)fxhk12()(f三次函数的解析式的三种形式一般式 3()d零点式 123()()(0faxxa5.设 那么21,bx上是增函数；2()()0ff12()(),fffxabx在上是减函数.121xx120,在设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，)(fy)
2、(xf)(xf 0)(xf则 为减函数.6.函数 的图象的对称性:()fx函数 的图象关于直线 对称yxa()()fxfa(2)(faxf函数 的图象关于直 对称 .()f2bbb函数 的图象关于点 对称x(,0)()2)ff函数 的图象关于点 对称()yfaxax7.两个函数图象的对称性:函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.fx()yfx0y函数 与函数 的图象关于直线 对称.()ymabm2bxm特殊地: 与函数 的图象关于直线 对称f()faa函数 的图象关于直线 对称的解析式为()xx()yf函数 的图象关于点 对称的解析式为yf(,0) x函数 和 的图象关于直线 y=x
3、对称.)(1fy8.分数指数幂 （ ，且 ）.mna0,nN1（ ，且 ）. 1mna0,19. .log(,0)baNalogM.,)MNllaaa(110.对数的换底公式 .推论 .llogmNaloglmnaab对数恒等式 （ ）logaN0,111. ( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsn 12nns12.等差数列 的通项公式 ；a *1()()adaN13.等差数列 的变通项公式n mn对于等差数列 ，若 ，(m,n,p,q 为正整数 )则 。qpmqpmna14.若数列 是等差数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ，nanS*kkSk2成等差数列。如下图所示：kS23
4、 k kk SkSk aaaa3 232k 3121S31 其前 n 项和公式 .1()nns1()d1()ndn15.数列 是等差数列 ,数列 是等差数列 =aabaS2AB16设数列 是等差数列， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是前 n 项的和，n奇S偶S则有如下性质：前 n 项的和 1 偶奇Sn当 n 为偶数时， ，其中 d 为公差； 2 2n奇偶当 n 为奇数时，则 ， ， ， ， 3 中偶奇 aS中奇 a21nS中偶 a21nS1Sn偶奇星火学习交流会数学素材 高中数学常用结论第 2 页 共 7 页（其中 是等差数列的中间一项） 。n偶奇 偶奇偶奇 SSn 中a17若等差数列 的
5、前 项的和为 ，等差数列 的前 项的和为 ，a1212nSnb1212nS则 。12nSba18.等比数列 的通项公式 ；1*()nnaqN等比数列 的变通项公式namna其前 n 项的和公式 或 .1(),nsq1,nnaqs19. 对于等比数列 ，若 (n,m,u,v 为正整数 )，则navuvumna也就是： 。如图所示： 23121nnn nanaa112,3120. 数列 是等比数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等aS*NkkSkkS23比数列。如下图所示： k kk SkSk aaaa3 232k 3121S321 21. 同角三角函数的基本关系式 ， = ，sinc
6、otncosi. tan1cot221tanc22. 正弦、余弦的诱导公式 21()si,sin(2con为 偶 数为 奇 数21()s,cos(inn为 偶 数为 奇 数即:奇变偶不变,符号看象限,如 cos()sin,()cos22inco23. 和角与差角公式;sin()sicosi;co.tanta()1t(平方正弦公式);22sinsi()siin.co()co= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).iab2i)ab()abtanb24. 二倍角公式 .sns.（升幂公式）2222cosico1sin（降幂公式）21c,.2tanta25.万能公式: , *2tansi121t
7、ancos26.半角公式: itsi27. 三函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且sin()yAxcos()yAxA0，0)的周期 ；若 未说明大于 0,则2T2|T函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期 .ta()yx,kZT28. 的单调递增区间为 单调递减区间为sin2,2kZ，对称轴为 ,对称中心为3,2kkZ ()x,0k()Z29. 的单调递增区间为 单调递减区间为 ，cosyx2,kk2k星火学习交流会数学素材 高中数学常用结论第 3 页 共 7 页对称轴为 ,对称中心为()xkZ,02k()kZ30. 的单调递增区间为 ，对称中心为tany ,
8、(,0)2kZ31. 正弦定理 siinsibcRABC32. 余弦定理 ; ; .22oaA22cosbaB22cosabC33.面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.11acShhbh、 、（2） .sinsisin2bcB34.三角形内角和定理 在ABC 中，有.()2CAABCA2()CAB35.平面两点间的距离公式= (A ，B ).,ABd|B2211()()xy1(,)xy2(,)36.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则,ab b=a .1210ya b(a 0) ab=0 .2xy37.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且
9、1(,)P2(,)(,)Pxy12P，则12P（ ）.12xy12O12()tOt1t38.若 则 A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1OAxB39. 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则1A(x,y)2B3C(xy)ABC 的重心的坐标是 .123123(,)xyG40.点的平移公式 (图形 F 上的任意一点 hxhykk OPP(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 ).F(,)Pxy(,)hk41.常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2ba（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)（3） 330,).cc（4） 注意等号
