1、 2010 年 1 月 专业前沿讲座 1冷弯薄壁卷边槽钢弹性畸变屈曲分析中的转动约束刚度姚 谏(福州大学至诚学院 2007 级 土木工程专业（）班 学号：)随着我国科学技术的进步、人民生活水平及要求的提高，冷弯薄壁型钢作为“绿色建筑”中的重要组成部件，不仅在超市、商场等公共建筑的货架与仓储结构中得到广泛应用，更重要的是在工业与民用建筑中的应用亦正日益增加。卷边槽钢是工程应用最普遍的一种冷弯薄壁型钢，形式灵活多样，图 1 所示为常见的三种截面形式。畸变屈曲是这种卷边槽钢受压( 包括轴心受压与压弯)和受弯时可能发生的三种屈曲模式之一( 图 2(b)1，应该引起足够重视 26 。由于畸变屈曲时截面形
2、状将发生改变，刚周边假定已不适用，因此求解畸变屈曲荷载非常复杂繁琐。相对简单可行的方法是取图 3(b)所示计算截面来代替图 3(a)所示构件的原截面，采用解析法来求解 1,7。具体分析时，必须确定图 3(b) 所示 3 个约束刚度 kx、k y 和 k的取值。通常取水平约束刚度 kx=0 和竖向约束刚度 ky= 1,7。对腹板提供给翼缘板的转动约束刚度k，文献8推导、给出了轴心受压时的计算公式；作者 7针对弯矩作用在对称轴平面内的压弯构件，给出了腹板在对称变形条件下四种不同应力情况由压变为拉时的计算公式，但没有给出推导过程，也没有讨论腹板出现反对称变形的可能性及其影响。至今尚未查阅到其它有关详
3、细研究 k取值的文献。卷 边 d 翼 缘 腹 板 bf bw (a) 普 通 形 d 前 翼 缘 b1 b2 bf 后 翼 缘 (b) 带 后 翼 缘 形 b1 b2 bf d2 d1 后 卷 边 (c) 带 后 翼 缘 和 后 卷 边 形 图 1 常见的卷边槽钢截面形式Fig.1 Typical cold-formed channel sections(b) 畸 变 屈 曲 (c) 整 体 屈 曲 (a) 局 部 屈 曲 (a) 局部屈曲 (b) 畸变屈曲 (c) 整体屈曲图 2 卷边槽钢的三种屈曲模式Fig.2 Buckling modes of cold-formed channel s
4、ections(a) 原 截 面 (b) 计 算 模 型 翼 缘 截 面 形 心 剪 切 中 心 Mx My kx ky k x kx ky y (a) 原截面 (b) 计算模型图 3 解析法计算模型Fig.3 Theoretical model for distortional buckling analysis本文通过求解弹性矩形薄板在微曲状态下的平衡微分方程，对腹板在纵向均布应力作用下的转动约束刚度 k 进行了较为深入的研究，包括：1) 不同应力情况下 k 计算公式的推导；2) 腹板出现反对称变形的可能性及其影响分析；3) 提出不同应力情况下 k 的统一近似计算公式等。研究结果可供解析法
5、分析卷边槽钢构件在轴压、压弯和受弯情况下的畸变屈曲时直接采用，并为提出畸变屈曲荷载的实用简化计算公式提供了必备条件。1 对称变形下的转动约束刚度 k取一个半波长度的卷边槽钢腹板板段，如图4 所示。板段的长、宽和厚度分别为 、b w 和 t， 是畸变屈曲在构件纵向形成的一个半波的长度(以下简称半波长度)；板段四边简支，其中两对边承受沿 x 方向的均布正应力 (压应力为正，拉应力负)、两纵边承受分布弯矩 m(x)。设 m(x)沿纵边的ky(a) 普通形 (b) 带后翼缘形 (c) 带后翼缘和后卷边形专业前沿讲座 2分布为正弦曲线 8，即：(1)0()sinxmx式中 m0 是常数。 y x 板 纵
6、 边 O 板 纵 边 t bw m (x) m (x) 图 4 承受均布压应力和分布弯矩的腹板Fig.4 Rectangular plate subjected to compression and moments图 4 所示矩形薄板在微曲状态下的平衡微分方程为 9：(2a)4242wwtDxyx或 8：(2b)42420wKb边界条件为：(3a)/20wyb2 02/2()sinwybxDmxyx(3b)以上式(2)和式(3) 中：w 是垂直于板中面的挠度；D 是单位宽度板的抗弯刚度； K 是与抗弯刚度 D和板承受正应力 有关的无量纲参数：(4)2wbtD取微分方程(式(2)的解为 9：(5
