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1、目录一 、标 记 法 和 准 备 初 步 .1二 、弧 长 的 第 一 变 分 公 式 .4三 、指 数 图 形 和 正 规 坐 标 .7四 、Hopf-Rinow 定 理 11五 、曲 率 张 量 和 Jacobi 场 .14六 、共 轭 点 .18七 、弧 长 的 第 二 变 分 公 式 .21八 、子 空 间 和 第 二 基 本 型 .23九 、基 本 指 数 引 理 25十 、Ricci 曲 率 及 Myers 和 Bonnet 定 理 .29十 一 、Rauch 比 较 定 理 .31十 二 、Cartan-Hadamard 定 理 37十 三 、Cartan-Ambrose-Hic

2、ks 定 理 39十 四 、常 数 曲 率 空 间 .43致 谢 .45参 考 书 目 46论 文 摘 要黎 曼 几 何 是 德 国 数 学 家 黎 曼 于 19 世 纪 中 期 提 出 的 一 种 新 的 几 何 理 论 ，这 种 理 论 摆 脱 了 经 典 微 分 几 何 曲 面 论 中 局 限 于 诱 导 度 量 的 束 缚 ， 并 在 近 代数 学 和 物 理 学 中 有 着 非 常 重 要 的 应 用 。 JEFF CHEEGER 和 DAVID G. EBIN 所著 书 “Comparison Theorems in Riemannian Geometry“从 黎 曼 度 量 及

3、联络 出 发 ， 介 绍 了 黎 曼 流 形 研 究 中 的 各 种 基 本 概 念 和 应 用 ， 以 测 地 线 的 研 究为 重 点 讨 论 了 各 种 形 式 的 比 较 定 理 和 Morse 指 数 定 理 。 这 篇 论 文 即 对 “Comparison Theorems in Riemannian Geometry“的 第 一 章 进 行 了 翻 译 ，内 容 包 含 了 黎 曼 几 何 的 一 些 基 本 概 念 ， 如 黎 曼 联 络 、 弧 长 、 测 地 线 、 Jacob场 、 弧 长 的 变 分 、 曲 率 张 量 、 共 轭 点 等 ， 及 一 些 关 于 这

4、些 概 念 的 运 用 比 较广 泛 的 结 论 ， 如 Hopf-Rinow 定 理 、 基 本 指 数 定 理 、 Rauch 比 较 定 理 、Cartan-Hadamard 定 理 等 ， 这 些 基 本 定 理 是 讨 论 各种形式的比较定理和Morse 指数定理时不可缺少的依据。通过对该书第一章的介绍，我们了解了黎曼几何的基本思想，同时也学习了不同于欧式几何的研究方法。1一、标记法和准备初步首 先 定 义 一 些 基 本 概 念 并 列 出 一 些 基 本 知 识 。 指 一 个 光 滑 无 限 维 M的 联 络 ， 是 它 的 切 丛 。 指 有 维 。 或 是(.)ieC()T

5、Mn()上 的 光 滑 线 性 向 量 空 间 ， 是 上 光 滑 函 数 的 环 。 我 们 以 一 个 小MF写 字 母 表 示 一 点 处 的 切 向 量 ， 以 相 应 的 大 写 字 母 表 示 向 量 场 的 延 伸 部 分 。设 ， 是 上 的 一 个 对 称 正 定 型 且 满 足 对 每 个 ，pp ,pV， 函 数 包 含 于 ， 这 样 的 矩 阵 被 称 为 黎 曼(),VM()M矩 阵 ， 指 。1/2,VA一 个 “仿 射 联 络 ”是 一 个 双 线 性 映 射 ：，:()()它 有 如 下 性 质 ： ，,VWM（ 1.1a） ，fV（ 1.1b） ， ()Vf

6、W()fFM我 们 称 是 在 方 向 上 的 “共 变 导 数 ”。V黎 曼 几 何 基 本 定 理 说 明 对 于 任 何 黎 曼 矩 阵 ， 都 存 在 唯 一 一 个 仿 射 联 络 叫做 “黎 曼 联 络 ”。 它 有 如 下 性 质 ：（ 1.2a） ，,=,+, XXVV（ 1.2b） ，,0W指 Lie 支 架 ， 。 （ 1.2a） 是 仿 射 联 络 和 矩 阵 之 间 兼,(XYff容 的 一 个 条 件 ， （ 1.2b） 是 联 络 本 身 的 一 个 对 称 性 条 件 。 （ 1.2b） 中 设 定 的与 0 相 等 的 量 叫 做 联 络 的 挠 率 。 它 是

