1、继电保护滤波技术滤波器的分类摘要频域分类：低通、高通、带通、带阻继电保护算法中典型的是 50hz窄带通滤波器。一些消除非周期分量等辅助滤波器时域分类：无限冲击响应、有限冲击响应无限冲击响应滤波器(递归型滤波器) ：连续系统： MkkNtntxdtycy0)(1)()(离散形式： kknnba01 )()()(由于存在输出的反馈，故 th,有限冲击响应滤波器(非递归型滤波器 )：连续系统： Tdtxty0()(的特点： ， 或者h)h0Tt离散系统： Mkknxny0()(继电保护中主要采用有限冲击响应滤波器。频域分类分为低通、高通、带通、带阻的滤波器。对于继电保护来说，通常是要求某个频率分量(
2、并且往往是频率为系统额定频率的基波分量) 的相量，所以是需要窄带通滤波器，将其它分量滤除。有时，需要把某个特定的频率分量滤除，例如发电机保护中需要滤除三次谐波分量，需要窄带阻滤波器，也称为陷波器。对于通常的低通滤波器则往往只作为一些辅助的滤波器用。高通滤波器的应用比较少。时域分类对于能够物理实现的滤波器，必须是因果系统，即 ，故可表示为()0,htt0()()ytxthd进一步，若滤波器的冲击响应满足 ，即滤波器 的长度是有限的，()0,tT()t则称为有限冲击响应滤波器( 系统) ；否则称为无限冲击响应滤波器 (系统)。有限冲击响应滤波器又可表示为 0()(Tytxthd有限冲击响应滤波器的
3、传递函数没有极点。这从拉普拉斯逆变换的赫维赛德展开式展开式中可以看出，在时域上，有限冲击响应滤波器的暂态过程只持续 时间。T设 ，有00()sin()txtXt 0 0()()tTtyxhdTtt 在 后，显然 ，因而 已经无暂态分量。t0()(y()y对于一般的信号 ，根据傅立叶变换知识，不难得到同样的结论。xt由于有限冲击响应暂态持续时间短的特点，故在数字式继电保护中得到了广泛的应用。对于模拟式滤波器，通常都是无限冲击相应滤波器。模拟式滤波器有系统的综合(设计) 方法，而实际应用的数字式无限冲击响应滤波器往往是应用它们的成果，并且采用微分方程表达式更加直观，故通常表示为 ()()10()N
4、Mnnytatbxt有限冲击响应滤波器差分滤波器系列作用消除非周期分量的影响。因此，对于一些消除衰减非周期分量的滤波器也归入这类滤波器。基本差分(微分) 滤波器连续系统(微分滤波器)： ，dtxty)(1)(00jH系数 是归一化处理，为了使 ，便于观察011)(0离散系统(差分滤波器)： 2sin01SkkTxy即为基波分量在一个采样周期内的相角。ST0频率特性： 2sin2sin1)( 020STjSTjj eeHS或)2(00sin)()( Njj ee分析： 基波时 。相对于连续系统，相当于 时刻的微分200)(STjjeH STkt)21(滤波器。在 范围内为高通滤波器，在 时达到最
5、大2Sf2Sf。对于 ，由于混叠作用，幅值周期性变化。SSj TeHS 0022sin1)(2Sf采样率的影响？采样率越高，时间窗越短(速度越快)，但是对于高次谐波，由于分母变小，所以最大输出的放大倍数增大。但从结合后面介绍的算法看，采样频率高不会使得误差放大，但采样频率太高，也没有什么好处。消除(已知时常) 衰减非周期分量的滤波器简单系统(理想电源、L_R 线路模型)和简单故障(三相短路)时的故障电流 )sin(,sin0 IAtIAeit RL有 关与),(非周期分量的频谱： 12feFt连续时间系统本滤波器是设 为非周期分量的衰减时间常数。 为已知量(例如取线路参数)00思路：当输入为纯
6、非周期分量时。滤波器的输出为 0，实际上就是满足微分方程：0xdt滤波器归一化形式：，20)(1)(xdtty 20)(1)(jH20)()(H与微分滤波器相比，指数衰减滤波器对于高次谐波，略好。， ，与 相对应的时间为)(00)(je)1arg(00)(tx当 时，就是微分滤波器。001)(tt 滤除非周期分量的效果。当实际输入信号中非周期分量与假设衰减常数不一致时，设输入信号为 )sin()(0tXAetxt则 )si()(1)( 020tetyt因此，经过滤波器后，非周期分量变成原来的 。20)(1当实际非周期分量衰减很大时，滤波器还会其放大作用，当然，此时的非周期分量频谱中高次谐波成分