7、)()sinxfy式中 f (y)是一个关于 y 的待定函数。将式(5)代入式(2) ，可得以下确定函数 f (y)的四阶齐次线性微分方程：(6)224dd0wbffKfyy其特征方程为：(7)2224 wrrb该特征方程的根与无量纲参数 K 的取值范围有关，求解结果见表 1。表 1 特征方程( 式(7)的根Table 1 Solutions for equation (7)K 值范围 特征方程(式(7) 的根 备 注2wb;1, 2cwrb3, 4i (8a)wcbK(8b)20wK;1, 2cwr3, 4b(8c)wcb;01, 2wr3, 4(8d)02w0K;1, 2ittwrb3,
8、4tt (8e)21t wbK(8f)122t b由表 1 结果并考虑对称性，最后可得微分方程(式(2)满足边界条件(式(3)的解为： 1) 时，wbK专业前沿讲座 32()wcbD(9a)osh/cos(/)(2wcyybmx 2) 时，20wbK2()cD (9b)cosh(/)cosh(/)(22wwccybybmx 3) 时,0K001tans4oshwD(9c)2i()wymxb4) 时，K(9d)22tanh/ta(/2)cosh(/)cos(/)sinh(/)sin(/)(1tatawtttw twt ttbybyyybx 将以上求得的图 4 所示弹性矩形薄板的挠度w(式(9)
9、代入下式：(10)/2()wybmxk经整理，最后得板纵边的转动约束刚度为：1) 时，2wbK(11a)2tanh(/)tan(/)cc cDk 2) 时，0wb (11b)2tanh(/)tanh(/2)cc cDk3) 时，0K (11c)120004ttwb 4) 时，(11d)2221tanh(/)tan(/)1th/1tanh(/2)t ttwt tkb2 反对称变形下的转动约束刚度 k以上分析中，考虑到结构、边界条件和荷载的对称性，假定腹板的挠度关于 x 轴是对称的，但采用 THIN-WALL 有限条程序 10进行畸变屈曲分析时发现，当卷边槽钢的腹板与翼缘板之宽度比值较大时，腹板会
10、出现反对称变形的情况，因此本节推导反对称变形下的转动约束刚度 k 计算公式，并分析反对称变形的影响。采用与上节相同的方法、步骤，可导得图 4所示弹性矩形薄板发生关于 x 轴反对称变形时的挠度 w 和纵边的转动约束刚度 k ，其中转动约束刚度 k的计算公式如下：1) 时，wbK(12a)2coth(/)cot(/2)Dk2) 时，0wb(12b)2coth(/)coth(/2)k3) 时，0K(12c)120004ttwDb 4) 时，(12d)2221tanh(/)cot(/)tanh(/)co1tanh(/2)t tw ttDkb 为了分析出现反对称变形的可能性及影响，选取表 2 所示 6
11、种截面尺寸的普通卷边槽钢受弯构件( 弯矩作用在对称轴平面内 )，分别用式(11d)和 式(12d)计算 k。若选全截面受压的轴压或压弯构件，则为确保局部稳定性而腹板的高厚比通常不应超过 1508,11，无法达到研究目的。计算结果及比较列于表 2，可见：对常用截面(b w /bf 3 和bw /t150) 8,11，对称变形时的 k 值均比反对称变形时小，因此反对称变形不可能出现；对腹板高度很大的后三种截面(实际工程很少应用 )，对称变专业前沿讲座 4形时的 k 值均大于反对称变形时，但最大差别不到 2%，说明反对称变形虽会出现，但影响很小。因此，采用解析 法 (图 3(b)分 析 卷 边 槽
12、钢 的 畸 变 屈曲时，腹 板 提表 2 转动约束刚度 kTable 2 Comparison of rotational restraint k截面尺寸(图 1(a) k/ (Nmm/mm)bw/mm bf /mm d/mm t/mm 对称式 (11d) 反对称式(12d) 对称/反对称 备注50 769 2270 0.339100 438 1149 0.381150 407 791 0.515300 542 538 1.008400 545 535 1.01950050 15 1.0540 539 1.002计算时取：E=206GPa；=0.3；=600mm；=-100MPa(拉应力)供给
