1、第 1 页 共 35 页、广东海洋大学 20102011 学年第 一 学期 高 等 数 学 课程试题 考试 A 卷 闭卷课程号： 19221101x1 考查 B 卷 开卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师各题分数 18 42 40 100实得分数一 . 填空（36=18 分）1. 函数 xef)(的拐点是 2(,)e2. 设 )1 ln2 ，则 xf= ./tc22l,()tt textefef设 则3. 曲线 在 处的切线方程为 y-8=3(x-5) .321ty2/dtkx4. 设 ，则 .xtd0sin)( )4(2/5. 设 xf1)，则 f等于 1 11
2、1ln(1)ln()2 2l()ln()()xxx xxeAA二 .计算题（76=42 分）1. 求 .30sin2ilmxx班级： 姓名： 学号： 试题共 页 加白纸 3 张 密 封 线GDOU-B-11-302第 2 页 共 35 页3 3 300 0230sinisinco2sinsi(co1)lml lm()li1xx xx xxA等 价2. 求不定积分 .dxcosin33. 已知 是 的原函数，求 .xsin)(f dxf)(2isin() sins()(coxf xcoxxdxfffdc4. 设方程 确定函数 ，求 . 0523yey )(ydy(1)44xyx ye方 程 两
3、边 对 求 导 :5. 求 的三阶麦克劳林公式.fcos)(2323(1.)(1.)()6xxxo6. 求由曲线 ,y 轴与直线 及 所围成图形的面积InInayIb24221(1)cos ()!nnxxxo e!n 第 3 页 共 35 页.0ab解：选为 积分变量，如图，所求面积为承 yabeAybalnlnd三. 应用及证明题（104=40 分）1. 证明：当 时， .0xx12证明: 1 1()()22120()0 xfxxfXxx 设 为 增 函 数故 时 ,f)=,得 证 .2. 若函数 在 内具有二阶导函数，且 )(xf),ba )()(321xffxf,证明：在 内至少有一点
4、，使得 . (321a),(31x0证明：因为 在 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得 ，()fx,b 12(,)x，使得 ，又 在 且满足罗尔定理的条件，故由23,12()0ff()fx12,罗尔定理，得：，使得 。1213(,)(,)x()f3. 当 为何值时，函数 有极值. dtexI02第 4 页 共 35 页22()0(0)1xxIeIx令 最 小 值解 : 故 当 时 ,y4. 试确定 的值，使函数 在 内连续a0,)(xaexf ),(00lim1li( 1xxefa 故广东海洋大学 20102011 学年第 一 学期 高 等 数 学 课程试题 考试 A 卷 闭卷课程号： 192
5、21101x1 考查 B 卷 开卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师各题分数 18 42 40 100实得分数一 . 填空（36=18 分）6. 函数 xef)(的拐点是 .7. .dsin138. 设 )1( )l(2xf ，则 )(xf= .9. 函数 上点 处的切线方程是 .xey,010.设 ，则 .td0sin)( )4(11.设 ,则 1f等于 .xxfarc二 .计算题（76=42 分）班级： 姓名： 学号： 试题共 6 页 加白纸 3 张 密 封 线GDOU-B-11-302第 5 页 共 35 页7. .xxsin1colm208. 求定积分 .d
6、x3129. 已知 ，求 .xef)(dxf)(10.设参数方程 确定函数 ，求 . tyxarcn)1l(2)(xydy第 6 页 共 35 页11.求 按 的幂展开的四阶泰勒公式.Inxf)()2(12.计算曲线 上相应于 的一段弧的弧长.)3(1xy31x三. 应用及证明题（104=40 分）第 7 页 共 35 页5. 证明：当 时， .4x2x6. 设 在 上连续，在 内可导，且 ,求证：存在)(xf1,0)1,0(0)1(f，使得 .,)(ff7. 求函数 在 上的最大值与最小值xdttF0)4()5,1第 8 页 共 35 页8. 试确定 的值，使函数 在 内连续a0,1sin)
