1、长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答15-1 试求图5-1（b）网络的频率特性。 1RiuCou2图5-1 积分网络（b）解：由积分网络图5-1（b）可得方程 211iooioudRuCtA两边在零初始状态下同时进行拉普拉斯变换，得 211ioiooUsUssRA整理可得 21oisCs该网络的频率特性为： 21oiUjjR5-3 该系统结构图如图5-2所示，试根据频率特性的物理意义，求在下列信号作用下，系统的稳态输出 和稳态误差 。sctset其中， sin302o45ortt1sRsECs-图5-2 反馈控制系统结构图解：有系统的结构图可得，系统的闭环传递函数和误差传递函数：，
2、12CsR12Es则相应的频率特性为：长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答221arctn24CjR2rtrtEj由频率特性的定义可知：当 时sin302cos45orttt2 112 2sin30arctnco45t40.7sin3.0,7sinos otttt 2 1122iarctrta4cos45rtnrct0.63sin8.3.1cos26.57os ooetttt 5-10 概略绘制下列传递函数的幅相曲线。1. 216.4KGss解：（1）系统的频率特性为： 2 222 216.4116. .4jj KKja）开环幅相曲线的起点: 09oGjb）开环幅相曲线的终点: 2
3、7ojc）与实轴的交点：令 ，解得： ，Im0Gj10.5/rads长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答311Re2.5GjjK（2）开环幅相曲线如下图所示： 0j.25x2.5K64图5-10（a）2. 1KGsT0解：（1）系统的频率特性为： 221KGjjTjb）开环幅相曲线的起点: 07ojb）开环幅相曲线的终点: 18oGjc）与实轴和虚轴均无交点。（2）开环幅相曲线如下图所示： jKT00图5-10（b）长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答45-13 试绘制下列传递函数对数幅频渐近特性曲线。（3） ，（4）240.51sGs210.sG解：（3） 22.05
4、1ssss 确定各交接频率 ， 及斜率变化值。i1,3最小相位惯性环节： ，斜率减少 ；1.0/dBec最小相位一阶微分环节： ，斜率增大 ；252最小相位振荡环节： ，斜率减少 。34/最小交接频率： 。min10. 绘制低频段 渐进特性曲线。in因为 ， ，则低频段渐近线斜率 ，120lgl4KdB20/kdBec并且通过点 。,1,0 绘制频段 渐近特性曲线。min，i240/kdec，23B，6/系统开环对数幅频渐近特性曲线如下图所示：10-2 10-1 100 101 102-80-60-40-20020406080100Magnitude (dB)Bode DiagramFrequ
5、ency (rad/sec)（4） 22.5sGs长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答5 确定各交接频率 ， 及斜率变化值。i1,2最小相位惯性环节： ，斜率减少 ；10.0/dBec最小相位一阶微分环节： ，斜率增大 ；2最小交接频率： 。min1. 绘制低频段 渐进特性曲线。in因为 ， ，则低频段渐近线斜率 ，20lg2l06.2KdB40/kdBec并且通过点 。1,1, 绘制频段 渐近特性曲线。min，i260/kdec， 4B系统开环对数幅频渐近特性曲线如下图所示：10-2 10-1 100 101-20020406080100120Magnitude (dB)Bode
6、 DiagramFrequency (rad/sec)5-19 试由图5-33所示的对数幅频渐近特性确定各最小相位系统的传递函数。 LdB401dLdB12b0c4LB1c2300LdB4241a .2.98340图5-33 最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答6解：本题分别求解如下：（1）图5-33（a）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为 ，故有 。0/dBec0 确定系统传递函数结构形式。 处，斜率变化 ，对应惯性环120/dBec节； 处，斜率变化 ，对应惯性环节。因此，系统应具有下述22/dB
7、ec传递函数。 12KGss 由给定条件确定传递函数参数。由于低频渐近线经过点 ，故1,20lgK0lg4解得： ，于是，系统的传递函数为：10K12Gss（2）图5-33（b）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为 ，故有 。40/dBec 确定系统传递函数结构形式。 处，斜率变化 ，对应一阶微120/dBec分环节； 处，斜率变化 ，对应惯性环节。因此，系统应具有220/dBec下述传递函数。 12sKG 由给定条件确定传递函数参数。由图（b）可得 ，解得0114lg2lc，再由 ，即 ，于是系统的传递函数为：01c20K1c12csGs（3）图
8、5-33（c）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答7近线斜率为 ，故有一个微分环节 。20/dBec1 确定系统传递函数结构形式。 处，斜率变化 ，对应惯性220/dBec环节； 处，斜率变化 ，对应惯性环节。因此，系统应具有下30/dBec述传递函数。 12KsGs 由给定条件确定传递函数参数。由 ，有 ，解得：0L1lg0于是系统的传递函数为：1K12sGs（4）图5-33（d）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为 ，故有 。20/Bdec1 确定系统传递函数结
9、构形式。 处，斜率变化 ，对应惯性环20/dBec节； 处，斜率变化 ，对应一阶微分环节， 处，斜率变220/dec3化 ，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。/dec213sKGs 由给定条件确定传递函数参数。由 ，有 ，解得 ；0.14L20lg4.10K再由 ，解得 ；2lg398.1.2再由 ，解得 ；2240ll.20.5再由 ，解得 ；3lg434长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答81025.1sGs5-21 设最小相位系统的对数幅频渐近特性如图5-38所示，试确定系统传递函数。0.12.5234010LdB84a bLdB0.110. 542680200.1
10、1010248LdB242c图5-38 最小相位系统的对数幅频渐近特性解：（1）图5-38（a）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为 ，故有 。20/dBec1 确定系统传递函数结构形式。 处，斜率变化 ，对应一阶微20/dBec分环节， 处，斜率变化 ，对应振荡环节。因此，系统应具有.540/dBec下述传递函数。 21.5.KsGs 由给定条件确定传递函数参数。由 ，有 ，解得 ；120Llg201K10再由在 处，谐振峰值为 ，则.5dB，即2l.203长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答9于是，系统的传递函数为： 210.31.
