1、集合预习指导同学们，大家好，新学期的脚步慢慢走近了，面对新学期里数学这门课的学习，你准备好了吗？经过前几期内容的介绍，大家对高中数学的一些基本情况有了一个大致的了解，对怎样学习好高中数学和在学习中会遇到的一些问题会有充分的心理准备，接下来我们将为开学的数学课学习做些准备，首先复习一下集合这一节的内容。由于大家还没有新课本，因此介绍内容会详细一些。 集合预习 一、预习内容1集合概念及表示法。2子集。3交集。4并集。 二、重点、难点解析1集合 (1)集合概念：和几何中的点、线、面一样，集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他基本概念来定义，它们也叫做不定义的概念或原始概念。课本通过几个具体例子对集
2、合进行描述性的说明，这也表明集合概念和其他数学概念一样，是从现实世界中得来的，而不是数学家凭空臆想出来的。对于一个集合，有以下三个特性： 确定性：“对于一个给定的集合，集合中的元素都是确定的” ，也就是说，对于任何一个作为具体研究对象的元素，都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两种情况有且只有一种成立。因此，诸如“高一(1)班个子高的同学” ， “比较大的角”等，就不能构成集合，因为“个子高”和“比较大”没有一个确定的标准。 互异性：对于给定集合中的任意两个元素，它们必定不相同，即同一集合中元素不能重复出现。这个特性在解某些问题时非常重要。 无序性：由于集合是指一组对象的全体
3、，而不论这些对象的先后顺序，因此在表示集合时，元素排列的先后顺序不影响集合的表示。 (2)集合的表示法。表示集合常用下列两种方法： 列举法： 把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法叫做列举法，当元素个数较多，或集合为无限集，在用列举法表示集合时，可以采用省略号，但应能很容易看出该集合中元素的规律。如：“小于 100 的正奇数”集合可表示为1，3，5，7，99；“负整数”集合可表示为-1，-2，-3，-4， 。 描述法： 把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法叫做描述法。竖线前面是这个集合的元素的一般形式，竖线后面是这个集合的元素的公共属性。如x|x+3=3x
4、-1 ，表示元素 x 是方程 x+3=3x-1 的解，即 x=2。亦即x|x+3=3x-1=x|x=2=2 。所有整数组成的集合可以写成整数 ，而所有整数的写法就不正确了。 (3)符号“ ”与“ ”。表示“属于”的符号“ ”和表示“不属于”的符号 。 “”(或“ ”)仅表示元素和集合之间的关系，不能表示两个集合之间的关系。由集合中元素的确定性，对于任意的元素 a 和集合 M，在“aM”和“a M”这两种关系中必有且只有一种关系成立。 (4)常用的数集记号。以数为元素的集合叫数集。按约定，在通常情况下常用的数集符号有 N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集，还有 Z-负整数集；Q+正有理数集
5、等。 例 1用另一种表示法写出下列各集合： (1)3 的整数倍 ；(2)1，6，11，16， 。 解：(1)x|x=3n，nZ ；(2)被 5 除余 1 的自然数 。 例 2已知集合 A=x| ，x Z ，B=x|6x Q，x Q ； z(1)判断集合 A、B 是有限集还是无限集；(2)判断-2， ，10 与集合 A、B 的关系。 2解：(1)A=-6，-3，-2，-1，1，2，3，6，B=有理数，所以 A 是有限集，B 是无限集。 (2)-2 A， ，10 A；-2 B， ，10 B。 2例 3已知集合2，x-1，2x 2-5x+5，求实数 x 应满足的条件。 解：由集合中元素的互异性， 2
6、x-1 解得 x3。 22x 2-5x+5 解得 x1，且 x 。 23x-12x 2-5x+5，2x 2-6x+6 0， =36-480。 所以 x3，且 x1，且 。 x2子集 (1)子集的定义：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集。即若 xA，就必有 xB，则称 A 为 B 的子集。但不能说“集合 B 中的部分元素组成的集合 A 叫集合 B 的子集” ，因为这和“空集是任何集合的子集”的规定矛盾，也和“任何一个集合是它本身的子集”的结论矛盾。 如集合 A 是集合 B 的子集，我们记作 A B(或 B A)，读为“A
7、 包含于 B”(或“B 包含 A”)。如果集合 A 不是集合 B 的子集，相应地记作 A B。 由子集的定义，A A，即任何一个集合是它本身的子集。 若集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)，读为“A 真包含于 B”(或“B 真包含 A”)，如 A 不是B 的真子集，相应地记作 A B。 由此规定，空集是任何非空集合的真子集，但不能说“空集是任何集合的真子集” ，因为空集不是空集的真子集，只能说“空集是任何集合的子集” ，即 f A。 由子集和真子集的定义，很容易证明集合的包含关系有传递性，即：若A