7、 型 （ 1， 2） 的 张 量 。 所 以 基(,)Torvw本 定 理 可 以 理 解 为 总 有 一 个 挠 率 自 由 的 联 络 与 任 意 给 定 的 矩 阵 兼 容 。2下 面 我 们 来 证 明 该 定 理 。 为 表 唯 一 性 ， 设 ， 由,XYZ,X（ 1.2a， b） 决 定 。 由 （ 1.2a） 式 ， 得，,=,+,XXYZ，YYZ，,Z将 以 上 第 一 与 第 二 式 相 加 ， 然 后 减 去 第 三 式 ， 运 用 （ 1.2b） ， 得 ：2,=,+,+,XYZYXYXZYZX。相 反 地 ， 如 果 用 这 个 方 程 去 定 义 ， 则 可 以 得

8、 到 一 个 联 络 满 足,X（ 1.2a） 和 （ 1.2b） 。由 （ 1.1a， b） 易 见 取 决 于 和 。 如 果 是 一 个 1-型 ， 可 以()VWp()Vp通 过 以 下 等 式 定 义 ：，()()VVW通 过 延 长 为 张 量 场 定 义 了 一 个 诱 导 。设 是 一 条 光 滑 曲 线 ， 是 的 切 线 。 对 于 任 一:0,1cM()ct， 存 在 唯 一 一 个 满 足 和 的 向 量 ，()cv0Vv()0ct()ctVtM称 是 一 个 “平 行 域 ”， 是 沿 着 的 “平 行 转 移 ”。 易 见 沿 着Vt (1)， 有 光 滑 向 量

9、场 是 的 标 准 正 交 基 。 以 上 等1(),()ncEt ()iEt()ctM式 亦 可 以 写 成 一 个 常 微 分 方 程 的 一 次 系 统 ， 如 下，d,iiciciciVcVEVt 3所 以 。1 1, ,. .,. ., ,cijn nVEVE常 微 分 方 程 的 存 在 定 理 说 明 可 以 解 出 。 因 为 一 次 等 式 是 线 性 的 ，()Vt我 们 得 到 一 个 线 性 映 射 ， ， 由 (1.2a) 得 是(0)(1):ccPMvcP一 个 等 距 映 射 。设 是 一 个 光 滑 映 射 ， 有 一 个 联 络 。 指 定 是 一 个 沿 着

10、 :NxW的 向 量 场 ， ， 是 邻 域 里 的 一 个 标 架 。 记()xW()iEtx，)(iif（ ）称 是 光 滑 的 如 果 函 数 集 是 光 滑 的 。 如 果 ， 定 义()x(ifx xvN是 沿 着 方 向 的 共 变 导 数 ， ()vxMv。()()()viiiviWfxEfxEx易 见 ， 该 定 义 与 的 选 取 无 关 。 设 是 黎 曼 型 ， 是 黎 曼 联 络 ， 如)i M果 ， 是 沿 着 的 向 量 场 ， 则 易 得 xCN12,C() 。121212,vvvW同 样 ， 如 果 是 中 的 向 量 场 ， 那 么 ， 是 沿 着 的12,V

11、Nd(V)()向 量 场 ， 且 () 。12112d()()(,)0vv沿 着 的 向 量 场 同 样 叫 诱 导 丛 的 截 面 。 我 们 称 是 “诱 导 联 络 ”。,TM 在 证 明 第 一 和 第 二 变 分 公 式 时 用 和 。 但 是 方 便 起 见 ， 我 们 不 用 标 记()4， 而 直 接 假 设 沿 着 的 向 量 场 定 义 在 上 。M二、弧长的第一变分公式设 是 一 个 黎 曼 联 络 ， 分 段 光 滑 连 续 的 曲 线 的 弧 长 为M:,cab。 由 定 义 ，Lc。()dbaLctA同 样 ， 按 规 定 的 定 义 与 特 定 参 数 的 选 择

12、 无 关 。 如 果 定 义 两 点 之 间 的 距c离 是 它 们 之 间 所 有 曲 线 弧 长 的 下 确 界 ， 那 么 就 是 一 个 矩 阵 空 间 。 设 由M到 的 距 离 是 ， 当 设 定 是 一 个 矩 阵 空 间 ， 若 ， 则pq(,)pq pq。 设 是 一 个 局 部 坐 标 系 ， 是 其 原 点 ， 指 集(,)012nx p()rB合 。 设 是 给 定 的 黎 曼 矩 阵 ， 是 Euclidean 矩 阵2ixrgg。 处 处 对 角 化 成 ， 其 最 小 的 特 征 值 是 Br(p)-(/,)ijijg x上 的 正 的 连 续 函 数 。 由 此

