1、数值分析讲义 1第 1 章 数值分析中的误差 一、重点内容 误差 设精确值 x* 的近似值 x，差 exx * 称为近似值 x 的误差(绝对误差)。误差限 近似值 x 的误差限 是误差 e 的一个上界，即 |e|xx *|。相对误差 er 是误差 e 与精确值 x* 的比值，。常用计算。相对误差限 是相对误差的最大限度， ，常用计算相对误差限。绝对误差的运算：(x1x2)(x 1)(x 2)(x1x2)|x 1|(x2)|x 2|(x1)有效数字 如果近似值 x 的误差限 是它某一个数位的半个单位，我们就说 x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非 0 数字为止的所有数字称为 x 的有效数字。
2、关于有效数字： (1) 设精确值 x* 的近似值 x，x0.a 1a2an10 ma1，a 2，a n 是 09 之中的自然数，且 a10，|xx *|0.510 ml ，1l n则 x 有 l 位有效数字 .(2) 设近似值 x0.a 1a2an10m 有 n 位有效数字，则其相对误差限 (3) 设近似值 x0.a 1a2an10m 的相对误差限不大于 数值分析讲义 2则它至少有 n 位有效数字。(4) 要求精确到 103 ，取该数的近似值应保留 4 位小数。一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对
3、误差 e0.0926 的数 x20.7426 只有三位准确数字 2，0，7。一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为 10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为 1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为 0.1% 的量级。 二、实例 例 1 设 x* 3.1415926近似值 x3.140.31410 1，即 m1，它的误差是 0.001526，有|xx *|0.0015260.510 13即 l3，故 x3.14 有 3 位有效数字。x3.14 准确到小数点后第 2 位。又近似值 x3.1416，它的误差是 0.0000074，有|xx *|0.00000740.5
4、10 15即 m1，l5，x3.1416 有 5 位有效数字。而近似值 x3.1415，它的误差是 0.0000926，有|xx *|0.00009260.510 14即 m1，l4，x3.1415 有 4 位有效数字。这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有 s 位或 s1 位有效数字。例 2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 0.002 00 9 000 9 000.00解 因为 x12.000 40.200 04101，它的误差限 0.000 050.510 15 ，
5、即 m1，l5，故 x12.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限。x20.002 00，误差限 0.000 005，因为 m2，l3，x 20.002 00 有 3 位有效数字。相对数值分析讲义 3误差限 r0.000 005/0.002 000.25%。x39 000，绝对误差限为 0.5，因为 m4，l4，x 39 000 有 4 位有效数字，相对误差限 r 0.5/9 0000.005 6%。x49 000.00，绝对误差限 0.005，因为 m4，l6 ，x 49 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为 r0.005/9 000.000.000 056%。由 x3 与 x
6、4 可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的。例 3 ln20.69314718 ，精确到 103 的近似值是多少？解 精确到 103 0.001，即绝对误差限是 0.05，故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693。三、练习题 1. 设某数 x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 。2. 设某数 x*，它的精确到 104 的近似值应取小数点后 位。3. ( )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 235.54101 (B) 235.418(C) 2354.82102 (D) 0.00235491034. 设 a*2.718181828，取 a2.71
7、8，则有( )，称 a 有四位有效数字。(A) |aa *|0.510 4 (B) |aa *|0.510 14(C) |aa *|10 4 (D) |aa *|0.00035. 设某数 x*，对其进行四舍五入的近似值是( )，则它有 3 位有效数字，绝对误差限是 0.5104 。(A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.003156. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为 0.25103 。(A) 0.01234 (B) 12.34 (C) 2.20 (D) 0.22007. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。(1)