10、成立的条件baba（5）22(0,)1ab（6） ，等号当且仅当 时成立nininii bab121122)()()( )21(nikai ， 42.极值定理 已知 都是正数，则有yx,（1）如果积 是定值 ，那么当 时和 有最小值 ；pyxp（2）如果和 是定值 ，那么当 时积 有最大值 .sx241s43.一元二次不等式 ，如果 与 同20()axbc或 20,0)abaca2xbc号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：2同号两根之外，异号两根之间.；121212()()xxx., 0或44.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.2xaax或 .a45.无理
11、不等式（1）()0()()fxfxgfg（2） .20()0()()fxfxgxfg或星火学习交流会数学素材 高中数学常用结论第 4 页 共 7 页（3） . *2()0()fxfxgfg46.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a; .()()()fxgxafx()0lo()lg()aafxfxfg(2)当 时,01;()()()fxgxafgx()0lo()lg()aafxffg47.斜率公式 （ 、 ）21yk1(,)Py2(,)xy直线的方向向量 v=(a,b),则直线的斜率为 =k0ba48.直线方程的五种形式:（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11)ykxl1(,)Px
12、yk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).b（3）两点式 ( )( 、 ( ).1122yx21(,)2,)12x（4）截距式 (,xabyab分 别 为 轴 轴 上 的 截 距 ,且 0（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0AByC49.两条直线的平行和垂直 （1）若 ，11:lkx22:lykx ; .1212,lkb2l(2)若 , ,1:0xy2:0xy ； ；1212121lABAC且 12120lAB50.夹角公式 .( ， , )tan|k:lkb:ykxb( , , ).121tan1:0lxy22:lC120直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .1
13、2l直线 l1 到 l2 的角是 ( ， , )12tank1:lykxb22:lykxb151.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).0|AxBCd0)Pl0AByC52两条平行线的间距离 (直线 ： ).21|CdABl112212,)xylAxBy53. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .22()()abr（2）圆的一般方程 ( 0).0xyDEF24EF（3）圆的参数方程 .cosinr（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、1212()()0xy1(,)Axy).2(,)Bxy54.圆中有关重要结论:(1)若 P( , )是圆 上的点,则过点 P( , )的切线方程为022xyr
14、0xy20xyr(2)若 P( , )是圆 上的点,则过点 P( , )的切线方程为xy2()()ab000(a(3) 若 P( , )是圆 外一点,由 P( , )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B22xyr0xy则直线 AB 的方程为 0(4) 若 P( , )是圆 外一点 , 由 P( , )向圆引两条切线, 切点0xy22()()abr0xy分别为 A,B 则直线 AB 的方程为 200()(xaybr55.椭圆 的参数方程是 .21()bacosin56.椭圆 焦半径公式 ， .20xy )(21cxePF)(22xcaePF椭圆 的准线方程为 ,椭圆 的准线方程21()ab2a2
15、10ybb星火学习交流会数学素材 高中数学常用结论第 5 页 共 7 页为2ayc57.椭圆 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为21(0xb 2ba58.双曲线 的准线方程为,ya2axc双曲线 的准线方程为21(0,)xbby59. 双曲线 的渐近线方程为2,yabxa双曲线 的的渐近线方程为 21(0,)xbby60.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 py2),2(py或)2,(pt(,)xy.2x61. P( , )是抛物线 上的一点,F 是它的焦点,则|PF|= +0yxy2 0x262. 抛物线 的焦点弦长 ,其中 是焦点弦与 x 轴的夹角px22sinpl63.直线与
16、圆锥曲线相交的弦长公式 或2211()()ABxy（弦端点 A ，由方程 消去2212|1ABxkkaA,20)y,x(Fbky 得到 ， , 为直线的斜率）. 0cba若（弦端点 A 由方程 消去 x 得到 ， , 为)(),(21yxB0)y,x(Fb2aybck直线的斜率）.则 12221|kakA64.圆锥曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .(,)0Fxy0(,)Pxy0(-,2)0Fxy65.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab 存在实数 使 a=b66.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足 ，OPABzOC则四点 P、A、B、C 是共面 1xyz6