13、翼缘板的转动约束刚度 k可以直接采用对称变形下的计算公式(11)，不必考虑反对称变形的情况。3 转动约束刚度 k 的简化公式根据以上分析，转动约束刚度 k 可以直接采用对称变形下的计算公式(11)，而忽略反对称变形的情况，这使畸变屈曲分析得到了简化。但具体应用式(11)时仍很复杂，需根据腹板的不同应力情况分别采用式(11a)式(11d)中的一个，致使提出畸变屈曲荷载的实用简化计算公式非常困难。因此，本节将通过分析比较，为式(11)所包括的四种情况下的 k 值提出统一的简化公式，以方便畸变屈曲分析，为今后提出计算畸变屈曲荷载的实用简化公式提供必要条件。畸变屈曲半波长度 由截面尺寸决定，与构件受力
14、情况无关 ，因此对给定截面，转动约束刚度 k 取决于腹板上的应力 大小。利用式(11)计算常用截 面 尺 寸 范 围 内 (40b w /t150) 各种卷边槽钢(图 1)的转动约束刚度 k 与腹板应力 的关系，发现两者间具有很好的线性关系，如图 5 所示图中实心圆点是按式 的计算结果，虚线是这些计算结果的拟合直线。因此，为简化计算，提出采用以下直线关系式来统一近似 k-的理论关系式11) ：(13)211()k式中的 k和 k2 是理论关系曲线 k-上任取两点1 和 2 的对应转动约束刚度值，这两点可分别取1=-50MPa 和 2=50MPa，也可取其它值，如取1=-100MPa 和 2=1
15、00MPa，所得结果差别很小，最大不超过 2%。 280290300310320330340350360-100-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 100腹 板 应 力 /MPa转动约束刚度k /(Nmm/mm) bf=90 bf=90 bw=120 d=15 d=15 t=1.0 图 5 典型的转动约束刚度 k 与腹板应力 的关系Fig.5 Stiffness of rotational restraint k vs. web stress k-的直线公式(13)精度很高，对图 5 中所示截面尺寸，与理论公式(11)的最大误差0.4%( 对其它常用截面尺寸，最大差别 2
16、.3%)。而且，式(13)表达的 k-关系直接明了，使用时远比需区分腹板不同应力情况的理论公式简便，因此可代替式用于解析法分析畸变屈曲荷载时。同时，式(13)的提出为今后研究畸变屈曲荷载的实用简化计算公式提供了依据和方便。4 结语本文通过求解单向均布应力作用下弹性矩形薄板微曲状态下的平衡微分方程，对卷边槽钢腹板提供给翼缘板的转动约束刚度 k 进行了较为深入的研究，导出了腹板发生对称和反对称变形时各种应力情况下的 k 理论计算公式，得到了对解析法分析卷边槽钢畸变屈曲荷载非常有用的以下两个 结论。腹板提供给翼缘板的转动约束刚度 k ，只需考虑对称变形下的计算公式(11)，反对称变形的情况可以忽略。
17、(2) 转动约束刚度 k 与腹板应力 呈线性关系，式(11a)式(11d) 所包括的四种情况下的 k 值可由统一的简化公式给出。本文研究成果为以后研究提出畸变屈曲荷载的实用简化计算公式提供了依据和方便。参考文献：1 Lau S C W, Hancock G J. Distortional buckling formulas for channel columns J. Journal of Structural /(Nmm/mm) bf 专业前沿讲座 5Engineering, ASCE, 1987, 113(5): 10631078.2 陈绍蕃. 卷边槽钢的局部相关屈曲和畸变屈曲J. 建筑结
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