1、均值-方差模型下 VaR 和 CVaR 限制作用的投资组合选择的对比研究Gordon J.Alexander Alexandre M.Baptista1引言随着VaR成为最流行的风险度量工具，近些年风险控制吸引了很多金融从业者和管理者的注意力。举例来说，Jorion,Linsemeier,Pearson,Alexander 和Baptista,Hull,Chance指出VaR已经被公司财团，交易人，基金经理，金融机构和管理广泛应用。与之相反，很多研究者言辞激烈的批评了作为风险控制工具的VaR。举例来说， Artzner et al指出因为不满足次可加性，VaR 不是一个连续的风险度量。即，两个
2、债券的组合的VaR 可能会大于各个债券VaR的和。Basak 和 Shapiro指出，如果在一个连续时间序列的开始部分选择使用VaR, 与不使用VaR相比较，这个机构将会承担更大的风险。因为上述的原因，这些研究者提出使用CVaR而不是VaR。这篇文章中我们主要讨论的问题有以下几个：1、使用VaR作为风险控制工具将会有什么样的结果？2、这些结果与使用CVaR有什么不同？3、作为风险控制工具，有哪些情况下CVaR可以支配VaR？为了找寻这些答案，我们查看一个周期的均值-方差模型。在一些特定的情况下，相比较不使用 VaR，VaR 的使用会使 slightly risk-averse 选择带有更小标准
3、差的投资组合。可是，也存在一些情形，VaR 会使得 highly risk-averse 选择有较大标准差的投资组合。因为当 CVaR 的边界和 VaR 边界重叠时， CVaR 限制比 VaR 限制要严格这些组合选择结果是真实的。因此，控制 slightly risk-averse agent, CVaR 限制比 VaR 更加有效，但是却对 highly risk-averse 有着更加 perverse 的作用。可是当组合中存在无风险债券或者 CVaR 的边界大于VaR 边界的时候，这些 perverse 结果会被削弱甚至消除。 moreover,在后一种情形下，如果CVaR 边界被设定在一
4、定水平下使得 CVaR 限制对 highly risk-averse 有同 VaR 限制一样的perverse 作用，那么相比较与 VaR，CVaR 限制会导致 slightly risk-averse 选择带有更小标准差的组合。如果 CVaR 边界被设定在一个更高的水平使得 CVaR 限制像 VaR 限制一样降低了 slightly risk-averse 的最优投资组合选择，那么相比较与 VaR，CVaR 限制将会允许highly risk-averse 选择带有更小标准差的投资组合。因此，当 CVaR 标准被设定在这两个水平之间时，CVaR 限制 dominates VaR 限制作为风险
5、控制的工具。这篇文章是如下组织的：第二部分是均值-VaR、均值-CVaR 边界和有效前沿的特征。第三部分是使用 VaR 限制和 CVaR 限制下的投资组合选择。第四部分是分析性的展现了两种限制下的投资组合选择标准差的差异和不同。第五部分考虑了存在无风险债券的情况。第六部分是结论。所有的证明在附录中给出了。2 模型假设不存在无风险债券，有 的债券。 是期望收益率的向量， 是回报率的2nR矩阵的协方差矩阵。 为已经定义明确的投资组合。 最为 的任1Xx:iixR意回报率。 ， 分别为期望回报率和期望方差 。 为 的累积分布函数xERxxF假设一个投资期限和置信水平 ，那么 概率下 VaR 为 (/
6、2,)10%1,()xVF同理，那么 概率下 CVaR 为 0%,|,xxxLREVR假设投资组合中的债券回报率满足独立的正态分布。 为标准累积正态分布函数。()标准正态密度函数。()假设 ，有1()z()1zxd从而 ,xxxVRzER同理 ，其中 ，,xxxLk()1zxdkkz2.1 均值-VaR 均值-CVaR 边界当 VaR，CVaR 和方差作为风险度量标准时，风险 -回报边界如下定义：对于任意的- -E,Xx:=E xRR定义 1：当且仅当对于某些 ， 满足 ，在 置信_()min,RxxXV10%水平下，投资组合 属于均值-VaR 边界_x定义 2：当且仅当对于某些 ， 满足 ，