17、7.空间两个向量的夹角公式 cos a，b= 123221abb（ a ，b ）.123(,)123(,)68.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量) .ABsin|ABmarc69.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ，lo|cos|mnar的法向量）.70.设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 ，AB1与 AC 所成的角为 ，AO 与 AC 所成的角为 则 .212coscos71.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则1(,)xyz2(,)xyz= .,ABd|B221172.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ，
18、 分别是|CDnd2,l nCD、上任一点， 为 间的距离).12,l12,l73.点 到平面 的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线，B|ABnAB）.A74. 面积射影定理 cosS(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ).S75.球的半径是 R，则其体积是 ,其表面积是 34VR24SR1,3VSh锥 柱76.判定两线平行的方法：（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
19、它们的交线平行（5）在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明77.判定线面平行的方法：（1）据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点（2）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（3）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（4）平面外的两条平行直线中星火学习交流会数学素材 高中数学常用结论第 6 页 共 7 页的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面（5）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面78.判定面面平行的方法：（1）定义：没有公共点（2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（3）垂直
20、于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平面的两个平面平行79.面面平行的性质：（1）两平行平面没有公共点（2）两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面（3）两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行（4）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面80.判定两线垂直的方法：（1）定义：成 角（2）直线和平面垂直，则该线与平面内90任一直线垂直（3）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（4）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直（5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直81.判定
21、线面垂直的方法：（1）定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（5）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（6）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面82.判定面面垂直的方法：（1）定义：两面成直二面角,则两面垂直（2）一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面83.面面垂直的性质：（1）二面角的平面角为 （2）在
22、一个平面内垂直于交线的直线必90垂直于另一个平面（3）相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面84.分类计数原理（加法原理） ；分步计数原理（乘法原理）12nNm.12nNm85.排列数公式 = = .( ， N *，且 )mA)() ！ )(mn组合数公式 = = = ( ， N *，且 ).nCmn211！ ！ )n m86.排列恒等式 （1） ;（2） ;（3） ; 1()mnnA1mmnA1nA（4） ;（5） .1nA187.组合数的两个性质(1) = ;(2) + =mnCmnC1mn88.组合恒等式（1） ;（2） ;（3） ;1n1mnnC（4） （5） = ;（6）
23、 .1knCr0n 121rrr89.二项式定理 ;nrnrnnn babaCaCb 21)(二项展开式的通项公式： .rrrT1 )0(， 90.等可能性事件的概率 .()mPA91.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A 2A n)=P(A1)P(A 2)P(A n)n92.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B).事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率 (|)PB93.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)94.n 次独立重复试验中某事件
24、恰好发生 k 次的概率 ()().knkC95.函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，)(xfy0 xfy,0xfP)(0xf相应的切线方程是 .)(0xfy96.导数与函数的单调性的关系： 是 为增函数的充分不必要条件。f)(f 是 为增函数的必要不充分条件。0)(xf)(xf97.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 正比例函数)()(2121xffxf)0()kxf ； (2121xfxfa ；)()(2121xffxf )(2xfff (logaf98.n 个数据 ,则它们的平均数为 ,123,n 123()nxn星火学习交流会数学素材 高中数学常用结论第 7 页 共 7 页方差 =2s222213()()()()nxxxn99.微积分基本公式： aFbdfaba100.微积分的运算性质： dxfAx gdfxgf bababaxbdxfxffbcca