7、(2xaxf ),(广东海洋大学 20112012 学年第 一 学期 高 等 数 学 课程试题 考试 A 卷 闭卷课程号： 19221101x1 考查 B 卷 开卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师各题分数 20 6 24 20 6 8 8 8 100实得分数一 . 求下列极限（54=20 分）12.32limxx原式=236(2)9li1xxx eA班级： 姓名： 学号： 试题共 6 页 加白纸 3 张 密 封 线GDOU-B-11-302第 9 页 共 35 页2. 30arcsinlimxx原式=2230002201rsi 1lillim33li 61()xx
8、 xx x分 子 通 分分 子 有 理 化3.2sin0lim1x原式=21sin20li()xx eA4. 230limsinxxtd原式=32000261lililim2(i)1cosnxxxA洛 洛二 .求函数 的间断点并判别其类型。 （6 分）213xf1 2() 1lim1()lim2()x xxf f和 为 间 断 点所 以 为 可 去 间 断 点 ,=为 无 穷 间 断 点 .三求下列导数或微分（64=24 分）1.设 ，求 。2lncosxyedy第 10 页 共 35 页221(sin).coxxdyeAA13.设函数 ，求 .2arcsin1yxdy2221()()yxdA
9、所 以3.求由方程 所确定的隐函数 的导数 。2lnarctnyyxyxdyx4.设 ，求 。2l(1)arctnyx2dyx22 22()/: (1)1tdytdxtt t解四.计算下列积分（54=20 分）9. 。231xd3333()111: (2)ln22266xdxdxxc解 原 式 =2. 。2arctnxd333 32 222311()arctnarctn1arctn()1t(1)1arcnlnxxdxxdxxxc原 式第 11 页 共 35 页3. .120xd/2 /2/20 00/:sincos11incos4481cos4(s)3316txtxtxtdddtttA解 设
10、时 时原 式4. .201xd22200111()0xxdx原 式五证明方程 在区间 内至少有一个实根。 （6 分）lne13,e1322113:(),(),)0()0(,()xf fxefef证 设 在 +上 连 续从 而 在 内 连 续 .f(由 零 点 定 理 , 使六求曲线 的凹凸区间和拐点。 （8 分）325yx32/1/ 1/34/331001010(2)()999xyxxxx 得 分 点x (- ,-1/2)-1/2 (-1/2,0) 0 (0,+ )()f- + +f(x) 凸 拐 凹 凹第 12 页 共 35 页所以，七用拉格朗日中值定理证明不等式：，其中 。 （8 分）1
11、1nnnbabab0,1ban1 11:(),(),nn nnnfxfxababab 证 明 设 则 在 ,上 连 续 在 ,内 可 导由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 :使 f(即 而 故所 以八求由 所围成图形的面积，并求该图形绕 x 轴旋转3,20yxy一周所得旋转体的体积。 （8 分）解：如图，绕 轴旋转所得的旋转体的体积为 7128d020620 xxyVx绕 轴旋转所得的旋转体的体积为. yyy d38203022 5643x第 13 页 共 35 页第 14 页 共 35 页第 15 页 共 35 页第 16 页 共 35 页第 17 页 共 35 页第 18 页 共 35
12、 页第 19 页 共 35 页第 20 页 共 35 页第 21 页 共 35 页广东海洋大学 2009 2010 学年第 二 学期 高 等 数 学 课程试题答案 考试 A 卷 闭卷课程号： 19221101x2 考查 B 卷 开卷一、 填空（38=24 分）1. 设 ， ，则2,13a1,b),cos(ba2132. 同时垂直于向量 ， 的单位向量为,2a,542,133. 曲线 ， （ 为常数）在点 处的切线方程为mxy2xzm),(0zyx1100x4. yxeyx2li),0(,5. 函数 在点 处的梯度为zu)2,1(1,426. 为圆周 （ ） ，则L2ayx0Lyxdseae27
13、. 幂级数 的收敛半径为1)(nn18. 微分方程 的通解为xey 21Cxey二、 计算下列函数的导数或微分（26=12 分）1. 设 ，求 。yxvuvz, ,arctndz解： （3 分）22221uvx （2 分）2221yxuvuyz 第 22 页 共 35 页（1 分）dyxdyxdz222. 设 ，求 和 。zlnyz解： （1 分） 则 ， = ，0l).(zxzyFzFx12yz1zxFz12（3 分） （2 分）zxFz )(zxyz三、 计算下列函数的积分（47=28 分）1. ，其中 第一象限部分。dxyD )0(:22ayx解：原式 (3 分)20438cosinad