7、在 置信_ER_x_()i,xxXEL水平下，投资组合 属于均值-CVaR 边界_xX定义 3：当且仅当对于某些 ， 满足 ，在 置信_ER_x_()min,RxxXE10%水平下，投资组合 属于均值- 方差边界_xX在方差-VaR 边界的投资组合并不依赖 ，因此我们可以得出以下结论：因为 ，当且仅当一个投资组合属于方差-均值边界，它属于均值-VaR 边界。0z因为 ，当且仅当一个投资组合属于方差-均值边界，它属于均值-CVaR 边界。k又 Merton 在 1972 年证明当且仅当 满足 ，投资组合x2(/)11/xxREACD属于均值-方差模型边界。x其中 ， ， ， ， 为 n 维1TA
8、I1TB1TCI2BIR单位向量。那么满足 的投资组合同时属于均值-VaR 边界和均值-2(/)1/xxREACDCVaR 边界。2,.2 均值-VaR，均值-CVaR 的有效前沿定义 4： 当且仅当没有 使得 （至少其中xXxxER,xxVR一个不等式是严格的） ，在 的置信水平下，投资组合 属于均值-VaR 有效前10%X沿。定义 5： 当且仅当没有 使得 （至少其中xXxxER,xxLR一个不等式是严格的） ，在 的置信水平下，投资组合 属于均值-CVaR 有效前10X沿。定义 6： 当且仅当没有 使得 （至少其中一个xXxxERxxR不等式是严格的） ，在 的置信水平下，投资组合 属于
9、均值- 方差有效前沿。10%X2.2.1 最小 VaR 投资组合和最小 CVaR 组合如果在 置信水平下最小 VaR 的投资组合存在，那么他在均值- 方差有效前沿10%（证明：假设 是最小 VaR 的投资组合点，但是不在均值- 方差有效前沿。由定义 6，x。存在投资组合点 ，使得 ，其中至少一个不等式是严格的。y。 yxER。 。 yxR。 。从而有 ，与假设矛盾。如果在 置信水平下最小 VaR 的投资组,xV。 。 10%合存在，那么他在均值-方差有效前沿。 ）同理，如果在 置信水平下最小 CVaR 的投资组合存在，那么他在均值-方差有10%效前沿。： 在 置信水平下最小 VaR 的投资组合
10、min()XVx：在 置信水平下方差最小的投资组合i10g,h 是 n 维向量 11(/)()gDBIAIhC命题 1当且仅当 ，在 置信水平下最小 VaR 的投资组合存在。z/D10%如果 ，那么C2min()minmin/()Vx xCxghERRzmin() minmin2,/)-Vx xxzDE 在选择置信水平时要慎重，因为这关系到全局最小 VaR 是否有解。如果 ，z/DC那么最小 VaR 不存在。表示 置信水平下最小 CVaR 的投资组合。min()Lx10%当且仅当 ，在 置信水平下最小 CVaR 的投资组合存在。/kDC10如果 ，那么2min()minmin/()Lx xDC
11、xghERRkmin() minmin2,/)-Lx xxE 因为 ，所以，当最小 VaR 投资组合点存在时，最小 CVaR 投资组合点也存在。zk但是也有可能只有最小 CVaR 投资组合点存在。corollary1在 置信水平下最小 VaR 的投资组合存在时， 。10% min()min()VLxxER在 置信水平下最小 CVaR 的投资组合存在时， 。min()minLxx2.2.2 均值-VaR 均值-CVaR 的特点命题 2（1）如果 ，那么在 置信水平下不存在均值-VaR 有效的投资组合；z/DC10%如果 ，当且仅当投资组合 属于均值-VaR 边界并且x时，投资组合 在 置信水平下