7、占主要成分。离散时间系统思路：类似于连续系统，可以直接推导。也可以将连续系统离散化，但会存在一定的误差。令 ，则对应的数字滤波器为0STea )cos(21)cos(21)( 010 SkSkkk TaxTaxxy )cos(1)cos(212sin)()(i)( 00202 SSSj Tjj baeHeS 其中 0221STeab基波分量的输出特性：)(00)(jjeHsincoarg时， ，故 ，就是差分滤波器。012si1kkxy推导需要滤除衰减非周期分量： ，并且保持基波的大)sin()(00tXAetxt小没有变化。当时间常数 已知时，显然采用 ，就可以滤除非周期分量。xdt此时 )
8、sin(1)( )sin(co020 00 tXtxdtarctn故滤波器的形式为 20)(1)(xdtty当 时，就是微分滤波器。0频率特性为 20)(1)(jH20)()(与微分滤波器相比，指数衰减滤波器对于高次谐波，略好。当实际输入信号中非周期分量与假设衰减常数不一致时，设输入信号为 )sin()(0tXAetxt则)sin()(1 )(1)sin(cos)1()()(020 2000020 teA ttXeAxdttyt t误差为 te20)(1实际应用是时间常数的选取方法，可以取得比实际线路时间常数略小。离散时间系统当然，可以从连续系统离散化得到，但会带来一定的数值计算误差。为了消除
9、数值计算误差，可以直接计算： 2sin)cos(2)1( coin)1sin()(,sin(01 0)1(20000 00 kXeAx kXAetxkexSSSS SSTkkk TkkT令 ，则0STea sin)co()sin()co(2 )(si is 2cos)sin(2i)cos(2)(2)c( 1(n1()1)1(00 01 kkaXkaa kkk akaxxk21)1xxykk cos21cos21)(sin)()cos)(i)(22 aTaTTeHeaaj SSSj jSSj 可以证明： )(00)(jjeHsincoarg时， ，故 ，就是差分滤波器。012si1kkxy消除(
10、未知时常) 衰减非周期分量的滤波器若非周期分量的衰减时间常数未知，理论上也可以滤除。下面只是对连续系统进行说明。 )sin()(0tXAetxt )sin()(co02000 tXetxtttt可以得到相应的滤波器(滤波器及其频率特性，作为作业 )。但是由此得到的滤波器的高频特性大大变差，因此得不偿失。通常不是好的方案。另外，在实际应用时，保护装置通常要装设前置模拟式低通滤波器，存在暂态过程。所以，有的文献对此也采取措施，但是其结果是使得滤波器的频率特性更加变差。对于实际的三相系统，接地故障，或者经过过渡电阻故障的相间故障，电流中存在多个非周期分量。各个非周期分量的衰减时间常数不一样，所以这种
11、方法，即使滤除非周期分量的效果也不一定好。积分滤波器系列作用属于低通滤波器，目的是减小高次谐波分量的影响，或者进行平滑处理基于基波分量时的表达式连续系统： ，tTdtxty)(2sin)(020sin)(TjeHfjjefH000)(推导 )2sin(sin(2)cos()cos(1)sin()( TttTtdttytT 显然，对于提取基波分量为目的的积分滤波器，并不是积分时间越长，效果滤波效果越好。实际上，正余弦滤波器也是具有积分作用的滤波器，并且是积分长度越长，滤波效果越好，所以对于简单的积分滤波器，在继电保护中通常只是作为辅助滤波器，例如平滑等，所以积分时间通常都不长。对于有些应用，例如
