1、1 向量代数1.1 向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间 中，建立直角坐标系 ，沿坐标 方向的单位向量为 ，即其标架为 。设从坐标原点 至点 的向量为 ，它在所述坐标系中的坐标为 ，那么 可写成(1.1)设在 中有另一个坐标系 ，其标架为 ，它与 之间的关系为（1.2）由于单位向量 之间互相正交， 之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有 ，其中上标 表示转置。从(1.2)可反解出（1.4）向量 在新坐标系 中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标变换系数 的一次齐次式。这
2、个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数 由（ 1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。1.2 Einstein 约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓 Einstein 约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标” 。本书以后如无相反的说明
3、，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入 Kronecker 记号 ，(1.14)例如 。应用 ，单位向量之间的内积可写成(1.15)向量 和向量 之间的内积可写成(1.16)上式中最后一个等号是因为只有 时， 才不等于零，在这里 的作用似乎是将 换成了 ，因而也称 为“换标记号” 。再引入 Levi-Civita 记号 ，(1.17)其中 分别取1，2，3中的某一个值。例如 ， ，。利用 ，向量之间的外积可写为(1.18)(
4、1.19)1.3 与 之间的关系Kronecker 记号 与 Levi-Civita 记号 之间有如下关系(1.20)证明1 穷举法，先列出 所有可能的81种取值情况，情形1231 1 1 1 1 1 1 21 1 1 3 然后逐个情形证明,例如，情形1， ，故此情形(1.20)成立，。证明2 我们有双重外积公式(1.21)将 代入(1.21)左右两边，得到将上述两式代入(1.21)两边，移项，得(1.22)由于 的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。证明3 利用 Lagrange 公式(1.23)按证明2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。证明4 从(1.18)和向量
5、混合乘积的行列式表示，有(1.24)其中 分别为向量 在 中的坐标。按行列式的乘积法则，有(1.25)其中第二个等式应用了 等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得(1.26)注意到 ，以及换标记号 和 的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。2 张量代数2.1 张量的定义设(2.1)其中 称为并矢基,它们共有9个,(2.2)在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为(2.3)于是(2.4)从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组 ，在坐标变换下，关于变换系数 为二次齐次式，则称 为张量，也记作 。 为其指标记号，为其整体记号。张量 在并矢基 下的9个分量，有一个矩阵 与之对应
6、，记作(2.5)同一个张量 在另一组并矢基 下所对应的矩阵为 ，(2.6)按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换，(2.7)其中 为坐标变换矩阵（1.3） 。附注：上述张量的定义可以推广：一个 阶有序数组 ,在坐标变换(1.10)下,若服从 的 次齐次式，(2.8)则称之为 阶张量。按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(.1）所述的张量为二阶张量，也可证明 Levi-Civita 记号 为三阶张量。(2.8)式中的下标 和 取值范围也可不必限于从到，也可从到 ，那么(2.8)式所定义的张量称为 维空间中的 阶张量。本书所述张量，以后如不作说明均
7、为三维二阶张量。2.2 张量的运算张量 与张量 的和与差记为 ，(2.9)张量 的转置记为 ，(2.10)不难验证， 和 也是张量。例如，(2.11)一个张量 称为对称张量，如果(2.12)与对称张量 所对应的矩阵 为对称矩阵。一个张量 称为反对称张量，如果(2.13)与反对称张量 所对应的矩阵 为反对称矩阵，我们将反对称矩阵 记成(2.14)从(2.14)可以得出，(2.15)(2.16)不难验证，由(2.16)所定义的 为向量，它称为相应于反对称张量 的轴向量。由于所以(2.17)为一张量，称之为单位张量。张量 的迹定义为(2.18)2.3 张量与向量之间的运算张量 与向量 有左右两种内积
8、，(2.19)(2.20)从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式(2.21)如果 为反对称张量，由(2.19) (2.15),得(2.22)张量 与向量 有左右两种外积，(2.23)(2.24)张量 与两个向量 和 之间有四种运算，2.4 张量与张量之间的运算两个张量 与 之间的内积和外积如下两个张量 与 之间有四种双重运算对于双重运算，先将外层的两个基 和 按下面的符号进行运算，再将内层的两个基 和 按上面的符号进行运算。从双重运算可得两个有用的公式，(2.25)(2.26)此外，尚有关系式(2.27)(2.28)利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理定理2.1 对称 证明 从(2.25)立即得到所需的结论。定理2.2 证明 首先，如果 ，那么 ，从(2.26)得到 。其次，如果，(2.26)给出(2.29)对(2.29)取迹，得(2.30)将(2.30)代回(2.29)，即得 。证毕。