12、是均值-VaR 有效的min()xRvxE（2）如果 ，那么在 置信水平下不存在均值-CVaR 有效的投资组合；k/DC10%如果 ，当且仅当投资组合 属于均值-CVaR 边界并且x时，投资组合 在 置信水平下是均值-CVaR 有效的min()xRLxEcorollary2最小方差的投资组合在任何置信水平下都不是均值-VaR 有效和均值-CVaR 有效corollary3如果最小 VaR 的投资组合在 置信水平下存在，那么它在 置信水平下10%10%也是均值-CVaR 有效的corollary4如果 ，那么均值-VaR 和均值-CVaR 有效前沿是空集；k/DC如果 ，那么均值-VaR 有效前
13、沿是空集，但是均值-CVaR 有效前沿是z/kDC均值-方差有效前沿的一个非空真子集；如果 ，当且仅当一个投资组合 属于均值-CVaR 有效前沿并且/x，那么 属于均值-VaR 有效前沿，i.e. 均值-VaR 有效前沿是均值-min()xRvxExVaR 有效前沿的一个非空真子集总而言之，如果 ，置信水平 low；如果 ，置信水平k/DCz/kDCmoderate；如果 ，置信水平 highz3 VaR CVaR 限制下的投资组合选择3.1 VaR 限制考虑 VaR 限制 ，其中 CVaR 边界。CVaR 限制依赖于两个参数：RxL， LR置信水平 和 CVaR 边界 L。从而有 ，在均值-
14、标准差二维空间中，满足 CVaR 限制的投资组xxEk合集合位于斜率为 ，截距为 的直线上或者上方。如果边界降低，那么截距变大；如果置信水平升高，斜率变大。3.2 CVaR 限制考虑 CVaR 限制 ，其中 VaR 边界。 VaR 限制依赖于两个参数：VRx， VR置信水平 和 VaR 边界 V。从而有 ，为 VaR 限制和 CVaR 限制设定一个共同的置信水平 ，xxEz 假设 VaR 和 CVaR 边界重合（ ） 。因为 ，我们可以得到 VaR 限制与 CVaR 限=Lkz制相似，但是 CVaR 限制斜率更大，限制性更强。因为为了使两种限制等价，他们必须使用相同的边界（VaR 和 CVaR
15、 边界重，合即 ）和不同的置信水平。对于给定置信水V平 的 VaR 限制，CVaR 限制总有一个相对应的 ，其中 ，使得 。在,kz的时候 CVaR 限制等价于 VaR 限制。=VL现在我们讨论在各种边界情况下的，在 VaR 限制和 CVaR 限制条件下的投资组合选择。给定：如果 ，那么边界为大；如果 ，minRxL， min minRRxxVL， ，那么边界为适中；如果 ，那么边界为小inxVL，3.3 低置信水平3.3.1 保守投资者如果是大边界。因为无限制的最有投资组合位于 ，无论是施加 VaR 限制或者minRxCVaR 限制都不会改变投资组合选择。如果是适中边界。假设无限制的最优投资
16、组合位于 和 C 点之间。那么施加 VaRminx限制不会改变投资组合选择；但是，如果施加 CVaR 限制，那么 C 点将会成为最优投资组合。因此，CVaR 限制下的最有投资组合标准差大于 VaR 限制下的最有投资组合标准差。如果是小边界。假设无限制的最优投资组合位于 和 f 点之间。如果施加 VaR 限minRx制，那么 f 会成为最优投资组合；但是，如果施加 CVaR 限制，那么 e 点将会成为最优投资组合。尽管两种限制都会增大最优组合的标准差，但是 CVaR 限制下的最有投资组合标准差大于 VaR 限制下的最有投资组合标准差。但是如果无限制的最优投资组合位于 e 和 f点之间。只有施加
17、CVaR 限制才会导致保守投资者选择 e.3.3.2 风险投资者因为无限制的最有投资组合选择在 1（a）位于 之上, 在 1（b）位于 c 之上,在minRx1（c）位于 e 之上,因此无论施加那种限制都不会改变最有投资组合选择。3.4 中度置信水平假设置信水平是中度的，那么存在投资组合满足 VaR 限制。假设 ，min(),LxR那么也存在满足 CVaR 限制的投资组合3.4.1 保守投资者图 2 说明了在中度置信水平下在 CVaR 或者 VaR 限制下的投资组合选择与低置信水平下是类似的。可是对于一个给定的边界，当最优投资组合标准差增加了，这种增加大于在低置信水平下的增加3.4.2 风险投