8、2.1514 (2) 392.85 (3) 0.003922数值分析讲义 48. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 e r0.1% (2) 0.896 e r10%9. 已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。(1) 0.3941 e0.2510 2 (2)293.481 e0.1 (3) 0.00381 e0.110 4 10. 已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。(1) 1.8921 e r0.110 2 (2) 22.351 e r0.15(3) 48361 e r1%四、练习题答案 1该数有效数字第四位的一半。2 . 五 3. (A) 4
9、. (B) 5. (C) 6. (D)7. (1)2.15, e0.1410 2 ，e r0.6510 3 ；(2) 393，e0.15，e r0.3810 3 ；(3)0.00392，e0.210 5 ， e r0.511038. (1) e0.1310 2；(2) 0.9101 9. (1) 2；(2)3；(3)210.(1) 3；(2)1；(3)2 第 15 章 线性方程组的数值解法 一、重点内容 1. 高斯顺序消去法解线性方程组 AXb，对增广矩阵 顺序作初等行变换，使矩阵 A 化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中， 。 数值分析讲义 5注意：本
10、章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。 2. 高斯列主元消去法 在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元 ， ( k1，2，3，n1) 把第 r 行作为主方程，做第 k 次消元。 把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。 3. 雅可比迭代法(简单迭代法) 解线性方程组 AXb 的雅可比迭代法公式为 ( k0，1，2，) 4. 高斯赛德尔迭代法 解线性方程组 AXb 的高斯赛德尔迭代法公式为 (i1，2，n；k0，1，2，) 5解的收敛性定理 【定理 1】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵 A 的各阶顺序主子式不为 0；AXb 能用高斯消去法求解的充分
11、必要条件是 A 的各阶顺序主子式不为 0。 【定理 4】(迭代法基本定理) 设线性方程组 XBXf 对于任意初始向量 X (0)及任意 f，对应此方程组的迭代公式 X (k1) B (k)X f 收敛的充分必要条件是 ,其中 i ( i1，2，n)为迭代矩阵 B 的特征根。当 i 为复数时，| i|表示 i 的模。 数值分析讲义 6【定理 6】(迭代法收敛的充分条件 )设线性方程组 AX b，(1) 若 A 是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛；(2) 若 A 为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵 A aij n，若则称矩阵 A 是严格对角占优矩阵。二、实例
12、例 1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元于是有同解方程组回代得解x31，x 21，x 11，原线性方程组的解为 X(1，1，1) T。数值分析讲义 7例 2 取初始向量 X(0) (0，0，0) T，用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代格式(k1，2，3， ) 第 1 次迭代，k0X(0)0，得到 X(1)(1，3，5) T第 2 次迭代，k1X(2)(5 ，3，3) T 第 3 次迭代，k2X(3)(1 ，1，1) T 第 4 次迭代，k3X(4)(1 ，1，1) T 例 3 填空选择题：数值分析讲义 81. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第 1 次消元后的第 2，3 个方程分别为
13、 。解 选 a212 为主元，作行互换，第 1 个方程变为：2x 12x 23x 33，消元得到是应填写的内容。2. 用选主元的方法解线性方程组 AXb，是为了( )(A) 提高计算速度 (B) 减少舍入误差(C) 减少相对误差 (D) 方便计算答案：选择(B)3. 用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k0，1，2，)答案： 解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求 x2 的值时应该用 x1 的新值。4. 当 a ( )时，线性方程组的迭代解一定收敛。(A) 6 (B) 6 (C) 6 (D) 6 或6数值分析讲义 9答案：(D)解答：当|a| 6 时，线性方程组的系数矩
