1、重 心 是 三 角 形 三 边 中 线 的 交 点 ， 三 线 交 一 可 用 燕 尾 定 理 证 明 ， 十 分 简 单 。证 明 过 程 又 是 塞 瓦 定 理 的 特 例 。 已 知 ： ABC 中 ， D 为 BC 中 点 ， E 为 AC 中 点 ， AD 与 BE 交 于 O， CO 延长 线 交 AB 于 F。 求 证 ： F 为 AB 中 点 。 证 明 ： 根 据 燕 尾 定 理 ， S AOB=S AOC， 又 S AOB=S BOC， SAOC=S BO C， 再 应 用 从 中 点 得 AF=BF， 命 题 得 证 。 重 心 的 几 条 性 质 及 证 明 方 法 ：
2、 1、 重 心 到 顶 点 的 距 离 与 重 心 到 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为 2： 1。 2、 重 心 和 三 角 形 3 个 顶 点 组 成 的 3 个 三 角 形 面 积 相 等 。 证 明 方 法 ： 在 ABC 内 ， 三 边 为 a， b， c， 点 O 是 该 三 角 形 的 重 心 ，AOA1、 BOB1、 COC1 分 别 为 a、 b、 c 边 上 的 中 线 根 据 重 心 性 质 知 ，OA1=1/3AA1， OB1=1/3BB1， OC1=1/3CC1 过 O， A 分 别 作 a 边 上 高 h1， h 可知 h1=1/3h 则 ， S( BOC)=
3、1/2h1a=1/21/3ha=1/3S( ABC)； 同 理 可 证S( AOC)=1/3S( ABC)， S( AOB)=1/3S( ABC) 所 以 ， S( BOC)=S( AOC)=S( AOB) 3、 重 心 到 三 角 形 3 个 顶 点 距 离 的 和 最 小 。 证 明 方 法 ： 设 三 角 形 三 个 顶 点 为 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平 面 上 任 意 一 点 为（ x， y） 则 该 点 到 三 顶 点 距 离 和 为 ： (x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2 =3x2-2x(x1+x
4、2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3(x-1/3*(x1+x2+x3)2+3(y-1/3(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 显 然 当 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（ 重 心 坐 标 ）时 上 式 取 得 最 小 值 为 x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 证 毕 4、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 ， 即 其 坐标 为 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空 间 直 角 坐 标 系 横 坐 标 ：(X1+X2+X3)/3 纵 坐 标 ： (Y1+Y2+Y3)/3 竖 坐 标 ： （ z1+z2+z3） /3 5、 三 角 形 内 到 三 边 距 离 之 积 最 大 的 点 。 重 心 三 条 中 线 定 相 交 ， 交 点 位 置 真 奇 巧 ， 交 点 命 名 为 “重 心 ”， 重 心 性 质 要 明 了 ， 重 心 分 割 中 线 段 ， 数 段 之 比 听 分 晓 ； 长 短 之 比 二 比 一 ， 灵 活 运 用 掌 握 好