18、资者假设无限制条件下最优投资组合在 以上，那么施加 VaR 限制不会改变最有投资组合,g选择；但是如果施加 CVaR 限制，那么 将会被选择成为最优投资组合。因此，在 CVaR,限制下的最优投资组合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。3.5 高置信水平我们假设 ，那么存在满足 CVaR 限制的投资组合。因为 ，那min(),LxR kz么有 。因此也存在满足 VaR 限制的投资组合。min() in() min(),LLVx xVR3.5.1 保守投资者图 3 说明了在高度置信水平下在 CVaR 或者 VaR 限制下的投资组合选择与中低置信水平下是类似的。可是对于一个给定的边界，当
19、最优投资组合标准差增加了，这种增加大于在中低置信水平下的增加3.5.2 风险投资者假设无限制条件下最优投资组合在 和 之间，那么施加 VaR 限制不会改变最有投资,n,o组合选择；但是如果施加 CVaR 限制，那么 将会被选择成为最优投资组合。因此，只有,CVaR 限制能够降低最有投资组合的标准差，在 CVaR 限制下的最优投资组合标准差小于VaR 限制下的最优投资组合标准差。假设无限制条件下的最优投资组合选择在 以上，如果施加 VaR 限制，那么 会成为,o,o最有投资组合选择；但是如果施加 CVaR 限制，那么 将会被选择成为最优投资组合。因,n此，在 CVaR 限制下的最优投资组合标准差
20、小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。3.6 CVaR 边界大于 VaR 边界就像上边所提到的一样，当 时，对于一个给定的置信水平，CVaR 限制比 VaRLV限制更加严格。因此，很自然的我们需要考虑 时的情况。与 相比，当LV时，我们只需将均值- 标准差图像中的 CVaR 图线整体向下滑动。LV3.6.1 保守投资者考虑图像 1（a）, 2（a ）, 3（a）.当 CVaR 限制线向下滑不会改变投资者感兴趣的投资组合的集合。因此，对于大 V， 对于投资组合选择没有什么影响L与之相反，考虑图像 1（b）, 2（b）, 3（b）.与 相比，当 ，CVaR 限制可LVL能会变得不再那么严格。如
21、果 ，CVaR 限制的最优投资这组合标准差可能minxR大于 VaR 限制的，但是小于当 时的 CVaR 限制标准差。如果 ，那么LVmin,xRCVaR 限制的人最优投资组合标准差与 VaR 限制的一样，就好像两个都没有限制作用有时候 CVaR 限制作用可能比 VaR 弱一点。假设无限制条件下的最优投资组合在和 之间（见图 1（c） ） 。如果 CVaR 边界大于 的 CVaR，那么 CVaR 限制下的最minxRf f有投资组合的标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。总而言之，如果 ，那么 CVaR 限制对于保守投资者的反常作用可以得到一定程LV度的削弱。3.6.2 风险投资者当
22、处于低置信水平的时候，CVaR 限制的向下平移不会改变投资者的最优投资组合选择。当处于中度置信水平的时候，则会出现其他的状况。当 时的 CVaR 限制作用弱LV于当 。但是 CVaR 限制仍然比 VaR 限制更有作用，所以即使当 时，CVaR 限LV制下的最优投资组合的标准差仍然小于 VaR 限制下的最优投资组合的标准差。当处于高置信水平的时候，我们可以从图 3（a）如果 CVaR 边界大于 的 CVaR，那,o么 CVaR 的限制作用弱于 VaR；如果 CVaR 边界小于 的 CVaR，那么 CVaR 的限制作用,o强于 VaR。因此，CVaR 限制下的最优投资组合的标准差可能小于，等于，大