12、距离保护的解微分算法，也有采用积分滤波器的，由于此时的结果是阻抗，因此，积分长度越长越好，当然此时不需要上述的分母。离散系统令 ， STM102sinMmkSkxy 2)1(0010 sin2si12sin2sin)( SSS TMjSSTjMSMmTjkSTj eeeeH 2)1(00)(STMjTje特别地，当 时就是两点平滑滤波器。此时， ，2cos01SkkTxy20cos)(STjTj eeH200)(STjTjeH相对于连续信号，时间为 。2STt或 0)cos()(0Njj eeH采样率的影响？数据窗长度的影响？基本表达式，10)()(mknxy1TmeeHjTjmkTjTj s
13、in)( 2)1(10 特别的，当 时，有时也称为加法滤波器。1m零点(极点) 滤波器零点滤波器零点滤波器的时域和频域表达式只要滤波器的频率特性满足 ，就能滤除该频率分量 。零点滤波器就是0)(ijeHi采取这种设计方法。设滤波器的数据窗长度为 ，零点滤波器的形式为TTjijceH1)(其中系数 为i Tjiie显然满足 。0)(ije滤波器的时域表达式为 )()(iitxcty由于通常情况下 为复数，滤波器的时域表达式中的系数应该是实数。为此，需要设计两ic个共轭零点 ，使得滤波器的时域表达式中的系数变成实数。考虑到使滤波器的数据窗长度仍为 ，取T )1)(1()(22TjjTjjTj ee
14、eHii 上式可变换为下面两种形式 Tjjij eTe2cos21)( 2)4in()4in()( TjiijH采样标幺值表示的零点滤波器为 )4sin()4sin(2co2)( 00TtxtTtxyiii Tjii iij eTeH200 0)4sn()4sn()( 200)(jje当数据窗长度 取待滤除谐波的周期(即 )，或者谐波周期的一半(即T2i)时，由于 已经是实数，不需要增加一个共轭零点，故可以采用更简单的方式：Ti ic时2i 2200 00)(,sin)(,2sin)()( TjjTjj eHeeHTtxty 时Ti 2200 00)(,cos)(,2cos)()( TjjTj
15、j eHeeHTtxty 零点滤波器的滤波特性说明举例：三次谐波滤波器。两个采样点、半周(一般方法和半周方法 )、一周数据窗 (一般方法和半周方法)说明它们的关系和频率特性的特点。零点滤波器的级联 )2cos1)(2cos1()( 221 TjTjjTjjiTj eeTeH 由此，可以得到时域表达时，滤波器的数据窗长度为 。级联后，频率特性可能要变21坏。对于存在多种特征谐波，这种方法不一定好。推导2020200)(sin)()(sin)(sin1)(Tjj Tjj TjTjjeHtxtyeeHej当数据窗为谐波周期的一半(即 )时， 为整数，i ic2020200)(cos)()(sco)(
16、cs1)(Tjj Tjj TjTjjeHtxtyeeHe极点滤波器极点滤波器的例子，从时域公式看响应时间零极点滤波器是指在频率特性，分子为零时为零点滤波器，分母为零时为极点滤波器。所以对于全零点滤波器，由于分母中无频率分量，故事实上是一个有限冲击响应滤波器。而有极点的滤波器，是一个无限冲击响应的滤波器。故在继电保护滤波器设计中，极点滤波器的设计较少。电流电压变化量的提取技术变化量的提取从滤波技术的观点看，属于陷波器。 )()(0Ttut正弦滤波器和余弦滤波器基本方法余弦滤波器：取冲击响应为： ， )2cos()0tfth滤波器的频率特性为： 2)(0ffH显然是一个理想的窄带通滤波器。但 为非
17、因果系统，冲击响应长度也是无穷大的(应该不是稳定的，但不直观)th故实际的滤波器取 )cos(2()0tTtpc称为窗函数，满足 。其中 为窗长。)(t 2,)(pTtpp滤波器的频率特性为 2)()( )(* )(0)(0 000 fTjfTjfjc pppefPefPH顺便指出：通常取 为偶对称函数，其 为实数。)(t )(f正弦滤波器(注意负号)： )2sin()0tftpths 2)( )(0)( 00 fTjfTjs pp efPefPjfH 矩形窗 2,0,1)(pTttpffPp)sin()()(sin()(sin2)( 0)()(0 00 fTefefTfHpfTjfTjppp