14、阵是严格对角占优矩阵，由教材第 10 章定理 6，迭代解一定收敛。三、练习题 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组2. 用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67，7.62，9.05) T，求二次迭代值。3. 证明线性方程组的迭代解收敛。4. 用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是 5. 用列主元消去法解线性方程组，第 1 次消元，选择主元为( )(A) 3 (B) 4 (C) 4 (D)9四、练习题答案 1. X(4，1，2) T 2. (4.666 19，7.618 98，9.047 53)T 数值分析讲义 103. 提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。4. 线
15、性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为 0。5. (C)第 2 章 函数插值与最小二乘拟合 一、重点内容 1. 函数插值已知函数 f(x)的 n 个函数值 ykf(x k)，k 0，1，2，n。构造一个多项式 P(x)，使得 P(xk)y k。P(x) 就是插值多项式，f (x)就是被插函数，x k 就是插值节点。误差 R(x)f(x) P(x)。2. 拉格朗日多项式称 n 次多项式 Pn (x)y 0l0y 1l1y nln为拉格朗日插值多项式，其中基函数(i0，1，2，n)当 n1 时，线性插值 P1(x)y klk(x)y k+1lk+1(x)其中基函数 。当 n2 时，得到二次多项式
16、，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为 : ,其中 (a，b)注意：过 n1 个互异点，所得的多项式应该是次数不超过 n 的多项式。3. 均差与牛顿插值多项式函数值与自变量的差商就是均差，数值分析讲义 11一阶均差 (或记作 fx0，x 1)；二阶均差 (或记作 fx0，x 1，x 2)均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示； (2)均差与插值节点顺序无关。用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x) f(x0)f x0，x 1(xx 0)f x0，x 1，x 2(xx 0)(xx 1)fx 0，x 1，x 2，x n(xx 0)(xx 1)(xx 2) (xx n-
17、1) 牛顿插值多项式的余项为：R n(x)f(x) N n(x)fx， x0，x 1，x 2，x n(xx 0)(xx 1)(xx 2) (xx n1 )(xx n)4. 分段线性插值 已知 n1 个互异节点 x0，x 1，x n 构造一个分段一次的多项式 P(x)，且满足：(1)P(x)在 a，b上连续；(2) P(x k)y k (k0，1，2，n) ；(3)P(x)在x k，x k+1上是线性函数。分段线性插值函数 其中 lk(x)(k0，1，2，n)是分段线性插值基函数。(i1，2，n1)数值分析讲义 125. 三次样条插值函数 (k0， 1，2，n1) (xkxx k1 )其中 S(
18、xk)m k (k0，1，2，n)，h kx k+1x k (k0，1，2，n1)，m 0，m 1，m n 满足的方程组是(*)其中： ，(k1，2，n1)(1) 当已知 S(x0)y 0，S (xn)y n 时，(*)式中 01， n1，(2) 当已知 S(x0)y 0m 0，S( xn)y nm n 时，(*)式化为数值分析讲义 136. 最小二乘法用 (x)拟合数据(x k，y k) (k1，2，n)，使得误差的平方和 为最小，求 (x)的方法，称为最小二乘法。(1) 直线拟合 若 ，a 0，a 1 满足法方程组(2) 二次多项式拟合 若 ，a 0，a 1，a 2 满足法方程组二、实例
19、例 1 已知函数 yf( x)的观察数据为xk 2 0 4 5yk 5 1 3 1试构造拉格朗日多项式 Pn(x)，并计算 P(1)。只给 4 对数据，求得的多项式不超过 3 次数值分析讲义 14解 先构造基函数所求三次多项式为P3(x)=P3( 1)例 2 已知函数 yf( x)的数据如表中第 1，2 列。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。k xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 0.40 0.410 75 1 0.55 0.578 15 1.116 00 2 0.65 0.696 75 1.168 00 0.280 00 3 0.80 0.888
20、11 1.275 73 0.358 93 0.197 33 4 0.90 1.201 52 1.384 10 0.433 48 0.213 00 0.031 34计算公式为数值分析讲义 15一阶均差 (k0，1， 2，3)二阶均差 (k0，1，2)三阶均差 (k0，1)四阶均差 例 3 设 x0，x 1，x 2，x n 是 n1 个互异的插值节点，l k(x) (k0，1，2，n)是拉格朗日插值基函数，证明：(1) ；(2) (m0，1，2 ，n)证明 (1) Pn(x)y 0l0y 1l1y nln 当 f(x)1 时，1由于 ，故有(2) 对于 f(x)x m，m0，1，2，n，对固定 x