23、于 VaR 限制下的最优投资组合的标准差。总之，当 时，CVaR 的限制作用有所削弱，甚至可以弱于 VaR 的限制作用。LV3.8 总结总而言之，如果施加 CVaR 限制或者 VaR 限制，那么带有较小标准差或者较大标准差的有效投资组合都有可能被排除掉。因此，与施加限制之前的最优投资组合相比，限制后的最优投资组合的标准差可能会变大，变下或者不变。另外，没有一种限制，无论是CVaR 还是 VaR，能够使得所有的投资者（包括风险厌恶程度不同的保守投资者，风险投资者，稳健投资者）选择比无风险限制条件下最优投资组合标准差更小的投资组合。当 时，给定一个置信水平，CVaR 限制强于 VaR 限制。作为保
24、守投资工具，LVCVaR 比 VaR 更加有效。可是，有时候 CVaR 起到反作用：它使得保守投资者选择带有更大标准差的投资组合。尽管作为风险控制工具，VaR 有时也会发生这种情况，但是 CVaR的反作用更大，CVaR 起到反作用的情况也更多见。因此使用 CVaR 作为风险控制工具并不是万无一失的，也是有代价的。当 时，上面提到的反作用会得到一定的削弱。另外，4（b）中的例子说明，相LV比较于 VaR 限制下投资组合的标准差， CVaR 有时可以同时使得保守投资者和风险投资者选择带有更小标准差的投资组合。4 限制下的最优投资组合的标准差分析性的表述在不同的限制下的最优投资组合的标准差的差异。在
25、这一章，我们不需要假设 。LV4.1 低置信水平当处于低置信水平时，图 1 中均值-方差边界上和 VaR 限制有唯一的交点。它的标准差是2221=(/)/(/)(/)/VzACDVACzDzD 均值-方差边界上和 CVaR 限制有唯一的交点。它的标准差是 222(/)/(/)(/)/LkLLkk 假设 作为焦点，对于保守投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为V1LV4.2 中度置信水平当处于中度置信水平时，图 2 中均值-方差边界上和 VaR 限制有唯一的交点。它的标准差是 2221=(/)/(/)(/)/VzVACDVACzDzD 但是，均值-方差边界上和 CVaR 限制有两个交点。它
26、的标准差是_ 222(/)/(/)(/)/LkLLkk 2221=(/)/(/)(/)/LACDACDD 假设 作为焦点，对于保守投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为V1LV4.3 高置信水平当处于高置信水平时，图 3 中均值-方差边界上和 VaR 限制有两个交点。它的标准差是2221=(/)+/(/)(/)/VzVACDVACzDzD 2221=(/)/(/)(/)/VzVACDVACzDzD 均值-方差边界上和 CVaR 限制有两个交点。它的标准差是_ 222(/)/(/)(/)/LkLLkk 2221=(/)/(/)(/)/LACDACDD 假设 作为焦点，对于风险投资者，那么限
27、制下的最有投资组合的相对差异为V；假设 作为焦点，对于风险投资者，那么限制下的最有投资组合的相1LV对差异为LV4.4CVaR 限制的使用现在我们来探究如何设定 CVaR 边界使得 CVaR 限制能够支配 VaR 限制。4.4.1 最小 CVaR 边界首先，设定 CVaR 边界使得对于保守投资者来说，CVaR 限制作用如同 VaR 限制。举个例子来说，当处于高置信水平时，需要找到合适的 CVaR 边界值使得 CVaR 相交于 VaR 与最小期望回报率的投资组合即 VaR 限制与有效边界的交点。这个边界可以如下给出：2/(1/)VVLkACDC 图 4（c）给出了边界为 的 CVaR 限制作用下