18、c pp 特殊情况： ，即为基波周期时0 一 般 情 况,)()()sin2,320,0 )(sin)(sin)( 000 0)(0)(00fefTfkf fTeefTf fTjfTj fTjfTjc 对于非整次谐波，其频率特性形式还是不直观。在理论分析时，采用非因果系统，其频率特性相差应该不大。此时 )(sin)(20ffHc并且，可得到正弦滤波器： )()(0fjfcs讨论：滤波器正交概念余弦滤波器和正弦滤波器的滤波能力比较。频率特性图0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50000.20.40.60.8118.177 10 8Fjxf 50( )Fhn
19、 f 50( )Fhmf 50( )Fbl f 50( )5000 f0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001501005001.744 10 7141.74920log Fjxf 50( ) 20log Fhnf 50( ) 20log Fhmf 50( ) 20log Fbl f 50( ) 5000 f窗长为整、半、 周波时的滤波器频率特性41窗长 )(fHc )(fHs )(fH,.210kTp )1(sin220fkfk0fjc.5,3120kTp )1(cos420fkk)(0fHjc40Tp )1(24cossin800fff)1(24c
20、os)4sin80fffj说明：为数据窗长度， 为正余弦滤波器频率。pT0Tf。对于频率分量， 。当 为整周波或半波时，,.21,0)2(kHp pT，即滤波器能够完全滤除 的分量。对于一般的 ，在,.,)(Tkp pkf2pT与 之间， 好像也应该有一个零点。注： 的情况可能例外。pTkfpf1)(fH)(fH对于其它频率分量，滤波器并不能完全滤除。通常将 在 前后两个过零 )(f0f点构成的部分称为滤波器频率特性的主瓣 ，而将其它任意两个过零点之间构成的部分称为旁瓣 。对于窄带通滤波器，主瓣越窄、旁瓣越小，滤波效果越好。通常 越长，主瓣越窄，旁瓣越小。另外，对于 为整窗或者半窗时，pTpT
21、，滤波效果通常较好(这时针对由正弦滤波器和余弦滤波器构成的算法而02)sin(fp言，若采用滤波器后的导数算法，情况还有待研究)。对于 周波窗长，好像余弦滤波器滤除高次谐波能力较好。41对于整周波窗长，余弦滤波器滤除低频能力较强，但是滤除高次谐波能力较弱。对于半周波窗长，余弦滤波器滤除高次能力较强，但是不能滤除直流分量。而正弦滤波器则能够滤除直流分量，但是滤除高次谐波能力较差。需要注意的是，对于实际应用的滤波器，考虑因果系统，此时余弦滤波器和正弦滤波器为 其 它,02),sin(4)2(cos)2(4)( 000 ppc TtTtTtth 其 它,),cos()(sin)()( 000 pps
22、 tttTt因此，我们这里的余弦滤波器和正弦滤波器，在窗长为半周波时，实际上分别就是通常所指的余弦滤波器和正弦滤波器(相差一个符号) 。 。所以通常讲的 余弦滤波器滤除非周期分量强的结论是正确的。窗函数窗函数的一般形式上面讨论的窗函数是矩形窗。为了减小旁瓣，有时可以采用其它窗函数。通常窗函数都选用偶函数，故可表示为2,02,)cos(1)(ppkpTtTtatp其中 为系数。ka常见窗函数：矩形窗： 10a汉宁窗(Hanning)： 。5.010a)2cos(1)(pTttp哈明窗(Hamming)： 。46.,.10 )2cos(8519.0)(pTtt图基(Tukey)窗：是否就是汉宁窗？
