1、计算机应用数学 01332 （考试时间 2011-4-17 下午）1关于函数 |sin()coxfe()的说法中，正确的是奇函数3当 0x时，与 21l为同阶无穷小的是4x。4曲线 ly上一点 P 的切线经过原点 0,，则点 P 的坐标为（( e ,1 ) ） 。 5下列关于函数 f(x)=2x+1(x0)的奇偶性的说法正确的是（ 非奇非偶函 ） 。 6极限 x2sim的值为（ 0 ） 。 7函数 f(x)= |x| 在 （0，0 ）点处 连续 。8方程 在区间 内（ 有唯一实根） 。31(,)9求导正确的函数是 (e -x)/=-e-x 10对于函数 ，在区间 上满足拉格朗日中值定理的点 是
2、( ) 。2f12111直线 L1: = y = 和 直线 L2: x= = 之间的最短距离为（ ） 。xz3y4z312定积分 的值为（ 20 ） 。 31d13设 A,B,C 均为 n 阶方阵，且 ABC=E ,其中 E 为 n 阶单位阵。则必有（CBA=E） 。14设 A 为 n 阶方阵, B 是 A 经过若干次初等变换得到的矩阵, 则有 若|A|=0,则一定有 |B|=0 15下列各式中错误的是（ A ） 。Ax x Bx x Cx x,x Dx x,x 16极限 的值为（ 4 ） 。 )2-(limx17 . f(x)=sin(x2-x)是（有界函数）18.函数 在0,+ )上的单调
3、性是（单调增加 ） 。1ey19积分 的值为（ ） 。 d2c20. 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（r=m 时，方程组 Ax=b 有解21. 行列式 的值为（ -33 ） 。564322. 设 A=a,b ,则 A 的幂集 为（ ,a,b,a,b ） 。)(23. 设 321均为 3 维列向量，记矩阵)(， )93,42,211B，如果 ，那么 （ 2 ） 。25.当0 时，xcosx 是（ 无穷小量） 。26.下列关于函数单调性的说法正确的是（函数 f(x)= x+1 （- Y 的函数（B） , B. , C. , D. , ,
4、 89. 行列式 的值为（ 7 ）。513290. 设随机变量 X 服从正态分布 N( ),则随着 的增大，概率 P|X - |n 时，必有行列式|AB|=0） 。104. 指出函数 在 x=0 处 的导数为( 0 ).,1si)(2xf105. 已知 ,则 dy 等于（ ） 。ytaxdtg2sec106极限 的值为)n(lim0x（ 1 ） 。 108下列关于函数 f(x)=2x+1(x0)的奇偶性的说法正确的是（ 奇函数 ） 。 109不是复合函数的是（ ） 。xy21110. 齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是（系数矩阵 A 必有一列向量是其余列向量的线性组合。 ）.1
5、11. 设 n 元齐次线性方程组 AX=O 的系数矩阵 A 的秩为 r,则此方程组有非零解的充分必要条件是（ r0)是偶函数125 . 设 f(x)是周期为 T 的周期函数，则下列函数中，哪一个周期不是 T? f(2x) 二、1. 函数 f(x)= 的间断点是 1。x2(arccosx)=- 。x213 =0.0limn4 = - + C。d)(255. 函数 lnx 的二阶导数为- . 6函数 f(x)= 的间断点为1 ,1, 4x7 设有曲线 和直线 。记它们与 y轴所围图形的面积为 ，它们与直线 所围图形的面积为 。问 为何24(0)y(04)yc1A1x2Ac值时，可使 最小？并求出
6、的最小值。1AA4120(1)2ccdd() 令 ，得 。(1)2A， 1c为最小值点。 40min()12yydd7. = 。)l(10xe28设 A 为奇数阶反对称矩阵，则 |A|=0.9 = .licos210设方程 x= 确定 y 是 x 的函数，则 dy= .)ln1(yxd11. 矩阵 A= 的逆矩阵为 , A 的转置行列式为52301275012312. 已知 4 阶方阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2,3,4,5,E 为 4 阶单位矩阵，则|B-E|=24。13. 函数 x 上点（ ， ）处的切线方程是。14. =1xcoslim015 简要回答有界性定理的内容在闭区间上连