28、的投资组合选择。首先，假设保守投资者在L无限制下的最优投资组合在 和 之间。无论施加那种限制， 都是最优的投资组合选ym y择。然后，假设风险投资者在无限制条件下的最优投资组合在 和 之间。如果施加 VaR 限制，,z那么最优投资组合不会改变，但是，如果施加 CVaR 限制，那么 将会成为最优投资组合。,y因此 CVaR 限制下的最优投资组合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。最后，假设风险投资者在无限制条件下的最优投资组合 之上。如果施加 VaR 限制，那么z将会成为最优投资组合，但是，如果施加 CVaR 限制，那么 将会成为最优投资组合。z,y因此 CVaR 限制下的最优投资组
29、合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。4.4.2 最大 CVaR 边界首先，设定 CVaR 边界使得对于风险投资者来说，CVaR 限制作用如同 VaR 限制。需要找到合适的 CVaR 边界值使得 CVaR 相交于 VaR 与最大期望回报率的投资组合即 VaR 限制与有效边界的交点。这个边界可以如下给出： 2/(1/)VVLkACDC 图 4（a）给出了边界为 的 CVaR 限制作用下的投资组合选择。首先，假设保守投资者在L无限制的条件下的最优投资这组合位于 和 之间。如果施加 VaR 限制，那么 将会成um u为最优投资组合；如果施加 CVaR 限制，那么最优投资组合不变。因此 C
30、VaR 限制下的最优投资组合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。然后，考虑风险投资者在无条件限制的情况下最优投资组合在 之上，无论哪种限制,u都会选择 作为最优投资组合选择。,u4.4.3 总结当 CVaR 边界适当的大一些使得 ，那么在部分的情况下，CVaR 限VL制下的最优投资组合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。假设在意识到以下的平衡点时施加 VaR 限制：1 设定的小 VaR 边界能够有效地控制保守投资但是对于风险投资有反作用；2 设定的大 VaR 边界不能够有效地控制保守投资但是对于风险投资有反作用也不明显；因此假设设定 VaR 边界为一个中间值，我们已经看
31、到 CVaR限制能够支配 VaR 限制使得对于保守投资者和风险投资者都有 CVaR 限制下的最优投资组合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。 因此，只有 CVaR 边界适当的比 VaR边界大一些，作为风险控制工具，CVaR 可以比 VaR 更加有效。5 增加无风险债券假设现有一回报率为 的无风险债券。投资组合定义为 ，fR1:nf jXxRx其中 表示资产投资于无风险债券的比例。1nx5.1 均值-VaR 和均值-CVaR 的边界和有效前沿假设 或者说在没有无风险债券的情况下临界投资组合位于最小方差投资组合之/fRAC上。Merton 证明了当且仅当 满足x时，xfxfxxfxfE
32、iRHi属于均值-方差边界。fX其中 是一个正常值。2ffCRAB因为 ，所以当且仅当一个投资组合属于均值-方差边界时，它才属于均值-VaR 边界。0z因为 ，所以当且仅当一个投资组合属于均值-方差边界时，它才属于均值-CVaR 边k界。以下是均值-VaR 有效性的特征：proposition3:1 如果 ，那么在 的置信水平下不存在均值-VaR 有效地投资组合；2 zH10%，那么在 的置信水平下当且仅当一个投资组合属于均值-方差有效前沿时它才属于均值-VaR 有效前沿同理1 如果 ，那么在 的置信水平下不存在均值-CVaR 有效地投资组合；2 kH10%，那么在 的置信水平下当且仅当一个投