23、布莱克曼窗(Blackman)： 。.,5.0,2.210aa另外，还有三角窗(Bartlett)等。但三角窗并无多少好处(参见 数字信号处理，奥本海姆) 。在实际应用中，可以根据需要的滤波特性，自己设计窗函数。各种窗函数的频率特性设 为矩形窗函数的频率特性，则)(0fP0,)sin(,)(0fTfppkpkppk TffTaafPff ,)(1)(,.2,02)()(0220例：当 时，有1,0kppp TffTafTPff 1.0),(1),02)()( 2011说明：从窄带通滤波器的滤波效果看，显然应该取 ，并且 。 0,1a01a对于矩形窗，第个过零点为 ，表示主瓣的宽度为 。但是对于
24、pTf1pTf2一般窗，第一个过零点并不在 处，而在 处，表明矩形窗pf ),min(10afp的主瓣宽度最窄。显然， 越接近，主瓣宽度越窄，但是旁瓣越大。反之亦然。主瓣窄，表示01a滤波器滤除频率较低的谐波效果好，旁瓣小，则表明滤波器滤除频率较高的谐波效果好。下面各图为几种窗函数以及频率特性(Pjx：矩形窗；Phn：汉宁窗等等)。由此可见，数据窗的边界越陡，频谱特性的旁瓣越大，但是主瓣越窄；反之，越平滑，旁瓣越小，但是主瓣越宽。上面几个窗函数，如果画成图形，很直观的可以发现，其平滑的程度依次为布莱克曼窗哈明窗汉宁窗矩形窗。注：窗函数还要乘上一个系数。0 10 20 30 400.500.51
25、1.51.50Pjx i( )Phn i( )Phm i( )Pbl i( )01.5400 i0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50000.20.40.60.8118.177 10 8Fjxf 50( )Fhn f 50( )Fhmf 50( )Fbl f 50( )5000 f0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001501005001.744 10 7141.74920log Fjxf 50( ) 20log Fhnf 50( ) 20log Fhmf 50( ) 20log Fbl f 50( ) 5000
26、 f继电保护的算法算法概述算法的基本概念任何电力系统的测量和控制原理都基于输入信号的某些特征。继电保护当然也不例外。对继电保护来说，输入信号通常是电流、电压时间信号 。而继电保护需要测量(),itu(),itu中的某些特征，或者它们组合的某些特征。当然不同的继电保护原理需要测量的特征值是不同的。所谓继电保护算法，通常是指求输入信号的特征值。当然也有求多个输入信号组合后的某些特征值，例如解微分方程算法中求电感和电阻等。以下不作特殊说明时，均指出单输入信号的算法。不失一般性，可以假设求信号基波分量的特征值。输入信号可以表示为(1.1)(sin()(00ttXtx其中 、 、 分别为基波信号的幅值、
27、( 角)频率和初相角。 为信号的其它分量的0 ()t总和，称为噪声。继电保护的算法就是通过某种信号的变换技术，从输入信号 中计算出 、 、)(tx0X中的某个或者几个特征量。0令相量为 。只要得到相量， 和 就可以得到。在继电保护中，)(00tjeX 0X计算基波分量的相量算法应用最广。对于计算相量的相量算法，通常假设 为已知的系统0额定频率。在后面的分析中，如无特殊说明，都是指基波相量的相量算法。算法的时域表达式当继电保护装置连续计算输入信号的相量时，算法的输出结果也是时间的函数，记为，算法可以表示为)()(tjyttYsc )(txjTsc式中 为变换算子。从滤波器的角度看， 就是两个滤波
28、器，因此相,scT ,scT量算法是由两个滤波器构成的。设 的冲击相应为 和 ，频率特性为,sc )(t， ，则可表示为)()(cjeC)(sjeS)()( txjstcxtjxtY 式中符号 为卷积。当输入信号无噪声，即 ，算法应该没有误差，即)sin()(00tXt，根据滤波器频率特性的)si(2si)( 00)(00 tjeXtYtj定义，可知构成算法的两个滤波器必须满足 ，反之亦然。1)(,)(00SjC以后可以看到，满足一定条件的任何两个滤波器，都可以构成算法。将算法的一般形式表示为 )(0)()( sjetxjstxctY其中 为 的相频特性。)(s和 的频率特性满足)(tc )(
