1、6.1 数列的概念及简单表示法1 数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项2 数列的分类分类原则 类型 满足条件有穷数列 项数有限按项数分类无穷数列 项数无限递增数列 an1 _an递减数列 an1 _1 时，a n SnS n1 an an1 .n 23 n 13 .anan 1 n 1n 1 ， ，anan 1 n 1n 1 a4a3 53 ， 3.a3a2 42a2a1以上 n1 个式子的等号两端分别相乘，得到 ，ana1 nn 12又a 11，a n .nn 12思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通 项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现 ana
2、 n1 m 时，构造等差数列；当出现 anxa n1 y 时，构造等比数列；当出现ana n1 f(n)时，用累加法求解；当出现 f (n)时，用累乘法求解anan 1(1)已知数列a n满足 a11，a n an1 (n2)，则 an_.n 1n(2)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2a n1( nN )，则 a5 等于 ( )A16 B16 C31 D32答案 (1) (2)B1n解析 (1)a n an1 (n 2)，n 1na n1 an2 ，a2 a1.n 2n 1 12以上(n1) 个式子相乘得ana 1 .1223 n 1n a1n 1n(2)当 n1 时，S 12
3、a 11，a 11.当 n2 时，S n1 2a n1 1，a n2a n2a n1 ，a n2a n1 .a n是等比数列且 a11，q 2，故 a5a 1q42 416.数列问题中的函数思想典例：(12 分) 已知数列 an(1)若 ann 25n4，数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n有最小值？并求出最小值(2)若 ann 2kn4 且对于 nN ，都有 an1 an.求实数 k 的取值范围思维启迪 (1)求使 anan知该数列是一个 递增数列，又因为通项公式 ann 2kn4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n N ，所以 3. 12 分k232温馨提醒 (1)本题给出的
4、数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N 上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为 k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数方法与技巧1 求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1) n或( 1) n1 来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几 项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2 强调 an与 Sn的关系：a n Error!.3 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高
5、，但 试题难 度较难把握一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再 归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式失误与防范1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列 时，一定要注意自 变量的取值，如数列 anf(n) 和函数 yf(x )的单调性是不同的2 数列的通项公式不一定唯一A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 数列 0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式是 an等于 ( )A. Bcos 1n 12 n2Ccos Dcos n 12 n 22答案 D解析 令 n1,2,3，逐一验证 四个选项，易得 D 正确2数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1
6、1，a n1 3S n(n1)，则 a6 等于 ( )A34 4 B34 41C4 5 D4 51答案 A解析 当 n1 时，a n1 3S n，则 an2 3S n1 ，a n2 a n1 3S n1 3S n3a n1 ，即 an2 4a n1 ，该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列又 a23S 13a 13，a nError!当 n6 时，a 634 62 344.3 若数列a n的通项公式是 an(1) n(3n2)，则 a1a 2a 10 等于 ( )A15 B12 C12 D15答案 A解析 由题意知，a 1a 2 a 1014710(1) 10(3102)(14) (71
7、0)(1) 9(392)( 1) 10(3102)3515.4已知数列a n的通项公式为 an( )n1 ( )n1 ，则数列a n ( )49 23A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项答案 C解析 数列a n的通项公式为 an( )n1 ( )n1 ，49 23令 t( )n1 ，t (0,1，t 是减函数，23则 ant 2t(t )2 ，12 14由复合函数单调性知 an先递增后递减故有最大项和最小项，选 C.5若 Sn为数列a n的前 n 项和，且 Sn ，则 等于 ( )nn 1 1a5A. B. C. D3056 65 130
8、答案 D解析 当 n2 时，a nS nS n1 ，nn 1 n 1n 1nn 1所以 5630.1a5二、填空题6已知数列 ，则 0.98 是它的第_项n2n2 1答案 7解析 0.98 ，n 7.n2n2 1 49507 数列a n中，a 11，对于所有的 n2，n N ，都有 a1a2a3ann 2，则a3a 5_.答案 6116解析 由题意知：a 1a2a3an1 (n1) 2，a n( )2(n2)，nn 1a 3a 5( )2( )2 .32 54 61168已知a n是递增数列，且对于任意的 nN ，a nn 2n 恒成立，则实数 的取值范围是_答案 (3，)解析 方法一 (定义
9、法)因为a n是递增数列，所以对 任意的 nN ，都有 an1 an，即(n1) 2(n1)n 2n ，整理，得2n10，即 (2n1) (*)因为 n1，所以(2n1) 3，要使不等式(*)恒成立，只需 3.方法二 (函数法)设 f(n)a nn 2n，其图像的对称轴为直线 n ，2要使数列a n为递增数列，只需使定 义在正整数上的函数 f(n)为增函数，故只需满足 f(1)3.三、解答题9数列a n的通项公式是 ann 27n6.(1)这个数列的第 4 项是多少？(2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当 n4 时，
10、a44 24766.(2)令 an150，即 n27n6150，解得 n16 或 n9(舍去)，即 150 是这个数列的第 16 项(3)令 ann 27n60 ，解得 n6 或 n0，即 an1 an；当 n8 时，a n1 a n0，即 an1 a n；当 n8 时，a n 1a na10a11，故数列a n有最大项，为第 8 项和第 9 项，且 a8a 9 .989108 99108B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)1跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( )A8 种 B13 种 C
11、21 种 D34 种答案 C解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an，则到达第 n 个格子的方法有两 类：向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数 为 an1 ；向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数 为 an2 ，则 an an1 a n2 ，由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C.2数列a n满足 ana n1 (nN )，a 22，S n是数列 an的前 n 项和，则 S21 为( )12A5 B. C. D.72 92 132答案 B解析 a na n1 (nN )，12a 1 a 2 2
12、，a 22，a 3 2，a 42， ，12 12 12故 a2n2，a 2n1 2.12S 2110 a 15 2 .12 12 723 若数列n(n4)( )n中的最大项是第 k 项，则 k_.23答案 4解析 由题意得Error!，所以Error!，由 kN 可得 k4.4 已知数列a n满足前 n 项和 Snn 21，数列b n满足 bn ，且前 n 项和为 Tn，设2an 1cnT 2n1 T n.(1)求数列b n的通项公式；(2)判断数列c n的增减性解 (1)a 12，a nS nS n1 2n1(n2) b nError!.(2)c nb n1 b n2 b 2n1 ，1n 1 1n 2 12n 1c n1 c n 12n 2 12n 3 1n 1 a 1.综上，所求的 a 的取值范围是 9，)