7、续的函数一定在该区间上有界。15. 函数 f(x)= 的间断点是 1216. 已知方程组 032xa无解，则 a= -1。17. 试卷三）若 4 阶方阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B1 E| 24。18. 行列式 的值为 753119.已知函数 f(x) 在 0，1 上有定义，a 0 ,则 g(x)=f(x+a) + f(x-a) 的定义域为a,1-a。20. 0。xsinlm21 计算行列式 的值31D4826012631636 3D21. 设函数 在处 x=1 可导，则 a= 2， b= -1。,)(2xbaf22 。dexc23设方
8、程 132有无穷多个解，则 a= -2。24设矩阵A= k,且秩（A）=3,则 k= -3。25函数 的值域是 0y + _。3xy26. 函数 在区间 内是单调增加的.在区间 内是单调减少的.12,()0，27设 ， （xo）,则 = 。)(f )xf2128 -1。xsinlm29设矩阵 A 满足矩阵方程 A2+A4EO，其中 E 为单位矩阵，则（AE） 1 )(。30.由 10，11，99 中任取一个两位数，这个两位数能被 2 整除的概率为 0.5,能被 3 整除的概率为 1/3，既能被 2 又能被 3 整除的概率为 1/6。31函数 y=arcsin 定义域是 。923103xx32若
9、 ，则 a= -6 ，b= 5 。,45limxba335 阶行列式 D= a10= 5432a。35.过点（1，2，3）且 平行于向量 s= (1,-4,1) 的直线与平面 x+y+z=1 的交点为(3.5,-8,5.5),形成的夹角 为 arcsin 。 9634 对以往数据分析结果表明，当机器调整的良好时，产品合格率为 90%，而当机器发生某种故障时，其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整的良好的概率是多少？设 A 为事件“产品合格”,B 为事件“机器调整良好“。已知 P(A|B)=0.9,P(A| )=0.3,P
10、(B)=0.75,P( )=0.25,要求概率为 P(B|A).BB由贝叶斯公式P(B|A)= = =0.9)(|)(|BPABP25.037.901 计算不定积分1lnlxd1l()()l lnxdnlxxl()C1若一个行列式的值为 0，是否一定有它的某一行或某一列元素全为零？说明理由。答： 不一定行列式的值为零只需要它的某个行（列）向量能够被其它行（列）向量先行表示既可。2设 ,AB为事件, 如果 ()PAB,一定有 吗? 说明理由。答：不一定 ()并不能推出 ，例如： 在区间 0,1上随机地取一个数 X，这是一个几何概率问题，设 0.12AX 0.12B，显然，0.1P，但 不成立3
11、根据临床纪录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以 A 表示事件“试验结果为阳性“，以 C 表示事件“被诊断者患有癌症“，则有 P(A|C)=0.95,P( | )AC=0.95.现在对自然人群进行调查，设被实验的人患有癌症的概率为 0。005，即 P(C)=0.005，求 P(C|A).已知 P(A|C)=0.95，P(A| )=1- P( | )=0.05,P(C )=0.005,P( )=0.995,由贝叶斯公式，P(C|A)= =0.087CAC )(|)(|CPACP4 计算不定积分 sin3xd解：1icos3xC3 求极限 xxlim()12.原式 2lix124 简要回答罗尔
12、（Rolle）定理的内容。如果函数 f(x)满足: 在闭区间a,b上连续; 在开区间(a,b)内可导; 在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)， 那么在区间(a,b)内至少存在一点 (a0,(x0)所以，当 x 0 时， F(x)是严格递增函数因此，当 x0 时，F(x)F(0)=0即 xln(x+ ) ,(x0)。1212x7什么是函数单调性 ?答：设 I 为函数 f(x)定义域 D 内的某一区间，对任意的 x1,x2 I，如果当 x1 f(x2) ） ,则称 f(x) 在区间 I 上是 单调增加的。 （或单调减少的）8求极限 的值x34lim20解： x= 1li0= 29 求斜