11、52.5sGs（2）图5-38（b）系统 确定系统积分环节或微分环节的个数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为 ，故有 。0/dBec1 确定系统传递函数结构形式。 处，斜率变化 ，对应惯性0.20/dBec环节， 处，斜率变化 ，对应二阶微分环节。 处，斜率54/dec1变化 ，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。2/ec21510.ssKG 由给定条件确定传递函数参数。由 ，有 ，解得 ；0.18L20lg8.1K再由在 处，修正 ，则54dB，即l240.792于是，系统的传递函数为： 210.1551.0ssGs（3）图5-38（c）系统 确定系统积分环节或微分环节的个
12、数，因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线斜率为 ，故有 。0/dBe0 确定系统传递函数结构形式。 处，斜率变化 ，对应二阶微140/dBec分环节， 处，斜率变化 ，对应振荡环节。 处，斜率变24/dBec1化 ，对应惯性环节。因此，系统应具有下述传递函数。/ec2112210ssKGs 由给定条件确定传递函数参数。长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答10由 ，解得 ；20lgK0.1再由 ，即 ；14l13.62再由在 处，谐振峰值为 ，则8dB，即2120lg10.23由 ，即 ；再由在 处，修正 ，240lg13.60146dB则：，即20lg20.98于是，系统的传递函数
13、为： 22.1.3100.98ssGs 5-22 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下：其对应的幅相曲线如图5-42所示，试用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性（ ， ， ， 皆nKiT1,26大于零）。 acbdej jj jj1 11110 000 0图5-42 系统开环幅相曲线（1）图5-42（a） 1231KGsTsT（2）图5-42（b） 12（3）图5-42（c） 2121nKGsTss长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答11（4）图5-42（d） 41231KTsGs（5）图5-42（e） 456123ss解：（1） 在 右半平面的极点数 ，由奈奎斯特曲线知 ，s1P0
14、N，故：2N 2N应用奈奎斯特判据，算得 右半平面的极点数为：s1ZP所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。（2） 在 右半平面的极点数 ，由奈奎斯特曲线知 ，Gs20N，故：0N 0N应用奈奎斯特判据，算得 右半平面的极点数为：s2ZP所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。（3）因为 ，从奈奎斯特曲线上 的对应点起逆时针补作且半径为10无穷大的虚圆弧。 在 右半平面的极点数 ，由奈奎斯特曲线知 ，Gs20N，故：0N 0N应用奈奎斯特判据，算得 右半平面的极点数为：s2ZP所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。（4） 在 右半平面的极点数 ，由奈奎斯特曲线知 ，Gs10N，故：1
15、2N 2N应用奈奎斯特判据，算得 右半平面的极点数为：s长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答12120ZPN所以闭环系统稳定。（5） 在 右半平面的极点数 ，由奈奎斯特曲线知 ，Gs 12N，故：0N 12N应用奈奎斯特判据，算得 右半平面的极点数为：s0ZP所以闭环系统稳定。5-23 设题5-10传递函数为系统的传递函数，试用奈奎斯特判据确定使系统闭环稳定时开环增益 的范围。K解：1. 由系统的传递函数可知 ；再由可知，若使系统闭环稳定，则应有，0P即。其幅相曲线如图5-10（a）所示，若使，则即 2.510.4K2. 由系统的传递函数可知 ；其幅相曲线如图5-10(b)所示，可
16、知， ；则0N12 2N再由 ，可得ZP。1()Z故无论 取何值，闭环系统都不稳定。K5-32 已知系统的开环传递函数为： 210.sG试绘制系统的开环幅相曲线，并由开环幅相曲线判断闭环系统的稳定性。解：（1）开环系统的频率特性为： 2220.110jjj 开环幅相曲线的起点： ；终点： 。开环幅相曲Gjj0Gj线在第象限内变化，且与实轴和虚轴都无交点，如图5-54所示。长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答130jKT图5-54 系统的开环幅相曲线因为 ，从奈奎斯特曲线上 的对应点起逆时针补作 且半径为20180o无穷大的虚圆弧。 在 右半平面的极点数 ，由奈奎斯特曲线可知，开Gs
