1、概率中的期望与方差新题展示概率与统计的最大特点是其在生产、生活中的应用，随着所学内容的加深，出现了一些情况新颖、构思巧妙、解法灵活的创新题，显示了概率知识的活力与魅力。一、哪种方案好？例 1、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪水时要损失10000 元。为保护设备，有以下 3 种方案：方案 1：运走设备，搬运费为 3800 元。方案 2：建保护围墙，建设费为 2000 元，但围墙只能防小洪水。方案 3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种方案好。解：用 分布表示三种方案的损
2、失。321,X采用第 1 种方案，无论有无洪水，都损失 3800 元，即 ，3801X采用第 2 种方案，遇到大洪水时，损失 20006000062000 元；没有大洪水时，损失 2000 元，即 06X无 大 洪 水有 大 洪 水同样，采用第 3 种方案，有 0263X无 洪 水有 小 洪 水有 大 洪 水于是，E ，801X )20(20)6(622 XPXP620000.012000（10.01）2600， )0()1()(0 3333 XP600000.01100000.253100.采用方案 2 的平均损失最小，所以可以选择方案 2.点评：值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”
3、而得出的。一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小。由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的。二、哪种物体质量好？例 2、有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：1 110 120 125 130 135P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.22 100 115 125 130 1450.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中 、 分别表示 A、 B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于12120，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较
4、好？分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望值，然后再看这两种钢筋质量的稳定性即方差。解：E 1100.11200.21250.41300.11350.2125，1E 1000.11150.21250.41300.11450.2125，2又D 4.0)125(.0)125(.0)15(21 50330D .)(.)(.)2( 222，165015415由于 E E ，可知甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度都不低于 120，但由于 D D ，即2 12乙种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋。三、选择哪个方案更好？例 3、一投资者在两
5、个投资方案中选择一个，这两个方案的利润 （万元）分别服从正态分布 和 ，投资者需要“利润超过 5 万元”的概率尽量地大，那么他应).8(2N).6(2选择哪一种方案？解：由题意，只需求出两个方案中“利润超过 5 万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案。对第一方案有： ，于是)3.8(2 .84130)(1)38(15)(1)5( FP对第二方案有 ，于是)2.6(N .69150)2(1()265(151)5( FP所以应选择第一方案为好。点评：应用公式 求解概率是常见的方法，应)()()( xPx熟练掌握。四、何时利润最大？例 4、某商场某品牌的空调每周的销售量 是一个随机变量，分布列为，
6、201)(kPk11，12，30，而商场每周的进货量为区间11，30中的某一整数，商场每销售一台空调可获利 500 元，若供大于求，则每台多余的空调需要交保管费用 100 元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，此时每台空调仅获利 200 元，问此商场周初进货量（含上周余量）应为多少时才能使周平均利润最大？分析：设周初进货 x 台，周利润为 ，要求周平均利润的最大值，就是要求 E 的最大值。为此需求出 的取值，而 又是 的函数，需按供大于求、供不应求给出 的表达式，然后利用函数、数列的相应知识求解。解：设商场周初进货（含上周余量）为 x 台， ，周利润为随机变量 ，则30,1xx,30250)(2, ,161又 ，k11，12，30，P所以 xxEx 5021)60(21301)2(x)()30 .5902.(0351030(2112 xxx因为 x 为正整数，且 ，所以 x25 或 26 台，即周初进货量（含上周余量）,为 25 或 26 台时，周平均利润最大。