13、边长为 l 的直角三角形中，周长最大的直角三角形设直角三角形的两条直角边为 x、y，则：y= 2直角三角形的周长：Z=x+y+l=x+ +l 2xl令： =1- =0 dxz2l则： x= 由于所求的驻点唯一，又根据实际问题，必有周长最大的直角三角形，因此，当 x= ,y= 时，直角三角形的周长最大。最大周长为( +1)l.2l 29 设函数 ，求 的最小值点和最小值令 得驻点 可知为 的极小值点.由于驻点唯一，可知 为 的最小值点 最小值为9 简要回答介值定理的内容。如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且 f(a) f(b) ,则对于 f(a) 和 f(b) 之间的任何一个数 c ，在（
14、a,b）内至少存在一点 ，使得 f( )=c ( a f(x2) ） ,则称 f(x) 在区间 I 上是 单调增加的。 （或单调减少的）18 求不定积分 .2dx解： c53124)(19 求极限 的值limnn解： )(= 21)lin=220求函数 的导函数532xy解: 3246)( 21设矩阵 A= , B= ,求 BA74解: BA= =351022求极限 的值。xsin2colm0解： = = = =2x1ixsil0inlm2023求函数 ,的导函数ltgytci2osec224求不定积分 .3dx解: x2212)(625求极限 的值。5sinlm0解： = = =x5sin2
15、lm0)52si(lxinlm0x5s226求函数 的导函数ey1i2解： e1in2n2)coi() .x1si227 求不定积分 ed解： cxxx)ln(28求函数 的导函数13(2y)2ex.29 求不定积分 cosindxba解： x)l(1si30求极限 的值(lim31x解：设 ，则3)f31)(xf因为 =0，211lili(xx所以 )f31 求函数 的导函数ycosin解: )2(s32 求不定积分 dxi1解： cxslni33 求极限 的值)142(m解： 1linn= )(=234 求函数 的导函数xycos2解: )(cs)( 2xxsino235 求不定积分 .1
16、d解： x253224)(1. 设 f(x)在a,b上连续，在（a,b）内二阶可导，弦 AB( A(a,f(a), B(b,f(b)与曲线 y=f(x)相交于点 C, 点 C 的横坐标 c (a,b) ,证明：至少 (a,b)，使 f( )=0.由条件知 f(x)在a,c,c,b(acb)上分别满足拉格朗日定理的条件，故 1 (a,c), 2 (c,b), 使=f( 1), =f( 2) acf)(cbf)(成立。因为 C 在弦 AB 上，有= ，故 f( 1)= f( 2)，从而 f(x)在 1， 2上满足罗尔定理条件。故至少 (a,b)，使 f( )=0。f)(b 2. 设线性方程组（8）
17、ax4321其中 a 为实数，试讨论方程组的解解：首先考察（8）的系数矩阵 A 对应的行列式A1det因为a3t a1)（= 3)(10)3(a所以当，方程组（8）有唯一解。4,det1BrankA从 而时和当 时，增广矩阵为 31aB由于 所以（8）无解。048,4)(,)(Arank当 时aB011由于 （未知数个数） ，所以（8）有无穷多解，可得（ 8）的同解方程组4)(rnkA4321x9）把方程（9）中的 移到右边，作为自由未知量，即得原方程组 的全部解。32, )1(时a（其中 为任意常数）43. 设 在 上连续，且 ，证明：至少存在一点 ，使得)(f,01)(xf ,0.证明：设
18、 ，则 在 上连续.fxF,0又 ,)()(f)(fF若 ，则结论成立.或若 ，则由零点定理 .10或 0)(1,f使 得4. 证明：不论 b 取何值，方程 在区间 上至多有一个实根.3bx证：反证法.设 ，且在区间 上有两个以上实根，其中两个分别记为 ，不妨设 ，则 ，由罗尔定理，在xf3 21,x12x02xf内至少有一点 ，使 .1,f而 在 内恒小于 0，矛盾.命题成立.2f,5. 设函数 和 在 上存在二阶导数，且gba,0xg，证明 在(a,b)内 ；fa证：反证法.设（a,b）内存在一点 使 ，则在 上有 g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点 1使 ( 1)=0.1x)(1a g同理在(x 1,b)内也至少存在一点 2使 ( 2)=0. ( 1)= ( 2)=0g由罗尔定理，在( 1, 2)内至少存在一点 使 ,这与 矛盾，故在 内 .30)(g)(xba,0xg6. 证明方程 sinx=x 只有一个根证明：令 ，则 .xfsin)(1cos(xf在 内单调减少.x,f(x)=sinx-1=0 至多有一个根.而 f(0)=0,有且只有一个根.0f即方程 sinx=x 只有一个根.