13、 得 出 由 到 边 界 的 曲 线 至 少 有 长 度 ，p()rB 0/是 的 下 确 界 。 但 是 ， 假 设 ， 选 择 足 够 小 的 ， 则 。0()xqr()rq那 么 由 到 的 任 何 曲 线 必 包 含 由 到 边 界 的 起 始 线 段 。pq()r设 ， 接 下 来 的 三 小 节 我 们 将 会 研 究 满 足 的 从,M(,)Lp到 的 曲 线 存 在 的 条 件 。 现 在 证 明 这 样 一 条 曲 线 存 在 的 必 要 条 件 。 设是 光 滑 的 ， 且 不 是 一 般 性 ， 设 的 参 数 的 选 择 与 它 的 弧 长 相 关 ，c()0,ctAc

14、即 是 一 个 常 数 。()tl设 是 一 个 光 滑 函 数 ， 是 矩 形 ， 它 满 足:QMQ,(,)ab。,0:,abcM5是 曲 线 的 一 个 “光 滑 变 分 ”。 设 是 上 对 应 的 第 一 第(,0)ab,TVQ二 二 元 方 程 的 切 向 量 的 场 。 为 了 计 算 出 曲 线 族 的,scabs弧 长 的 变 化 ， 我 们 将 识 别 用 的 微 分 表 示 的 这 些 向 量 及 它 们 的 图 像 。 由 以下 式 子 得 出 1/21/2dL(),d,dssb bsa actctVTt1/2 1/2,d2b bVa aTtTt 。由 于 在 上 ，

15、通 过 我 们 可 以 将 之 改 写 为 Q,0TV()。1/2,dbVaTTt由 = ，0cAl。10dL,dsbsValt1(,)dbVal Tt通 过 整 合 前 两 项 ， 我 们 得 到(1.3) 。10L,ddsbsaVclTt这 个 表 达 式 叫 做 “第 一 变 分 方 程 ”。 假 设 以 上 方 程 中 不 仅 光 滑 ， 并 且 连续 ， 还 有 如 下 性 质 ： 是 的 某 个 细 分 ， 则1,nttb ,是 光 滑 的 。 这 个 例 子 中 被 定 义 为 “一 个 分 段 光 滑 的 变1,(,)it分 ”。 通 过 对 区 间 运 用 (1.3)可 以

16、得 到 分 段 光 滑 的 二 元 方 程 的 第 一 变1,it分 方 程 。 特 别 地 ， 如 果 是 光 滑 的 ， 则 当 删 去 中 间 项 时 (1.3)也 成 立 。 一 个0c沿 着 的 向 量 场 被 称 为 分 段 光 滑 的 ， 如 果 是 连 续 的 ， 并 且 存 在 一 个0cVV像 上 面 的 细 分 ， 此 时 是 一 个 沿 着 的 光 滑 向 量 场 。 注 意 任 何 分 段1,it0c6光 滑 的 都 出 现 在 某 个 变 分 中 。 对 于 足 够 小 的 ， 变 分 满 足Vs。0():(,)expcttss如 果 所 有 的 曲 线 cs都 有

17、 相 同 的 端 点 ， 那 么 ， 所 以(,0)(,)0Vab。10d=,dbs TaLlt如 果 是 从 到 的 最 短 的 曲 线 ， 那 么 对 任 意 映 射 ，oc()acb:QM有。0d=ssLc因 此 对 于 ， 任 意 沿 着 （ 在 端 点 处 为 零 ） 的 向 量 场 ， (1.3)的 右 边 为 零 。V此 外 ， 如 果 是 光 滑 和 极 小 的 ， 通 过 变 分 ， 我 们 可 以 推 出 函 数c )TVt（ ， ， ） ，()t0asb(0ab有 。Tc1.4 定 义 我 们 称 一 条 曲 线 是 一 条 “测 地 线 ”， 如 果 。cc如 果 是

