1、柯西分布柯西-洛伦兹分布概率 密度 函数绿线是标准柯西分布累积分布函数与上图中的颜色对应参数 位置参数（实数）尺度参数（实数）值域概率密度函数累积分布函数期望值 （没有定义）中位数众数方差 （没有定义）偏态 （没有定义）峰态 （没有定义）熵值动差生成函数 （没有定义）特征函数柯西分布也叫作柯西-洛伦兹分布，它是以 奥古斯丁路易柯西与亨德里克洛伦兹名字命名的连续概率分布，其概率密度函数为其中 x0是定义分布峰值位置的位置参数， 是最大值一半处的一半宽度的尺度参数。作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛伦兹分布或者Breit-Wigner 分布。在物理学中的重要性很大一部分归因于它是
2、描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用 柯西分布 这个统计学术语。x0 = 0 且 = 1 的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为特性其累积分布函数为：柯西分布的逆累积分布函数为柯西分布的平均值、方差或者矩都没有定义，它的众数与中值有定义都等于 x0。取 X 表示柯西分布随机变量，柯西分布的特性函数表示为：如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话，那么比值 U/V 为柯西分布。 标准柯西（0,1）的分布是因为在特殊情况学生的 t 分布的一个自由度。 关系到稳定分布：如果 X稳定（1,0，），则 X柯西（，）。 如果 X1, , Xn 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数（ X1 + + Xn）/ n 有同样的柯西分布。为了证明这一点，我们来计算采样平均的特性函数：其中， 是采样平均值。这个例子表明不能舍弃中心极限定理中的有限变量假设。洛仑兹线性分布更适合于那种比较扁、宽的曲线 高斯线性分布则适合较高、较窄的曲线 当然，如果是比较居中的情况，两者都可以。 很多情况下，采用的是两者各占一定比例的做法。如洛伦茨占 60%，高斯占 40%.