33、资组合属于均值-方差有效前沿时它才属于均值-CVaR 有效前沿corollary5：1 如果 ，那么均值-VaR 和均值-CVaR 有效前沿是空集；kH2 如果 ，那么均值-VaR 的有效前沿是空集，但是均值 -CVaR 有效前沿与均z值-方差有效前沿重合；3 如果 ,那么均值-VaR 和均值-CVaR 有效前沿与均值-方差有效前沿重合；在存在无风险债券的情况下：如果 ，那么置信水平是低的；如果 ，kHkHz那么置信水平是适中的；如果 ，那么置信水平是高的z5.2 在 VaR CVaR 限制下的投资组合选择假设一个投资机构面对 VaR 和 CVaR 限制，然后我们比较无限制条件下的最优投资组合
34、选择和 VaR CVaR 限制下的最优投资组合选择。假设 fLVR5.2.1 低置信水平因为无限制条件下的最优投资组合在 之上，那么那种限制都不会改变最优投资组合选择。fR5.2.2 中度置信水平假设保守投资者的无限制条件的最优投资组合位于 和 之间，那么那种限制都不会改变fa最优投资组合选择。假设风险投资者的无限制条件的最优投资组合位于 之上。如果施加 VaR 限制，那么不会改变最优投资组合选择；但是如果施加 CVaR 限制，那么 将会成为最优投资组合；因此，CVaR 限制下的最优投资组合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。5.2.3 高置信水平假设保守投资者的无限制条件的最优投
35、资组合位于 和 之间，那么那种限制都不会改变fRb最优投资组合选择。假设风险投资者的无限制条件的最优投资组合位于 之上。如果施加 VaR 限制，那么 将cc会成为最优投资组合选择；但是如果施加 CVaR 限制，那么 将会成为最优投资组合；因此，CVaR 限制下的最优投资组合标准差小于 VaR 限制下的最优投资组合标准差。但是如果无限制条件的最优投资组合位于 和 之间，那么只有 CVaR 限制会改变最优投cb资组合选择为 。b5.2.4 总结就像前面提到的，当没有无风险债券时，保守投资者可能会增加最有投资组合的标准差，无论是施加 VaR 限制还是 CVaR 限制。但是，当存在无风险债券时，这种反
36、常效用消失了。但是，当边界重合时控制风险投资时，CVaR 限制仍然比 VaR 有效。因此，无风险债券的存在并不会改变前面的得到的结论：作为风险控制工具，CVaR 比 VaR 更加有效。结论这篇文章分析了作为风险控制工具的 VaR 对于投资组合选择的影响问题，并且同 CVaR 做了比较。我们发现在特定的情形下，相比较与无限制条件下的投资组合，VaR 限制会导致风险投资者选择带有更小标准差的投资组合。但是，已存在另一种情况：VaR 限制会导致保守投资者选择带有更大标准差的投资组合。对一个给定的置信水平，如果 CVaR 和 VaR 边界重合，CVaR 限制强于 VaR 限制。因此，作为控制风险投资者
37、的风险控制工具，CVaR 比 VaR 更加有效。但是在一些特定的情况下，CVaR 会出现反常的作用：它导致保守投资者选择带有更大标准差的投资组合。对于 VaR来说，这种反常作用更加明显。因此，当 CVaR 和 VaR 边界重合时，CVaR 替代 VaR 才会更加有限制作用。但是当存在无风险债券或者 CVaR 边界大于 VaR 边界时，这种反常作用会削弱甚至消失。另外，如果 CVaR 边界被设定在一个水平，使得 CVaR 限制和 VaR 限制有对于保守投资者有相同的反常作用，那么相比较与 VaR，CVaR 会使得风险投资者选择带有更小标准差的投资组合。如果 CVaR 边界被设定在一个更高的水平上使得 CVaR 限制像 VaR 限制一样降低了风险投资者的最优投资组合的标准差，那么相比较与 VaR，CVaR 限制会导致保守投资者选择带有更小标准差的投资组合。因此当 CVaR 边界被设定在这两个水平之间时，CVaR 限制会支配 VaR 限制。