8、 B，B C，则 A C，若 A B，B C，则 A C。 (2)空集：不含任何元素的集合叫做空集。用符号“ ”表示，如x|x 2+1=0，xR是空集。但“ ”不是空集，它是以集合为元素的集合(这个元素是空集)， 0也不是空集，它有一个元素 0。 (3)符号“ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”。这几个符号仅适用于两个集合之间的关系，而“ ”、 “ ”是用于元素与集合之间的关系。(4)集合的相等，若集合 A 和 B，既满足 A B， 又满足 B A， 则称这两个集合相等，记作 A=B，读作“A 等于 B”，因此，要证明 A=B 只要证明 A B，同时 B A 就可以了。 (5)韦恩图。如两个集合
9、 A 和 B 有关系 A B，可以用图形象地表示如右图，这个图常称为韦恩图，其中两条封闭曲线内部分别表示集合 A 和 B，韦恩图可以形象地帮助我们思考集合的一些问题。 (6)集合的子集个数。一个有 n 个元素(n N)的有限集 A，它有 2n个子集，其中包含空集 和它本身 A。因此，集合 A 有 2n-1 个非空子集(不含 ，含 A)，有 2n-1 个真子集(不含 A，含 )，有 2n-2 个非空真子集(不含 ，A)。 例 4指出下列集合之间的关系： (1)A=三角形，B=等腰三角形， C=等边三角形； (2)A=x|x 2-x-2=0，B=x|-1x2， C=x|x2+4=4x ； 解：(1
10、) C B A (2)A=-1，2，B=x|-1x2，C=2，所以 C A B。 3交集 (1)交集的定义，由所有属于集合 A 且属于 B 的元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集，用符号“AB”表示，读作“A 交 B”。实际上 AB 是由所有集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合。用集合的写法，可以表示为 AB=x|xA，且 xB。AB 也可以用韦恩图表示如下。 (2)交集的性质。由交集的定义和集合相等的定义，很容易得到：AA=A，A = ，AB=BA 。 对 A = 证明如下：假设存在元素 x(A ) ，则由交集定义得 x ，与空集的定义矛盾，所以 A 中不存在任何元素，即 A
11、 = 。 此外，还容易证明，AB=B 与 B A 等价。 (3)交集与方程组，不等式组，求方程组的解集，即求方程组中每一个方程的解集的交集。求不等式组的解集，即求不等式组中每一个不等式的解集的交集。 例 5已知集合 A=1，2 ，B=4，k 2 ，且 AB ，求实数 k 的值。 解：AB ，4 A， k 21 或 k22。 k=1 或 k= 。 4并集 (1)并集的定义。由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A与 B 的并集，用符号“AB”表示，读作“A 并 B”。实际上 AB 是由集合 A 和集合 B 中所有元素组成的集合，但集合 A 与 B 的公共元素在 AB
12、中只能出现一次，用集合的写法，可以表示为 AB=x|xA， 或 xB 。 注意“x A， 或 x B”中“或”的意义包含三种情况：x A，但 x B; x A，但 xB， x A， 且 x B。 AB 可以用韦恩图中的阴影部分表示。 (2)并集的性质，由并集的定义和集合相等的定义，很容易得到：AA=A，Af=A，AB=BA。 由交集和并集的定义，也容易得到(AB) A (AB)，(AB) B (AB)。 例 6已知平面上的点集 A=(x，y) |y=2x+1， B=(x，y)|y=2x-1， 求 AB 和AB，并说明它们的几何意义。 解：AB=(x，y)| 因直线 l1：y=2x+1 和直线
13、l2：y=2x-1 互相平行，2xyl1和 l2没有公共点，所以 AB= 。 AB=(x，y)|y=2x+1，或 y=2x-1，它的几何意义是两条平行直线。 例 7已知集合 A=x|x2+px+q=0，B=x|x 2-4x+r =0，且 AB=1，AB=-2，1，3。实数 p、q、r 的值。 解：AB=1，1B，1 2-41+r=0，r=3， x 2-4x+3=0， B=1，3， 又 AB=-2，1，3， -2A，又 1A， p=-(-2+1)=1，q=(-2)1=-2。 p=1，q=-2，r=3。 练 习 一、填空题 1已知 A=x|f(x)=0 ，B=x|g(x)=0 ，则方程 f(x)g
14、(x)=0 的解集可以表示为 。 2 被 3 除余 2 的自然数可以用列举法表为 。 3已知集合 A=x|x=2n-1，nZ ，B=x|x=4n1，nZ ，则 A B。 4已知 A=x|-1x2 ，B=x|0x3 ，则 AB= ；AB= 。 5已知 A=a，b ，AB=a，b，c，d ，若 AB= ，则 B= 。 二、解答题 6设 xR， yN。集合 A=2，x 2+y2 ，B=5，xy+4 ，且 A=B，求 x， y。 7已知集合 A=x|x 2-x=0 ，B=x|ax 2-2x+4=0 ，且 AB=B，求实数 a 的取值围。 答案及提示 一、1AB， 22，5，8，11， 3=， 4x|0x2，x|-1x3 5c，d 二、提示，根据集合相等的条件和集合的性质，有 ， xR， yN。 三、由于 A=0，1，B A，所以分情况讨论，当 B= ，或 B=1，或 B=0，或B=0，1，最后求得 a 的取值范围。
