1、 浅谈解析几何题的解题策略 湖北省黄梅县第三中学 何春芳解析几何题是同学们最害怕的题型，不仅计算量大，而且有时不知从何算起，找不到问题的切入点。在高考中这类题得分率较低。作为教者，我们要在平时鼓励大家动笔，争取获得步骤分；引导学生进行总结，加快问题的切入，争取时间有目的地去计算。在二轮复习中，我想这样搭建本节的解题体系：一、与一些特殊条件有关的问题可优先特殊解法，减少运算提高准确率。与定义中的量有关的问题可用几何法解题，与线段乘积有关的问题可用直线的参数方程，与过原点有关的长及角度问题可用极坐标方程。今年高江苏高考题就出现了与焦点有关的线段的求值、证明题，用通法去解运算量就较大。例 1、 （2
2、012 年江苏省 16 分）如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy中 ， 椭 圆21(0)xyab的左 、 右 焦 点 分 别 为 1(0)Fc， ， 2()， 已知 (1)e， 和 32， 都在椭圆上，其中 e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设 ,AB是椭圆上位于 x轴上方的两点，且直线 1AF与直线 2B平行， 2AF与 1B交于点 P（i）若 126F，求直线 1的斜率；（ii）求证： P是定值解：（1）由题设知， 22=cabea， ，由点 (1)e， 在椭圆上，得222221=1bcab，2=ca。由点 3e， 在椭圆上，得222224224433131 =0ec
3、aaaaba椭圆的方程为2xy。（ 2） 由 （ 1） 得 (0)F， ， 2(1)， ，又 1AF 2B，设 1A、 2B的方程分别为 =myx， ，120AxyBy， ， ， ， ，。 2 21211=0=x myymy 。2222222111 1=01mAFxyym。同理，222=BF。（i）由得，2121Am。解216=得 2=2。注意到 0m， =。 直线 1AF的斜率为 m。（ii）证明： 1AF 2B， 21P，即21111BFPPA。 12=AFB。由点 在椭圆上知，12BF， 122=AFPB。同理。 2112AF。 1 212 12121+= 2AFBAFBPB 由得， 2
4、11=mAFB，21=mAFB， 123+2P。若能找到焦点三角形中的边角关系，用几何法运算量就较小。设 的倾斜角为 ，借助1AF余弦定理及定义得出 由 =,cos-21abAF,cos22abBF21-B236cos26k（ii）证明： 1AF 2B， 21FPA，即 212111BFPFBAPA。 12=PFB。由点 在椭圆上知，12BF， 122=AF。同理。 2112BPAF。23-2121 abBaF例 2：（与长度乘积有关系的巧用直线的参数方程）说 明 理 由 。 的 方 程 ， 若 不 存 在 ， 若 存 在 ， 求 出 直 线， 使的 直 线两 点 ， 问 是 否 存 在 这
5、样 与 椭 圆 相 交 于， 直 线， 且，相 交 于 点与 直 线若 直 线已 知 椭 圆 方 程 为 22 21212 1, ,48 lPBAlBA lOlyx所 以 不 存 在 这 样 的 直 线 矛 盾 ，而 联 立 椭 圆 方 程 有 ：的 坐 标 为的 参 数 方 程 为解 ： 设 直 线 05,cos,sin,1-sin2co8- 8-2i4sin2co ,cos200012 00 yxyxPBAt tt yxPtxl如果采用常规的普通方程，点的坐标就较多，不少同学半途而废。二、常规方法：处理好图形的位置关系、度量关系的代数化：（1）点在线上，线线相交常常采用设点代入或解出点的坐
6、标或找到点的坐标的方程；（2）熟悉距离用坐标表示的弦长公式及特殊条件下的过焦点的弦长公式；（3）面积表达式中尽量采用分割与坐标相结合的方法；（4）垂直关系可用斜率与数量积相结合的方法；（5）变中有定问题采用先猜再证的思想，也可采用求值题中的先设再求或方程的思想；（6）范围问题先找等式，确立研究的函数及方程，也可通过图像之间关系直接观察出不等式。同学们问题较大的主要是题中出现的点过多情形，这类问题用常规的韦达定理式较难完成，此时可考虑设点代入整体消元法。下面以一题为例介绍多点在线上的问题怎样处理。 求 出 坐 标 。的 位 置 关 系 ， 若 相 交 ，与， 试 判 断 直 线与 椭 圆 交 于
7、 点，与 椭 圆 交 于 点 两 点 ，与 椭 圆 交 于的 斜 率 为直 线的 坐 标 为点： 已 知 椭 圆 方 程 为例 ABCDBPClyxAP BA,21-),1(,1023解：这题属于变中有定的问题，可先猜再证，由特殊点我们可猜出平行关系。在证明时最先想到的等价结论是证明斜率关系，但斜率关系依靠韦达定理的坐标式很难转化，所以我们可考虑证明比例的值相等，而比例式为坐标关系提供了条件，易于代换。 两 直 线 平 行又即 ：椭 圆 上 不 难 得 出 ： ， 由 这 些 点 在则 （设 ,1,2-;102;102 210-2;- -;0-,1,1,-1,),1 222 24433 32xyyxyx yxyxxyx PBDAPCDCByA一般，题中出现了交点的线性关系时，坐标有一定的对称性，为整体消元带来方便，所以当我们碰到这种坐标条件时可考虑代点法。如下两题都可为 定 值证 明若 ，轴 于两 点 ， 交作 直 线 交 椭 圆 于过 椭 圆 的 右 焦 点已 知 椭 圆 方 程 为 的 取 值 范 围 。求 实 数在 椭 圆 上 ， 且，已 知 椭 圆 的 方 程 为 21212, ,52 ,3,01491 BFMA MyBAFyx DNMND
