1、第六节 常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中,我们已经知道了,在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示;反过来,一个三元一次方程的图形是一个平面。在一般情况下,如果曲面 S与三元方程(,)0Fxyz(1)有下述关系:(1) 曲面 上任一点的坐标都满足方程(1) ;(2) 不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程(1)那么方程(1)就叫做曲面 的方程,而曲面 S就叫做方程(1)的图形(图6-21) 。象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样,在空间解析几何中,我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。运用这个观点,我们来建立球面方程。例 1 若球心在点 00(,)Mxyz,半径
2、为 R,求该球面方程。解:设 (,)z是球面上任一点,那么 0M又 222000()()()xyz故 2200()()xyzR(2)这就是球面上的点的坐标所满足的方程,而不在球面上的点的坐标都不满足该方程,所以该方程就是以 00(,)Mxyz为球心, R为半径的球面方程。如果球心在原点,那么 0z,从而球面方程为22xy将(2)式展开得 22 2000xyzzxyzR所以,球面方程具有下列两个特点:(1) 它是 ,之间的二次方程,且方程中缺 ,项;(2) 2的系数相同且不为零。现在我们要问,满足上述两个特点的方程,它的图形是否为球面呢?例 2 方程 240xyzxy表示怎样的曲面?解:配方,得
3、 2217()()4z所以所给方程为球面,球心为,0,半径为 。例 3 方程 223xyzxyz是否表示球面?解:配方,得图 6-21xzOS(,)0Fxyz22213(1)()()4xyz显然没有这样的实数 ,yz能使上式成立,因而原方程不代表任何图形。以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示,反之,变量,xyz间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究,有下面两个基本问题。(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立曲面方程。(2) 已知坐标 ,xyz间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面形状。例 1 是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子,例 2、例 3
4、 是由已知 ,xyz间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。下面,作为基本问题(1)的例子,我们讨论旋转曲面;作为基本问题(2)的例子,我们讨论柱面和二次曲面。二、旋转曲面一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。设在 yzO坐标面上有一条已知曲线 C,它的方程为 (,)0f,曲线 绕 z轴旋转一周,得到一个以 轴为轴的旋转曲面(图6-22)设 11(,)Myz为曲线 上一点,则有,0f(3)当曲线 C绕 z轴旋转时,点 1随 C绕到另一点 (,)xy,这时, z且点 M到z轴的距离为 21dxy将 1, 1代入(3)式,便得到
5、 2(,)0fxyz(4)这就是所求的旋转曲面的方程。由此可知,在曲线 C的方程 (,)fz中将 改成2xy便得曲线 C绕 z轴旋转所成的旋转曲面的方程。同理,曲线 绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程为 2(,)0fyxz(5)例 1 求 yO坐标面上的抛物线2()p绕 z轴旋转而成的旋转曲面的方程。解:绕 z轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面(图6-23) ,它的方程为 2xyz例 5 将 O坐标面上的双曲线(,)Mxyz图 6-22xO0f11图 6-23xzyO21xzac分别绕 z轴和 x轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。解:绕 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面,它的方程为 2
6、2xyzc绕 x轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面,它的方程为 221a例 6 直线 L绕另一条与 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角 (02)叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在原点 O,旋转轴为 z轴,半顶角为 的圆锥面的方程(图 6-24) 。解:在 yz坐标面上直线 L的方程为 cotzy,因为旋转轴为 轴,所以只要将方程中的 改成2x,便得到这圆锥面的方程 2cotzxy或 2()k其中 t。三、柱面设直线 L平行于某定直线并沿定曲线 C移动,则直线形成的轨迹叫做柱面。定曲线 叫做柱面的准线,直线叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐
