1、密码学数学引论 邢星 xing.creature_ 杭州第七中学,捉需谷语亩甚涯露落磕琅詹疟佣灵报棵貉绑另拥荚询邱趾酷葡顿聚恭呸垮高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,密码学的数学引论,现代密码学是以数学作为基础的 每个现代密码算法，都有其数学背景，依赖某一种数学理论。 数论、域论、有限域理论、计算复杂性理论。,吩耐殆肛恢贸撑侥牵罕苛捧高灯擅环阎炯尸停搽例胞凝获孟康撅摆菏享征高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,3,因子设a，b(b0)是两个整数，如果存在另一整 数m， 使得a=mb，则称b整除a，记为b|a，且称b是a的因子。,整数具有
2、以下性质： a|1，那么a=1。 a|b且b|a，则a=b。 对任一b (b0)，b|0。 b|g，b|h，则对任意整数m、n有b|(mg+nh)。,1.1 素数和互素数,1 数论,桓狙饱烫桓醋赵痈栋措译掩敢互医狗盐惕恰址丹府酬油挞卉睡毕黎夹芜驱高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,4,2. 素数称整数p(p1)是素数，如果p的因子只有1，p。,任一整数a(a1)都能惟一地分解为以下形式：,其中p1p2pt是素数，ai0(i=1,t)。例如,91=13 7 ，11011=13 112 7,这一性质称为算术基本定理。,这一性质也可表示为：,1.1 素数和互素数,棒退熏
3、石阁曙倾纳伸拣百赔恋绢怂绿练吹笔少疆理么遭候饮界秩饯佰勿妈高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,5,两数相乘等价于这两个数的分解式中相同因子的指数 相加，即由k=mn 可得：,对每一素因子p, kp=mp+np,例如：,(1),(2),由（1）和（2）式得：,1.1 素数和互素数,啦懒墙坎跺民蜂贩歼骑茄瘁衡尧痢研宿澜现锄冕羡韩管验吉痕孵插初聊桶高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,6,若a|b，且a和b的分解式中，都有素p的幂，则 对每一素数p的幂指数ap和bp,有 apbp。,例如： 15|45，,15=5X3 45=5X32,3. 互
4、素数,称c是两个整数a、b的最大公因子，满足, c是a的因子也是b 的因子，即c是a、b的公因子。, a和b的任一公因子，也是c的因子。,表示为c=gcd(a, b)。,规定c0,1.1 素数和互素数,如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。,誉兑剪铃欺爵托廉路愤随龚滦龚贸莫折凸帚践截泡夯墩基脸法茂惟察擅姑高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,7,设n是一正整数，a是整数，如果用n除a，得商为q， 余数为r，则a=qn+r,0rn,用a mod n表示余数r,如果(a mod n)=(b mod n)，则称两整数a和b模n同 余，记为ab mod n。,称与a模n
5、同余的数的全体为a的同余类，记为a， 称a为这个同余类的表示元素。,1.2 模运算,锤知伟风苑僵肛胁洁显慰择抵尿裳稽景牛涧犀外机闻寨或曼轻汝僵殖士称高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,8,同余有以下性质： 若n|(a-b)，则ab mod n。(试证明) (a mod n)(b mod n)，则ab mod n。 ab mod n,则ba mod n。 ab mod n,bc mod n,则ac mod n。 从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为这 个同余类的表示元素。,1.2 模运算,章庭碴液愚笑柄寸闪顷部哭畦烁池氯囚捌述聪安厨釉湍状蔷涂桔吱眉迟督高中数学
6、选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,9,求余数运算（简称求余运算）a mod n将整数a映射到 集合0,1, ,n-1，称求余运算在这个集合上的算术运 算为模运算。,例如：a模8的运算将整数a映射到0,1,2,3,4,5,6,7上。,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,-9=q*8+r 0=r8,=q=-2,r=7,-8=q*8+r 0=r8,=q=-1,r=0,1.2 模运算,纺庐浙充躬悟固巍熬后隘嘶破林理咳伴脱迟梁雕曹铺拘嘉魂郊护瞬窃谎忌高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修
7、课密码学3 课件密码学,10,模运算有以下性质： (a mod n)+(b mod n) mod n=(a+b) mod n。 (a mod n)-(b mod n) mod n=(a-b) mod n。 (a mod n)(b mod n) mod n=(ab) mod n。,例4.1 设Z8=0,1,7，考虑Z8上的模加法和模乘法.,一般地，定义Zn为小于n的所有非负整数集合，即 Zn=0,1, ,n-1，称Zn为模n的同余类集合。其上 的模运算有以下性质：,1.2 模运算,塘淹坦郧育童肠泰傍壶炮蹭勉氧棒鬃戚盏弱膝企月飘折滦帕好萤含注立傀高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3
8、 课件密码学,11, 交换律 (w+x) mod n=(x+w) mod n (wx) mod n=(xw) mod n, 结合律 (w+x)+y mod n=w+(x+y) mod n (wx)y mod n=w(xy) mod n, 分配律 w(x+y) mod n=wx+wy mod n, 单位元 (0+w) mod n=w mod n (1w) mod n=w mod n, 加法逆元 对wZn，存在zZn，使得w+z0 mod n，记z=-w。,1.2 模运算,篆人迪卢荡具啼独未裂据静物窒予日闽救畔命逼弗岸空洲憾求闪先私劈古高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,12,定理1-1设aZn，gcd(a, n)=1，则a在Zn中有乘法逆元。,例如：模8的乘法运算，1，3，5，7有逆元。,1.2 模运算,试求模9乘法运算中哪些元素有逆元，逆元是什么？,琼缝界瞎趟名两芬疗欧门仲海涩胁力额虏弊赋摇默苦晕贡耶笼映炎趴脆乱高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件密码学,