18、测 地 线 ， 则，,2,0c所 以 必 须 是 常 数 。 因 此 一 条 测 地 线 是 弧 长 参 数 化 成 比 例 的 ，,c而 且 由 （ 1.3） 。 它 对 在 任 一 端 点 固 定 的 变 分 下 的 弧 长 函 数 也 非 常 重 要 。 事实 上 ， 对 于 这 一 点 ， 我们 只 需 要 知 道 该 变 分 在 端 点 处 垂 直 于 ， 或 者 更 一 般 地 ， 有 。T,0baTV如 果 ， 就 被 称 为 “正 规 ”测 地 线 。1cA以 下 命 题 阐 明 了 第 一 变 分 方 程 是 如 何 被 应 用 于 得 到 几 何 结 果 的 。1.5 命

19、题 设 是 的 两 个 无 界 子 簇 ， 是 满 足N和 MtM:0,的 测 地 线 ， 且 是 从 到 的 最 短 的 曲 线 ， 那 么 垂(0),()NtN()直 于 ， 且 垂 直 于 。()()t7证 明 ： 如 果 不 垂 直 于 ， 令 ， 0， 是 中(0)(0)N(0)x(),xcN起 点 为 的 曲 线 ， 。c构 造 一 个 变 分 ： 使 其 满 足 条 件,(,)tM， ， ，0 o0()sc(,)tst继 而 如 果 ， 方 程 （ 1.3） 表 明,sts。0d(),0sLlx所 以 对 于 ， ， 且 不 是 最 小 的 。 一 个 完 全 类 似 的 论 证

20、 显 示ss必()t须 垂 直 于 。()tN注 ： 在 以 上 的 变 分 中 ， 曲 线 不 必 是 测 地 线 ， 只 要 是 光 滑 映 射 ， 对 于 小s， 成 立 。ssL三、指数图形和正规坐标设 一 点 及 一 个 向 量 ， 存 在 唯 一 一 条 经 过 的 测 地 线 ，pMpvpv且 它 在 的 切 线 为 ， 这 是 一 条 测 地 线 的 基 本 性 。 它 符 合 这 样 的 事 实 :测 地线 的 定 义 条 件 是 的 参 数 的 二 次 微 分 方 程 。 和 是 存 在 和 唯=0t v一 的 必 要 前 提 条 件 。 如 果 是 一 条 以 为 参 数

21、 的 测 地 线 ， 则:(,)vMt曲 线 : ， 也 是 一 条 测 地 线 。 对 于c()vtst/s， 同 样 有 ， 所 以 。2v(0)cvsvc定 义 “指 数 映 射 ” 为 ， 对 于 所 有 ，exp:exp()1pcM81 在 的 领 域 中 。 由 以 上 证 明 我 们 知 道 ， 对 于 任 一 固 定 的 ， 存 在 一 个 数v v使 （ 1） 是 明 确 的 ， 且 根 据 二 次 微 分 方 程 存 在 定 理 ， 我 们 可 以 选 择0ss， 使 之 随 连 续 变 化 。 定 义 在 中 原 点 的 邻 域 里 ， 它 是 一 个 光 滑 映vexp

22、pM射 ， 且 由 隐 函 数 定 理 ， 它 还 是 原 点 的 一 个 邻 域 里 的 局 部 微 分 同 胚 映 射 。 事实 上 ， 由 于 对 任 一 ， ， 我 们 可 以 定 义 这 些 映 射 的 合:p集 为 。 我 们 应 该 在 上 的 所 有 邻 域 （ 也 是 的 零exp:)TM（ exp TM（ ）截 面 的 邻 域 ） 里 定 义 。ex选 择 的 一 个 正 规 基 ， 通 过 赋 予 点 坐 标 ，pi ()ixe12(,)nx我 们 可 以 定 义 的 邻 域 的 一 个 坐 标 系 统 。 这 样 的 坐 标 被 称 为 “ 处 的 正 规p坐 标 ”。

23、 由 于 通 过 原 点 的 射 线 是 测 地 线 ， 正 规 坐 标 有 性 质 。/()0iix它 满 足 对 中 的 所 有 ，pMv。()0pvix如 果 是 黎 曼 联 络 ， 由 定 义 每 个 切 线 空 间 都 有 一 个 内 积 。 对 任 一pM， 切 空 间 自 然 地 等 同 于 ， 因 此 继 承 了 一 个 内 积 。pvM()pvp()v固 定 ，是 一 个 线 性 映 射 。 在 这 些 空 间 中 一 般 不 保 留 内exp()dex:()pvvdexp积 。如 果 设 是 端 点 为 通 过 的 射 线 ， 且 沿 着 ， 则 易 证()t0Mv， 。