7、标面上,而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢?下面举例说明。问方程 22xyR表示什么曲面?在 O坐标面上,方程 2xy表示圆心在原点,半径为 R的圆。在空间直角坐标系中,方程缺 z,这意味着不论空间中的点的竖坐标 z怎样,凡是横坐标 x和纵坐标y满足这方程的点都在方程所表示的曲面 S上;反之,凡是点的横坐标 和纵坐标 y不满足这个方程的,不论竖坐标 z怎样,这些点都不在曲面 上,即点 (,)Pz在曲面 S上x图 6-24yz图 6-25yzO(,)Pxz图 6-26xyzO的充分必要条件是点 (,0)Pxy在圆 22yR上。而 (,)Pxyz是在过点 (,0)Pxy且平行于
8、z轴的直线上,这就是说方程 x表示:由通过 O坐标面上的圆22xyR上的每一点且平行于 z轴(即垂直于 坐标面)的直线所组成,即方程表示柱面,该柱面称为圆柱面(图 6-25) 。一般地,如果方程中缺 ,即 (,)0fy,类似于上面的讨论,可知它表示准线在O坐标面上,母线平行于 z轴的柱面。而方程 (,),()0gzhxz分别表示母线平行于 x轴和 y轴的柱面方程。例如方程 2x,方程中缺 ,所以它表示母线平行于 轴的柱面,它的准线是xyO面上的抛物线 2y,该柱面叫做抛物柱面(图6-26) 。又例如,方程 0xz表示母线平行于 y轴的柱面,其准线是 面上的直线 z,所以它是过轴的平面(图 6-
9、27) 。四、二次曲面最简单的曲面是平面,它可以用一个三元一次方程来表示,所以平面也叫做一次曲面。与平面解析几何中规定的二次曲线类似,我们把三元二次方程(,)0Fxyz所表示的曲面称为 二次曲面。选取适当的空间直角坐标系,可得它们的标 准方程,下面就二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的 形状。(1) 椭圆锥面 22xyzab以垂直于 轴的平面 t截 此曲面,当 0t时得一点 (0,);当 0t时,得平面 z上的椭圆221()xy当 t变化时,上式表示一族长短 轴比例不变的椭圆,当从大到小变为 0 时,这族曲线从大到小并缩为一点。综合上述讨论,可得椭圆锥面 (1)的形状(如图 6-28)平面 zt
10、与曲面 (,)0Fxyz的交线成为截痕。通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。本节前面讨论过旋转曲面,我们还可以利用伸缩变形的方法,由已知的旋转曲面来得出二次曲面的大致形状。先介绍伸缩变形法。曲面 (,)xyz沿 轴方向伸缩 倍,曲面 (,)0Fxyz的点 1(,)Mxyz变为点 2,其中 1221,xyz,因为点 M在曲面,0F上,所以有 1(,)0Fxyz,故(,)0F。例如将圆锥面22a的图形沿 轴方向伸缩ba倍,则圆锥面22xyza即变图 6-27yzOx图 6-28yz成椭圆锥面22xyzab。(2) 椭球面 221xyzabc把 O面上的椭圆 2绕 y轴旋转,所得的曲面
11、方程为21xzab,该曲面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿 z轴方向伸缩ca便得椭球面(2) (图 6-29) 。(3)双曲面 单叶双曲面 221xyzabc双叶双曲面 221xyzabc把 xzO面上的双曲线21xzac绕 轴旋转,得旋转单叶双曲面221xyzac,把此旋转曲面沿 y轴方向伸缩b倍,即得单叶双曲面(如图 6-30) 。类似的方法可得双叶双曲面(如图 6-31)(4)抛物面椭圆抛物面 2xyzab双曲抛物面(马鞍面) 2把 xzO面上的的抛物线xza绕 轴旋转,得旋转抛图 6-30yxzOOzyx图 6-31图 6-29yzxO图 6-32xyzO物面2xyza,把此旋转曲面沿
12、 y轴方向伸缩ba,即得椭圆抛物面(如图 6-32) 。我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状(如图 6-33) 。用平面 xt截此曲面,得截痕l为平面 t上的抛物线 22tzb此抛物线开口向下,其顶点坐标为 2,0xtya。当 t变化时, l的形状不变,只是位置平移,而 l的顶点的轨迹 L为平面 上的抛物线2xz。还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面 2221,xyxyaxab依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。柱面的形状在前面已经讨论过,这里不再冗述。习题 6-61建立以点 (1,32)M为球心,且过原点的球面方程。2将 xyO面上的抛物线 4yx分别绕轴, 轴旋转,分别求出旋转后所得的曲面方程。3一动点与点 (1,0)的距离为与平面 4x的距离的一半,试求其所生成的轨迹,并确定它为何种二次曲面。4说明下列二次曲面的名称,若它们是旋转曲面,那么,是怎样生成的?(1)2219yz;(2)214yxz;(3) 22xyz(4) x;(5) ;(6) 。5指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中所表示的不同意义:(1) 3;(2) yx;(3) 29xy;(4) 216指出下列各方程在空间解析几何中所表示的几何图形,并作出它们的草图:(1) 1xz;(2) 1;(3) ;(4) 20xy;(5)249;(6)29;(7) 20yz;(8) 2z。图 6-33yzO