17、P环幅相曲线包围 点， ， ，故1,0j1N1应用奈奎斯特判据，算得右半平面的闭环极点数为 202ZP所以闭环系统不稳定，有两个正实部闭环极点。5-41 已知单位反馈系统的开环传递函数 ()1)KGsT若要求将截止频率提高 倍，相角裕度保持不变，问 , 应如何变化？aT解：系统的开环频率特性为 2() 90arctn(1)1GjjT由截止频率和相角裕度的定义，可知 2()ccKjT180180artncc故若要求将截止频率 提高 倍，相角裕度 保持不变，则 将减小 倍，caTa将增大 倍。Ka5-47 设单位反馈系统如图5-98所示，其中， ； 时，截止频率10K.。若要求 不变，问 于 如何
18、变化才能使系统的相角裕度提高 ？5ccKT45长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答141KTs0GsRs Cs图5-98 单位反馈系统结构图解：系统的开环传递函数为 0(1)(KTsG则开环频率特性为 02arctnrta()00(1)()()1jTGjKjTGjj e由 ， 和 ，得5cj.00.25()11Gj解得 0().46j若要求 不变，使系统的相角裕度提高 ，则c50 0artn5rta()arctn.rta(5)4TGj Gjrt0.4T解得： .6再由 201()()1cc cKGjGj将 和 及 代入，解得0.6T5c0.456j3.5-48 设两个系统的开环传递
19、函数分别为（1） （2）()1KGsT2()KTsG试讨论参数 的变化对相角裕度的影响。解：（1）系统的开环频率特性为：长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答152() 90arctn(1)(1)KGj TjT由截止频率的定义可知 2()1()ccjT即 240cK解得21cT而由相角裕度的定义可知 214180()90arctn90arctncc KT所以， 是 的减函数，即 增大会降低系统的相角裕度 。TT（2）系统的开环频率特性为 22(1)(1)() arctn180KTjGj T由截止频率的定义可知 2()()ccj即 4220ccTK解得 4c而由相角裕度的定义可知 24
20、2180()arctnarctTKT所以， 是 的增函数，即 增大会提高系统的相角裕度 。T 5-57 设单位反馈系统开环传递函数为 210()sG依据下述两种曲线判断闭环系统的稳定性：（1）概略幅相曲线；（2）对数频率特性曲线。解 系统的频率特性为 22 210()10()0() (1)jGj j长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答16开环幅相曲线的起点： ；终点： 。(0)Gjj()0Gj幅相曲线与虚轴的交点：令 ，解得Re(0，1y)Im()1yyjj其中 为 与虚轴交点处的频率。开环幅相曲线在第和第象限间变化，y()Gj如图5-111所示。因为 ，在幅相曲线上 的对应点起逆
21、时针补作 且半径为无穷20180大的虚圆弧。由于 在 右半平面的极点数 ，由奈奎斯特曲线知 ，()sP12N，故0N 12N应用奈奎斯特判据，算的 右半平面的闭环极点数为：sZP所以，系统闭环不稳定，有两个正实部的闭环极点。5-58 设反馈系统如图5-113（a）所示，其中 ， 都是最小相位传递1Gs2函数。若已知开环系统 的对数幅频渐近特性曲线如图5-113（b）所示，试1Gs确定 的传递函数。2Gs1s2GsR Cs图5-113（a） 反馈系统结构图长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答17LdB203206l 12c6.340406612lgG12lgG图5-113（b） 对数
22、幅频渐近特性解：在图5-113（b）中，由开环系统的对数幅频特性曲线可知，开环传递函数应具有如下形式： 123116.KGsss由开环系统对数幅频渐近特性曲线的几何特性，可得以下等式：， ，26.0lgc0lgc340lg26.解得： ， ，13.c.3K7.8故开环系统的传递函数为： 1213.6.70.8Gssss由图5-113（b）中的对数幅频渐近特性曲线可知，应具有如下形式： 112Kss由开环系统对数幅频渐近特性曲线的几何特性，可得以下等式：， ， ，104lg21lg2024lg1l26.0gl长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答18解得： ， ， ，13.61.2K1
23、l28.故： 13.61.8.2Gsss则： 210.4136.2.708sssG5-61 已知某最小相位系统开环对数幅频渐进特性曲线如图5-120 所示，试确定系统开环传递函数。 0.1.78239.4054LdB42.70020图5-120 系统开环对数幅频渐近特性曲线解 由图5-120系统开环对数幅频渐进特性曲线可知，开环传递函数应具有以下形式： 132()1)()4KsGss由系统开环对数幅频渐进特性曲线的几何特性，可得以下等式： 0lg.7.133940l2l440lgl5长沙理工大学自控控制原理精品课程 第五章习题解答19220.78129442.lgl21.0llK解得 ， ， ， ， ，13.65K1.42.950.43483.故开环系统的传递函数为： 213.61()0.40.9583.sGs s