24、进 一 步 有 如 下 重 要 Gauss 引 理 。dexpv()()vttAA1.6 Gauss 引 理 如 果 是 通 过 邻 域 的 一 条 射 线 ， 且p垂 直 于 ， 那 么 垂 直 于 。()ptwM()tdexpe()t9证 明 ： 设 是 上 的 曲 线 ， 且 ， 上 每 一 点 与 的()cspM(0),()cvwcpM原 点 的 距 离 相 等 。 设 是 上 由 定 义 的 矩 形 ，(,)tsexp()stst： 是 上 由 0 到 的 射 线 。 从 和 的 定 义 我 们 知 道 曲s0,1p()c线 的 长 度 和 无 关 。 同 样 是 一 条 测 地 线

25、 ， 且(,)ts(,0)t， 。d(0,)d,1exp()ws由 第 一 变 分 方 程 得 到。0 00exp()dexp(),dexp(),ds tvvLwtsGauss 引 理 等 同 于 在 一 个 没 有 原 点 的 正 规 坐 标 球 中 方 程 的21/)irx梯 度 为 。 一 个 方 程 的 梯 度 是 由 定 义 的 唯/rf,d()grafxff一 的 向 量 场 。事 实 上 ， 用 极 坐 标 表 示 ， 可 以 看 出 Gauss 引 理 意 味 着1,n=0。/,ir所 以 如 果 ， 则ixhg。, ()irxhgxrr到 目 前 为 止 还 没 有 表 明

26、即 便 对 于 充 分 小 的 ， 一 条 正 规 测 地 线 的 线 段的 长 度 等 于 其 两 端 点 之 间 的 距 离 。 事 实 上 ， 可 以 看 出 有 比:0,M其 他 任 何 介 于 两 个 端 点 之 间 的 曲 线 都 小 的 长 度 。 这 说 明 距 离 是 所 有 这 样 的曲 线 长 度 的 下 确 界 。1.7 推 论 设 是 一 个 半 径 为 的 球 ， 是 一 个 嵌 入 。 那 么 ，(0)rpBrexp（ 1） 对 于 ， 是 唯 一 满 足rv:,1vtM10的 曲 线 。 特 别 地 ， 对 任 意 曲 线 ， 如 果(,exp)=LvA） c，

27、 那 么 ， 当 重 新 选 则 参 数 时 ， 仍 是 一 条 光 滑 的 测 地 线 。01cc（ 2） 如 果 ， 那 么 存 在 ， 使 的 边exp()()rrqBp()rqBp()r界 满 足 。 特 别 地 ， 。(,),q(,)证 明 ： 设 是 一 条 由 到 的 分 段 光 滑 的 曲 线 。 假 设 对:01cMexpv，0t， 即 对 ， 。 由 于 ，()exp()rcB0t()rct/1rA当 是 光 滑 的 时 ， 则 当 且 仅 当 ， 时 ， 有t /)(0t。(),cttrA因 此。0 00 01 1 10()d()d()d,()dt tt tLctcccc

28、trAAAA由 于 grad ， 上 式 右 边 等 同 于/r。00 011()d()dt t tcrc AA由 中 值 定 理 ， 必 定 存 在 一 个 第 一 值 ， 使 。 对 于 这 个 选 择 ，11v我 们 得 到。1dtLcvcA因 此 当 且 仅 当 是 光 滑 的 ， ， ， 及 对LcvA()t()(/)tr(0t于 ， 。 所 以 也 可 以 假 设 。 更 进 一 步 ， 重 新 选 择 参 数 时 ，1t01t的 每 个 光 滑 段 是 一 个 根 式 测 地 线 。 但 是 ， 由 于 是 连 续 的 ， 因 此 当 其 重 新c c11选 择 参 数 时 ，

29、c 是 一 条 根 式 测 地 线 。 特 别 地 ， 如 果 ， 则(0),1Lcc可 得 当 重 新 选 择 参 数 时 ， 是 一 条 （ 光 滑 ） 的 测 地 线 。()ct（ 2） 设 是 一 条 由 p 到 q 的 曲 线 。 由 于 ， 存 在 一 个 第 一 值()ct ()rqBp满 足 。0t0)rB由 以 上 论 证 ，。0(),(),rLctqBpq所 以。(,)inf(),rpc但 是 由 三 角 形 公 理 ， 逆 不 等 式 也 成 立 ， 所 以 。(),rpqBpq由 于 是 紧 致 的 ， 存 在 满 足 。 证 明()rB()rqB(,)r完 毕 。四、