21、m (0mn) ，作拉格朗日插值多项式，有数值分析讲义 16当 nm1 时，f (n+1) (x)0，R n(x)0，所以 注意：对于次数不超过 n 的多项式 ，利用上结果，有=可见，Q n(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过 n 的多项式在 n1 个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例 4 已知函数 ex 的下列数据，用分段线性插值法求 x0.2 的近似值。x 0.10 0.15 0.25 0.30e x 0.904 837 0.860 708 0.778 801 0.740 818解 用分段线性插值，先求基函数。数值分析讲义 17所求分段线性插值函数为所以，e 0.2
22、 P(0.2)0.819 070.20.983 5690.819 755例 5 已知数据如表的第 2，3 列，试用直线拟合这组数据。解 计算列入表中。k xk yk xkyk 1 1 4 1 42 2 4.5 4 93 3 6 9 184 4 8 16 325 5 8.5 25 42.5 15 31 55 105.5n5。a 0，a 1 满足的法方程组是解得 a02.45，a 11.25。所求拟合直线方程为 y2.451.25x 例 6 选择填空题1. 设 y f(x)，只要 x0，x 1，x 2 是互不相同的 3 个值，那么满足 P(xk)y k (k0，1，2)的 f(x)的插值数值分析讲
23、义 18多项式 P(x)是 (就唯一性回答问题 )答案：唯一的解答：因为过 3 个互异节点，插值多项式是不超过 2 次的。设 P(x)a 2x2a 1xa 0，其中a2，a 1，a 0 是待定数。P(x k)y k，即这是关于 a2，a 1，a 0 的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式所以，不超过 2 次的多项式是唯一的。2. 通过四个互异节点的插值多项式 P(x)，只要满足( ), 则 P(x)是不超过一次多项式。(A) 初始值 y00 (B) 一阶均差为 0(C) 二阶均差为 0 (D)三阶均差为 0答案：(C)解答：因为二阶均差为 0，那么牛顿插值多项式为 N(x)f (x0)fx
24、0，x 1(xx 0)它是不超过一次的多项式。3. 拉格朗日插值多项式的余项是( )，牛顿插值多项式的余项是 ( ) (A) (B) fx，x 0，x 1，x 2，x n(xx 1)(xx 2) (xx n1 )(xx n)(C) (D) fx，x 0，x 1，x 2，x n(xx 0)(xx 1)(xx 2) (xx n1 )(xx n)数值分析讲义 19答案：(A) ，(D) 。见教材有关公式。4. 数据拟合的直线方程为 ya 0a 1x，如果记那么系数 a0，a 1 满足的方程组是( ) (A) (B)(C) (D) 答案：(B)解答：因为法方程组为由第 1 个方程得到，将其代入第 2
25、个方程得到整理得 故(B)正确。数值分析讲义 20三、练习题 1. 已知函数 yf( x)，过点(2 ，5) ，(5，9)，那么 f(x)的线性插值多项式的基函数为 。2. 过 6 个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数 l4(x) 。3. 已知多项式 P(x)，过点(0，0) ，(2，8)，(4 ，64)，(11 ，1331)，(15，3375) ，它的 3 阶均差为常数 1，一阶，二阶均差均不为 0，那么 P(x)是( )(A)二次多项式 (B)不超过二次的多项式 (C) 三次多项式 (D) 四次多项式4. 已知 yf( x)的均差 ， ， ，。那么 fx4，x 2，x 0( )(A) 5
26、 (B) 9 (C)14 (D) 85. 求数据拟合的直线方程 ya 0a 1x 的系数 a0，a 1 是使 最小。6. 求过这三个点 (0，1)，(1，2) ，(2，3)的拉格朗日插值多项式。7. 构造例 2 的函数 f(x)的牛顿插值多项式，并求 f(0.596)的近似值。8. 设 l0(x)是以 n1 个互异点 x0，x 1，x 2，x n 为节点的格朗日插值基函数试证明：9. 已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。x 1 2 3y 2 4 12y 1 1数值分析讲义 2110. 已知数据对(7，3.1) ，(8，4.9)，(9 ，5.3)，(10 ，5.8)，(11 ，6.1)，
27、 (12，6.4) ，(13，5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。四、练习题答案1. 2. 3. C 4. B 5. 6. x17. 给定五对点，牛顿多项式是不超过 4 次的多项式。N4(x) 0.410751.11600(x 0.40) 0.28000( x0.40)(x0.55)0.19733(x0.40)( x0.55)(x0.65)0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)将 x0.596 代入牛顿多项式 N4(x)中，得到：f (0.596)N (0.596)0.631 928. 提示：求 l0(x)的牛顿插值多项式。9. 10. y0.145x 23.
