1、第二章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 序列傅里叶变换的定义,1、充分条件,2、定义（DTFT）,例 x1(n)=0.5(n+1)+(n)+ 0.5(n1),3、反变换式,两端同乘ejm并在-(02)内积分,2.2 重要性质,1、周期性,在=0和=2M为直流分量，其附近是低频区，=(2M+1)附近为高频区。,RN(n),X(ej)是连续周期函数，周期为2，一般只分析02之间的频谱。,2、线性性质ax1(n)+bx2(n)aX1(ej)+bX2(ej),3、时移x(nn0)ejn0X(ej),4、频移ej0n x (n)Xej(0),(n)1,(n+1)ej,5、对称性,定义 共轭对称序列
2、: xe(n)= xe*(n) 共轭反对称序列: xo(n)= xo*(n),将共轭对称序列写为实部、虚部之和形式：xe(n)= xer(n)+jxei(n),则有xe*(n)= xer(n) jxei(n),由定义，有xer(n)= xer(n)（偶函数），xei(n)= xei(n) （奇函数）,类似， Xor(n)= xor(n)（奇函数），xoi(n)= xoi(n) （偶函数）,一般序列可表示为共轭对称与共轭反对称序列之和,x(n)= xe(n)+ xo(n),则x*(n)= xe*(n)+ xo*( n)=xe(n) xo(n),所以 xe(n)=1/2x(n)+ x*(n) ，x
3、0(n)=1/2x(n) x*(n),对于频域函数X(ej) 也有类似的结论：,Xe(ej)= Xe* (ej) 频域共轭对称函数 Xo(ej)= Xo* (ej) 频域共轭反对称函数 Xe(ej)=1/2X(ej)+ X*(ej) Xo(ej)=1/2X(ej) X*(ej),FT的对称性：,设x(n)= xr(n) + jxi(n) X(ej)= Xe(ej)+ Xo(ej),实序列FT的对称性：,若x(n)为实序列， （1）其FT必满足共轭对称性； （2）实部是的偶函数，虚部是的奇函数；振幅是的偶函数，幅角是的奇函数。（与连续信号FT一致）,6、时域卷积定理,x(n)*h(n) X(ej
4、)H(ej),7、频域卷积定理,x(n)h(n) 1/2X(ej)*H(ej) 频域周期卷积,8、Parseval定理,9、共轭 x*(n) X*(ej),10、反转 x(n) X(ej),11、频域微分 nx(n) jdX(ej) /d,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换,一、周期序列的DFS,设 是以N为周期的周期序列。,1、傅里叶级数展开,2、系数公式推导,对上式在一个周期内求和,一个周期内求和为零,由于,所以，ak是周期序列，它满足ak=ak+LN,令,，,二、周期序列的傅立叶变换,因为离散信号的FT X(ej)为周期函数，,（假设成立）,对一般周期序列 ，（0=2/N）,式中k=0,1,2,，N-1，如果让k在-之间变化，上式可简化为,基本序列的傅立叶变换举例:,例1: x1(n)=1,解:,1=ej0n|0=0,例2: x2(n)=cos0n,解:,cos0n=0.5ej0n+e-j0n,FTcos0n=,2.4 离散信号的傅里叶变换 与模拟信号傅里叶变换之间的关系,采样信号,可推出:数字频率与模拟频率关系: = T,Xa(j)以周期s=2/T进行周期拓展.,2.5 序列的z变换,1、定义,2、FT与ZT的关系,单位园上的z变换就是序列的傅里叶变换。要求:是X(z)的收敛域包含单位园。,3、离散系统的频率特性,z变换在信号与系统课程中详细讲过，不再重复。,