30、 Hopf-Rinow 定理前 面 的 讨 论 表 明 了 两 个 问 题 ：（ 1） 什 么 时 候 在 所 有 上 定 义 ？exppM（ 2） 什 么 时 候 任 意 两 点 可 以 由 一 条 测 地 线 连 接 ， 测 地 线 的 长 度 等 于 它 们之 间 的 距 离 ？这 两 个 问 题 的 答 案 将 由 Hopf-Rinow 定 理 给 出 。1.8 定 理 （ Holf-Rinow） 以 下 各 项 是 相 等 的 ：（ a） 是 一 个 完 全 的 矩 阵 空 间 ， 如 果 上 由 到 的 距 离 被 定 义 为 由Mpq到 的 所 有 曲 线 的 长 度 的 最 小

31、 值 。pq（ b） 对 于 某 个 ， 定 义 在 所 有 上 ；pexppM（ c） 对 于 所 有 ， 定 义 在 所 有 上 ；以 上 任 意 条 件 蕴 含 ：（ d） 对 于 上 任 意 两 点 ， 可 以 被 一 条 测 地 线 连 接 ， 它 的 长 度 是 到Mpq p12的 距 离 。q在 实 际 应 用 中 ， 很 重 要 。 当 是 紧 致 的 时 ， 就 是 一 个 非()abM()a常 自 然 的 假 设 。 另 一 方 面 学 习 （ d） 以 便 运 用 几 何 学 和 分 析 学 的 工 具 来 研 究是 很 必 要 的 。 在 以 后 引 用 时 不 会 再

32、 特 别 提 及 定 理 1.8。M()接 下 来 我 们 将 假 设 所 有 的 联 络 都 是 完 备 的 。证 明 （ 定 理 1.8 ） ： 我 们 首 先 应 该 指 出 如 果 对 某 个 p， 定 义 在 所 有 的exp上 ， 那 么 任 意 点 q 可 以 通 过 一 条 测 地 线 连 接 到 p， 该 测 地 线 的 长 度 是 pp到 q 的 距 离 。 这 一 点 和 （ b） 一 起 蕴 含 （ a） 。 现 给 定 p， 设 是 一 个 正()rB规 坐 标 球 。 由 推 论 1.7（ 1） 我 们 假 设 ， 那 么 根 据 推 论 1.7（ 2） 设()rq

33、B满 足()rBp。(,)(,)pr设 是 正 规 测 地 线 ， 那 么 是 由 p 到 的 唯 一 最 小 测 地 线 。:0,M0q设 定 t 使 得 (,)(),(,)pttq是 明 显 封 闭 的 ， 则 可 令 是 这 样 的 值 的 最 后 一 个 。 设0,r是 一 个 关 于 的 标 准 正 交 球 ， 则 存 在 满 足10()rBt()t 10()rBt。00,(),(,)ptq设 是 由 到 的 唯 一 最 小 的 测 地 线 ， 由 于0()tq，0,(,)(),(,)ttq由 三 角 形 公 理 ， 得 到。00(,)(),(,)pttq但 是13， ，00,(,)

34、tLpt0(),Ltq所 以。(,)q于 是 和 必 定 可 以 组 成 一 条 光 滑 的 测 地 线 。 于 是 01,tr，0101(,)(,)()pqtrtq矛 盾 。为 完 成 证 明 ， 设 是 一 个 Cauchy 序 列 ， 并 设 ，()bai :0,iitM是 最 小 正 规 测 地 线 的 一 个 序 列 。 明 显 地 ， 同 样 是 一 个 极 限 为()iitq it的 一 个 Cauchy 序 列 。 由 在 处 单 位 球 的 紧 致 性 可 得 我 们 可 以 得 到 一 个 子0 p列 ， 它 满 足 。 设 是 一 条 满 足 的 测 地 线 。(0)ij

35、v:0,)M(0)v那 么 将 常 微 分 方 程 定 理 （ 对 由 初 始 数 据 得 到 的 解 有 连 续 依 赖 性 ） 运 用 到 测地 线 方 程 ， 得 到 。 由 于 是 一 个 Cauchy 序 列 ，0()ijijqttiq， 证 明 完 毕 。0()iqt下 面 证 明 。 当 给 定 和 ， 存 在 一 条 满 足 的 测()acppvM(0)v地 线 。 设 是 已 知 的 最 大 的 开 区 间 ， 那 么 如 果 ，:,1M0,tit是 一 个 极 限 为 的 Cauchy 序 列 。 定 义 ， 那 么 是 连 续()itq0()tq0,的 。 设 是 一 个