29、0)(0 00,)( SSjj eeC算法的频率特性与滤波器类似，算法也存在频率特性。但由于算法的输出是复数，频率特性的定义与滤波器不同。为了表达式简洁，令 为输入信号 在 时刻的相位，算法频率t)(tx特性的定义为 jXetYH)(,()更加滤波器频率特性的定义，知 )(0)(sin)()(sin)(),( sjsc eSjC上式可以进一步转换为 0()()()()()(, 22sj jjjjSeCeH 式中 为 的共轭。),C)(,由此可见，算法的频率特性不仅仅与频率 有关，还与 有关，因此用 表示。),(H显然，当输入信号为基波分量时， 。1),(0H算法频率特性反映了算法的滤波性能，对
30、于非基波分量 ， 越小，说0),(明算法的滤波性能越好。由于 与 有关，分析不方便。为此在定义几种频率特性：),(平均(均方根)幅频特性 20),(1)(dH最大幅频特性：),(max)(20ax最小幅频特性： ,in20in)()()(2SCH算法速度和精度算法的速度是指算法所需时间窗的长短，即输入信号从 0 突然变成时，算法输出达到 所需要的时间。时间窗越短，算法的速)sin()(0XtxjeXtY0)(度越快。显然，若算法的滤波器为有限冲击响应滤波器，算法的时间窗就是构成算法的两个滤波器的时间窗中较长的那个时间窗。算法的精度是指算法的误差大小。令 为输入信号的基波相量，根据不00)(je
31、t同的应用场合，有以下几种算法误差的定义：矢量误差： 0)()(XttY幅值误差： ，0)(tm相位误差： )(argtYt下面估计算法误差的大小。设输入信号噪声为 ttm),sin()(得 )(00 ,(, jmj eHXeXt其中 )(sin)(arg),() csSC对于幅值误差和相位误差，其数学表达式相当复杂。我们关心的往往是其最大误差。随着 的变化，以 为横坐标，考察 的变化轨迹，可以得到它们)(0tX )()(0tXtY的最大值。例如，与 轨迹曲线的切线的角度就是最大相位误差。对于Y(参见的算法多满足这种条件 )， 是一个椭圆，应该比较方便。具2)(sc (t体分析，待研究。下面进
32、行保守估计。从矢量图分析， 处于以 为圆心，以 和)(tY)(0tXmax)(H为半径构成的园环内。令 分别为矢量、幅值和相量的最大误差，得min)(H,m，ax0)(HXm )2rcsin(m当误差比较小时，有 。由此可见，算法的误差为噪声强度 与频率特性的乘积。0Xm若噪声中存在多个频率分量，即 mmMmtt ,)sin()(1可得： jmeHXt1)(0,()(粗略估计时，可以表示为 mMm)2arcsin()(12ax20附录：最大和最小幅频特性的证明为了求最大幅频特性和最小幅频特性，令 ，得(,)0dH22sin()sin()csCS为了表达方便，上式中省去符号 。上式为2222(c
33、oscs)in(sisin)co0csCSCS为了表达式简洁，令 22osinsicsabS则 0当 时，极值点满足cos20btga若 ，极值点可用反正确函数表示，不会影响后面的结论。在 内存在两个极值点。若 是一个极值点，显然 (当 时则为1110)也是极值点。1还可求得 2cosab上式的符号分别代表了两个极值点的 值。由于cos222s()()()cos2cCSabtg将上两式代入得 222co()os()cs故 的最大值和最小值分别为ssS)2c(24 scC )(sin)()(2)( )(2)(cos)()(224 244max sc sSHSC 证毕算法的数据窗和时间窗以幅值估计
34、算法为例说明之。在满足精度要求情况下，当然希望算法的估计速度比较快。所以，算法总是在有限个输入信号采样点中进行估计。以幅值估计算法为例，算法可表示为0,11(.)XMTx也就是说， 是从 共 个输入信号采用值中进行估计的。算法估计一,个特征值所需要的时间为 。sT（ ）因此算法是从 ( )中截取一段数据 进行估计的。kx.2,10,.0,11.Mx好像， 在窗外变化，算法从窗口上只观察到其中一段数据，故称为算法的数据窗，k称为数据窗的长度。M设 为每个周波采样点数，即N2NsT其中 为信号基波分量的额定(角) 频率。(或 )就反应了算法的速度。 越小，表示算法的速度越快。通常称 (或Ms MN