14、rr分2. ，其中 是由球面 所围的闭区域。Vzyx2zyx22解：原式 （3 分）20cos04310in分drd3. ，其中 为 所围成的矩形域边界线的正向。xyeLyL,yx解：原式 （4 分）DDde1)21(3分（由对称性得 ）0xy4. ，其中 为平面 所围zdyxdz1,0, zyxzyx成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。解：原式第 23 页 共 35 页81)2(1)()( 0310103 分分分 dyxdzyxdyxdVzyx四、 解下列微分方程（27=14 分）1. 求微分方程 的通解。0cot)3(xdyy解： ， ， （3 分） ， （3 分）xydcot3dtan1
15、 Cxycosln3l（C 为任意常数） （1 分）s2. 求微分方程 的通解。xey4解： ， ， ， （3 分）0y012r1rxxeCY21)(设 ， ， （3 分）xae)(*exy2*（1 分）xCyYxy)(1五、 级数的应用（28=16 分）1. 将 展开成 的幂级数，并指出收敛域。)4ln()xfx解： （3 分）01414nnx )4,(1004)(l)ln( nnxxd（4 分） （1 分）10)(4l)l( nxx 4,(2. 将函数 展开成正弦级数。1)f解： 作奇延拓展成正弦级数， ， （2 分）)(xf ),310(,na（4 分） ,62,054)(12)cos1
16、(2sin20 nndb 第 24 页 共 35 页（2 分）xnxfn)12si(4)(1),0(六、 证明： ， （4 分）得当 时收敛；当 时bbnnlim)(li bb发散。 （2 分）广东海洋大学 20102011 学年第 二 学期 高 等 数 学 课程试题 考试 A 卷 闭卷课程号： 19221102x2 考查 B 卷 开卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师各题分数 24 30 46 100实得分数一 . 填空（38=24 分）14.多元函数在 处有偏导数是该函数在 处可微的 条件。0P0P15.微分方程 的通解为 。212xye16. = 。204xd
17、17.已知 是 的原函数， = 。()F2xe()Fxd18. ， 。fxd )f19.方程 的通解为 。560yy20.函数 具有连续的一阶偏导数是该函数可微的 条件。(,)fx班级： 姓名： 学号： 试题共 4 页 加白纸 2 张 密 封 线第 25 页 共 35 页8. 。02sinlmxtd二 .求积分（65=30 分）1 2.dxex)5( dx2cos3. 4.xdsin302dx5. 6. 12(sin)xdx sinxed三求解下列各题（46 分） 1.已知某函数满足方程 ，且当 时，(1)yydxyxde1y第 26 页 共 35 页。求解此函数（10 分） 。12ex2.已
18、知 ，求 （6 分） 。sin,lnxyxuvuevdyx3.已知曲线 。32yx（1）利用定积分求曲线与 及 轴所围图形的面积.(5 分)；1,3xx（2）利用二重积分再算该图形的面积（5 分） 。第 27 页 共 35 页4.计算 ，其中 D 是由圆周 及坐标轴所围21Dxyd 24xy成的在第一象限内的闭区域。 （10 分）5. 研究函数 的极值（10 分） 。323211(,)6fxyxy第 28 页 共 35 页广东海洋大学 20112012 学年第 二 学期 高 等 数 学 课程试题 考试 A 卷 闭卷课程号： 19221107x2 考查 B 卷 开卷题 号 一 二 三 四 五 六
19、 七 八 九 十 总分 阅卷教师各题分数 18 36 46 100实得分数一 . 填空（28=18 分）21.多元函数在 处连续是该函数在 处可微的 条件。0P0P22.微分方程 的通解为 。12yx23. = 。230dx24.已知 是 的原函数， = 。()F2xe()Fxd25. ， 。df f26.方程 的通解为 。20y27.函数 具有连续的一阶偏导数是该函数可微的 条件。(,)fx班级： 姓名： 学号： 试题共 4 页 加白纸 2 张 密 封 线第 29 页 共 35 页8. 。0limxtxed9. 。120xd二 .求积分（66=36 分）1 2.(5sin)xexd ln(5)xd3. 4.cosxd 320156dxx5. 6. 23(cos)xdx cosxed第 30 页 共 35 页三求解下列各题（46 分） 1.已知 ，求 （10 分） 。2,lnxyuvevdyx2.已知曲线 。lnyx（1）利用定积分求曲线与 及 轴所围图形的面积.(8 分)；1,xex（2）利用二重积分再算该图形的面积（8 分） 。