36、 正 规 坐 标 球 ， 对 于 足 够 大 的 ， 。 设rBi()irtB是 满 足 和 的 唯 一 最 小 测 地 线 ， 那 么:(,)()it()是 连 续 ， 分 段 光 滑 的 ， 且。0,2trL因 此 是 光 滑 的 ， 且 延 长 的 经 过 ， 矛 盾 。14很 明 显 ， 故 略 。()cb在 上 面 证 明 是 已 给 出 。d()ba五、曲率张量和 Jacobi 场由 以 上 的 Gauss 引 理 我 们 知 道 在 处 ， 作 为 一 个 等 距 映 射 来 考 量 ，pvM由 于 的 偏 差 没 能 保 留 内 向 量 的 内 积 （ 是 垂 直 于 其 本

37、身 方 向 的 子dexpPPv空 间 ） 。 反 过 来 ， 不 能 保 留 内 积 是 取 决 于 曲 率 张 量 。()vM这 种 曲 率 张 量 指 定 每 个 一 个 三 线 性 的 映 射 ：Rp。 如 果 是 的 基 本 元 素 ， 延 长 它 们 到 向 量 场pp,xyzpM， 然 后 定 义 ：,XYZ。,(,)XYXYRxyzZZ易 证 ， 不 依 赖 于 向 量 场 的 扩 张 ， 并 且 和 是 反 对 称 的 。 同 样 ，(,)z xy直 接 计 算 表 明。(,)(,)(,)0RxyzyRz它 叫 做 等 式 。 进 一 步 ， 也 显 而 易 见 的 。Jac

38、obi ,wxy现 在 我 们 研 究 曲 率 和 指 数 映 射 之 间 的 关 系 。 设 和 是 上 的 正 向 量 。vpM通 过 将 中 在 任 何 处 的 切 空 间 进 行 自 然 同 化 ， 在 所 有 上 和pMpxv诱 导 得 到 向 量 场 和 。 考 虑 由 定 义 的 在 内 的 射wVW()stVsWtp线 集 ， 则 是 一 个 通 过 的 测 地 线 ， 它 的 初 始 切 向 量 是 。seps vsw为 了 测 量 对 内 向 量 长 度 的 影 响 ， 我 们 将 计 算 Taylor 展 式dxP15的 一 些 项 。2dexp()tWA由 定 义 易

39、见 ， 是 测 地 线 的 1-参 数 集 的 变 分 场 。 这 种dexp()texps类 型 的 场 的 集 合 叫 做 场 ， 并 且 以 一 个 特 定 的 二 次 微 分 方 程 的 解 为 特Jacobi征 。 更 确 切 地 ， 设 ， 满 足 对 任 意 固 定 ，(,):(,)tsMs是 一 条 测 地 线 ，(,)ts， 。d(/)Ttd(/)Vs现 在 我 们 限 定 满 足 的 微 分 方 程 ， 由 第 1 小 节 末 的 讨 论 得 到,0V。d,0Tts但 是 ， 所 以 。 因 此 。 由 于/,0tsVTTV， 记T。TTVTVT由 曲 率 张 量 的 定

40、义，,d,0ts得 方 程Jacobi。(,)TVRT一 个 沿 着 一 条 测 地 线 （ 的 切 向 量 为 ， 满 足 以 上 等 式 ） 的 向 量 场 被 V称 为 “ 场 ”。 设 是 标 准 正 交 的 ， 且 平 行 于 ， 那 么Jacobi()iEt 0t（ ， ）方 程 即 常 微 分 方 程 1,(,),ijinJRTEJE16的 线 性 第 二 系 统 。由 常 微 分 方 程 理 论 得 出 这 个 系 统 的 解 空 间 是 维 的 ， 且 当 给 定 初 始 值 和2n一 阶 导 数 时 它 存 在 唯 一 一 个 解 。 这 和 规 定 是 一 样 的 。0(

41、0),TtJJ由 于 ， 我 们 有0T.,(,)JTRTJ因 此 任 何 场 都 可 以 唯 一 地 被 记 为Jacobi， 。0()atb0,最 后 如 果 是 一 个 场 ， 那 么 由 测 地 线 的 一 个 微 分 得 到 。 事 实 上 ，iJ设 是 一 条 满 足 的 曲 线 ， 并 设 沿 着 被 延 长 到 平()cs()c,()TJ()cs行 场 ， 那 么 的 变 分 域 是 一 个 场 ， 它 和 有 一 样()exp0cstTaobiJ的 初 始 条 件 。 因 此 由 以 上 唯 一 性 定 理 ， 它 和 相 等 。J现 在 我 们 计 算 的 Taylor 级