35、sMT)为算法时间窗的长度。N例：系统频率为 50Hz( )， ， 点。称算法的时间窗长度为10N20110ms，或称为 0.5 周波；数据窗长度称为 10 点。由于系统额定频率和采样周期都是已知；、 与 都是一一对于的关系。因此算法的数据窗长度和时间窗长度的概念往往不sMT加区别，并通称为数据窗长度。该例中，根据方便，有时称数据窗长度为 10 点，也可能称为 10ms，也可能称为 0.5 周波等等。我们从 中估计出一个特征值，从 中也可以估计出另一个特征0,11.Mx 1,2.Mx值。也即采样数据说时间的移动，得到各种估计值，故该估计值也是时间的函数。故可表示为 ,11().,)XkkMTx
36、无噪声模型的算法若测量信号在输入到算法前先经过滤波器滤除噪声 ，则可假设算法的输入信号为)(t纯正弦波形，即(1)sin()(00tXtx这样，只要有两点信号的测量值 ，就可以计算出相量。算法实际上转换为)(,21tx求解二元二次超越方程组的问题。导数算法连续系统的算式设 为 ，则)(tx )cos(00tX故相量算法为 )()(0tjxtY离散算法离散算法采用一阶差分代替导数，会产生数值计算的误差。可以采用前面介绍的补偿方法减小这个误差。实际上，对于导数算法，可以采用其它方法完全消除该误差，方法是对算法的虚部 采用两点平滑处理，然后进行补偿，得到的算法为)(tx NjekxjNkkY)cos
37、(21)sin(21 频率特性从滤波器角度看，导数算法由一个放大系数为 1 的比例滤波器和一个导数滤波器组成。故算法的频率特性为，jejH)sin()co(),(0 00,tt)(cos1)(),( 220H20)(1)(00max,)(H半波积分算法半波积分算法只能计算基波的幅值。由于 0020020 2)sin()sin( TT dtdt故得积分算法为 02)()(TtxtY半波积分算法也称半波绝对值积分算法或半波整流积分算法。 整流是指该算法与模拟式测量装置中的桥式整流电路的工作原理类似。算法的(幅频)特性： 02)sin(),TdtH当 时0)cos()2),( 00当 时0采用矩形积
38、分，相应的离散算法为 120)()(NiikxmkY或 (2)2()1() NkxmkY式中 为系数。Nm式(2)称为算法的递归形式，或称递归算法。递归算法能够减小计算量。数值积分存在误差，并且与初相角 有关。对于 ，在01200)sin()(Nka时 分别达到最小和最大。因此算法的系数应该取这两种情况下的平均值，N,0)(0a即 )(02)(1NaikxkYNi采取减小误差的措施后，系数可修正为 120)2sin()co()(02kNam时，的误差。,1N半波积分算法需要半个周波的数据窗，算法的速度并不快，也不能滤除噪声的影响。其优点是计算量小。另外，虽然不能滤除噪声，但对噪声的影响也不会放
39、大，所以稳态性非常好。相量估计算法富氏算法(矩形窗正余弦算法)全波富氏算法算式普通形式令 ，得 ( ，由周期信号的傅立叶级数展开02Tp0TA1)(,)0SjC的系数得到)，故 )()(tjyttYsc )(cos)in2000 TT dtxjdtxt 指数形式也可以表示为指数形式： 00)(2)(TjdtxejtY设输入为纯基波： 2)sin()( )()(0 00jeXtXtx tjtj )(01)( 0)2)()(00 )2()( )()(0000 000tXededTedtYtj TjtjTtj tjtjTtjtjj 离散算法： 1021)()(NkkjNkjnxeY递推富氏算法在实际应用时，为了减少计算量，有时采取递推形式：令 tjDTeYt0)(对于输入为纯基波： )()(0XtjT计算式：