28、324x 12.794 第 4 章 数值积分与微分 一、重点内容 1. m 次代数精度 求积公式 对于任意不超过 m 次的代数多项式都准确成立，而对某一个 m1 次代数多项式不成立。 2. 牛顿科茨求积公式： 数值分析讲义 22截断误差 (1)科茨系数： (k0，1，2，n)，有两条性质。(2) 牛顿科茨求积公式的求积系数：A k (k0，1，2，n)(3) 常见牛顿科茨求积公式梯形公式 截断误差： R1 f 复化梯形公式 截断误差：，M 2抛物线公式 复化抛物线公式 截断误差： ，科茨公式 数值分析讲义 233高斯勒让德求积公式 ，节点为 的零点(高斯点) 其余项：4. 微分公式(1)等距节
29、点两点求导公式：(k0，1，2，n 1)(2)等距节点三点求导公式：(k1，2， ，n1)二、实例 例 1 试确定求积公式的代数精度。依定义，对 xk (k0，1 ，2，3，)，找公式精确成立的 k 数值数值分析讲义 24解 当 f(x)取 1，x，x 2， 计算求积公式何时精确成立。(1) 取 f(x)1 ，有左边 ，右边(2) 取 f(x)x，有左边 ，右边(3) 取 f(x)x 2，有左边，右边(4) 取 f(x)x 3，有左边 ，右边(5) 取 f(x)x 4，有左边，右边当 k3 时求积公式精确成立，而 x4 公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数精度。数值分析讲义 25例 2
30、试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分(计算结果取 5 位有效数字)(1)用梯形公式计算(2) 用抛物线公式(3)用科茨公式 系数为如果要求精确到 105 ，用复化抛物线公式，截断误差为， ，N2只需把0.5，1 4 等分，分点为 0.5，0.625，0.75，0.875 ，1数值分析讲义 26例 3 用三点高斯勒让德求积公式计算积分高斯型求积公式只能计算 1，1上的定积分解 做变量替换，查表得节点0.774 596 669 和 0；系数分别为 0.555 555 5556 和 0.888 888 8889注：该积分准确到小数点后七位是 0.9460831，可见高斯型求积公式的精度是很高
31、的。教材的第12 章 12.2 节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比较。例 4 用三点公式计算在 x1.0，1.1，1.2 处的导数值。已知函数值f(1.0)0.250000，f(1.1) 0.226757，f (1.2)0.206612解 三点导数公式为数值分析讲义 27k1，2，3，n1本例取 x01.0，x 11.1，x 2 1.2，y 00.250000，y 10.226757，y 20.206612，h0.1。于是有计算例 5 选择填空题1. 牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由
32、精度确定其节点和求积系数。2. 如果用复化梯形公式计算定积分 ，要求截断误差的绝对值不超过 0.5104 ，试问n( )(A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差中，故，n40.8，取 n41。故选择(A)。3. 已知 n3 时，科茨系数，那么 答案：1/8数值分析讲义 28解答：由科茨系数的归一性质，三、练习题 1. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式 A 0f(0)A 1f(1)A 2f(2)的代数精度尽可能的高。2. 用复化抛物线公式计算定积分。取 n4，保留 4 位有效数字。3. 试用四点(n3)高斯勒让德求积公式计算积分4. 已
33、知条件见例 4。用两点求导公式计算 f (1.0)，f (1.1)。5. 若用复化抛物线公式计算积分 ，要求截断误差的绝对值不超过 0.5104 ，试问 n ( )(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 36当 n6 时， ( )7. 用三点高斯勒让德求积公式计算积分 ，具有 代数精度的。四、练习题答案 1. A0A 21/3，A 14/32. 0.1109 3. 3.141624 4. 0.23243；0.201455. (B) 6. (D) 7. 5 次 第 13 章 方程求根 一、重点内容 数值分析讲义 291. 二分法: 设方程 f(x)0 在区间a， b内有根，用二分有根区间的方
34、法，得到有根区间序列：。x*x n=(a0a，b 0b)，n0，1，2， 有误差估计式：x *x n，n0，1，2，二分区间次数：2. 简单迭代法: 若方程 f(x)0 表成 x( x)，于是有迭代格式： xn(x n1 ) （n1，2，）x*x n若存在 01,|( x)| ,在区间a, b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。 3. 牛顿法:用切线与 x 轴的交点，逼近曲线 f(x)与 x 轴的交点。迭代公式为 （n1，2，） 选初始值 x0 满足 f(x0)f (x0)0，迭代解数列一定收敛。 4. 弦截法: 用两点连线与 x 轴交点逼近曲线 f(x)与 x 轴的交点。迭代公式为 (n
35、1，2，)二、实例 例 1 证明方程 1x sin x0 在区间0，1 内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5104 的根要迭代多少次？证明 令 f(x)1xsin x， f(0)10，f(1)sin10 数值分析讲义 30 f(x )1xsinx0 在0，1内有根。又 f (x)1cos x 0 (x0，1),故 f(x)0 在区间0，1内有唯一实根。给定误差限 0.510 4，有只要取 n14。例 2 用迭代法求方程 x54x20 的最小正根。计算过程保留 4 位小数。分析 容易判断1 ，2是方程的有根区间。若建立迭代格式，(x(1，2)，此时迭代发散。建立迭代格式： ，(x(1 ，2)，此时迭代收敛。解 建立迭代格式(x(1 ，2)，取初始值 x01