42、 数 。 设 定 和2d()tWAdexp()VT， 则 易 见 ， 那 么dexp()tJ0Jw,t00,2,t tJJ 202,t t tJWA注 意 到 ， 所 以00,)t tJRTJ（。00,6,t t tJJ又 000(,)(),(,)TtTt tJRRT 所 以 。00(,)(,)t tJw那 么17000,8,6,2,8(,)8(,)t t tJJJJRTwRTw 。因 此（ 1.9） 。2 451dexp()(,)()3tWtTtA我 们 发 现 和 射 线 集 相 比 ， 测 地 线 和 的 次 数 一ss1/2(,)wRvt起 出 现 。 所 以 如 果 是 正 的 ，

43、测 地 线 局 部 收 敛 ， 并 且 如 果 如 果(,)Rwv它 是 负 的 ， 和 射 线 相 比 ， 这 些 测 地 线 局 部 发 散 。也 可 以 像 下 面 那 样 解 释 （ 1.9） 。 设 为 一 个 用 正 规 坐 标 表 示 的 矩 阵 ，()ijgx那 么 在 起 始 处 ， 矩 阵 像 Euclidean 矩 阵 。 这 种 偏 差 产 生 于 所 有 二 次ijij项 ， 反 过 来 这 些 二 次 项 由 曲 率 来 衡 量 。 给 定 任 意 内 平 面 及 生 成 的pM向 量 和 ， 我 们 定 义 截 面 曲 率 为vw()K。2,RvwA这 里 指 由

44、 和 生 成 的 平 行 四 边 形 面 积 的 平 方 。 不 依 赖 于 生2vAv ()K成 向 量 的 选 择 。 而 且 ， 曲 率 张 量 完 全 由 内 积 和 函 数 决R2,:nmGMR定 ， 这 里 指 的 所 有 二 维 子 空 间 总 和 ， Grassman 联 络 。 实 际 上 ，2,()nmGM更 直 接 的 计 算 表 明(,)Rxyzw162(,)()()KxyzxwyzAA2,2 2(,)()(,)()xyzyzKyxxwAA182 2(,)()(,)()KzxwxKwyzyzAAyyw2 2(,)()(,)()zyzz2,KxzwAA2(,)()yKyz

45、这 里 指 由 产 生 的 平 面 的 曲 率 。(,)x,如 果 所 有 平 面 截 面 的 曲 率 的 正 负 符 号 一 样 ， 那 么 这 个 符 号 就 是 一 个 基本 不 变 式 。 如 果 更 详 细 的 研 究 测 地 线 ， 我 们 将 会 引 出 一 些 拓 扑 和 几 何 的 知识 。 我 们 记 表 示 对 于 上 所 有 点 处 的 所 有 平 面 截 面 ， 截 面 曲 率 大MKH于 常 数 。条 件 在 正 规 标 准 正 规 坐 标 系 中 。0ijijg六、共轭点正 如 第 一 章 所 表 明 ， 为 了 使 一 条 曲 线 达 到 其 两 个 端 点 之

46、 间 的 距 离 ，就 必 须 是 一 条 测 地 线 。 但 是 ， 如 果 太 长 ， 条 件 就 不 够 充 分 。 例 如 ， 在单 位 球 上 ， 测 地 线 就 是 大 圆 。 一 条 长 度 大 于 的 测 地 线 不 能 实 现 最 小 化 。例 如 ， 假 设 起 于 。 有 无 限 个 长 度 为 ， 由 到 对 应 点 的 测 地 线 。ppq设 道 路 ， 由 上 从 到 的 线 段 组 成 ， 且 其 最 小 测 地 线 由 到r r部 分 的 长 度 比 上 由 到 部 分 短 。 现 在 ， 在 这 个 例 子 中 是 的 一ss exp个 奇 异 值 。 尽 管 以 上 论 证 只 是 用 到 了 以 下 事 实 ， 即 由 到 有 两 条 不 同 的q测 地 线 ， 以 上 例 子 还 间 接 表 明 在 测 地 线 不 能 全 局 最 小 化 和 的 奇 异 值 之间 还 应 存 在 一 个 联 络 。 直 观 的