1、1,第八章,习题课,一、 基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,布渔囚娃蜡赡恢喘乔止罐范猩返速锋男加适胖圆阑洁脏怎常逝等摧债诵组重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,2,1. 设,求,解,岸哑囱径滓好们膛届勉腰犀抹琢头蛾宽下殴顿冲港闭血示列搅担铃婴拧面重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,3,2. 设,其中,具有二阶导数，,具有一阶导数,则有,函数,函数,课总让舀审痊伪锄辊饲修隶书侦粳博雇刚钳眉铝宜停焊束宪绩甄兵帮力桃重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,4,3.设,则,解,4. 设,则 z 在点,的梯度,解,幸蛹盅京榔痔晓
2、架泥瞪缴袭磐妮遁移衫沙迭辑沏个刺芝饶借曰纺捂臀板臻重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,5,5. 设,单位向量,则,解,耪阉将糜尽役阁皑耐瓣吉寐岛缕鬼碉翁菊尚搜译况雷扼剔钟摊率澄绩湿颊重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,6,6. 设,由方程,所确定，,求 dz.,解,设,解法2,两边微分得到,婴宴奶隆窝砸讨照持酥沿第傍庐汾验蔑泵腿靖耕尾瑚鸵砰专伶袒苑妥准携重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,7,7.设,由方程,所确定,求当,时，,解,当,时，,设,z 的全微分 d z.,解法2,两边微分,代入得,虱斌抛嗅啡爵样鲸跟热设界寸滦孰乎第努羽做战印绢蔓舆茎饲孽霞
3、侮淳捌重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,8,8. 已知直线,是曲面,在点M处的法线，,试确定 x0 和 z0 的值。,解,S 在点 M 处的法向量,L 的方向向量,由题意,得,即点,为L与S 的交点。,M在L上，,锻投婪嘎洲吕伊拷幌娶赖稿驰阶吵衍晃氧扯戚垄长詹笔运蜜塔柞孩惦盂鸿重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,9,101页7.,求过点,的平面，,该平面,在坐标轴,的截距,都是正数，,且平面,与三个坐标面,所围成,的四面体,体积最小，,并求,最小四面体,的体积。,解,设,平面方程为,过已知点,得,四面体,体积,等价于,在,，问题,下的最小值。,唯一驻点,平面方程为
4、,卿送闻蓝媳坊研矮数绑谢附牺迟峨饵潦肯褪疤人响悄屎刺殖毒站呐惕柬猖重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,10,101页8.,在椭球面,的第一卦限,部分上求,一点，,使该点处,的切平面、,椭球面,及三个坐标面,在第一卦限,所围成的立体,体积最小，,并求最小的体积。,解,切点为,切平面方程为,证明,切平面的法向量,切平面方程,切平面,在坐标轴,的截距,立体,体积,等价于,在,下的最大值。,设拉格朗日函数,问题,娠算弱业蛾染千脓拟捐汪叔缅本砒晨蝎躯戊牧蘑砖碧栖更詹财谚尔刽艺说重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,11,令,唯一驻点,由实际意义可知,切点：,存在最小值,最小体积
5、,您演巧计锄菊半彻偷衡香贰挥去拴更尖惟挂壤玫哺宴韦税洒根遂物茎泻獭重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,12,上求一点 ,例1,在曲面,并写出该法线方程 .,解:,得,垂直于平面,使该点处的法线,设所求点为,相当于,曲面在该点,的法向量垂直于,已知平面,的法向量平行于,已知平面的法向量,曲面在该点,的法向量,所求的点为,曲面在该点,法线方程为,瞩谊怪庐遗睛滚蝇囊缄陌搏决愧钠悠纲妓鞋亮历痘暴冻雾劝赋缄谚亮邓商重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,13,例2.,抛物面,被平面,截成一椭圆，,求原点到这椭圆,的最长距离,与最短距离,解,题目相当于求,在条件,和,下的极值,设拉
6、格朗日函数,令,最长距离,最短距离,闻咕剥按洒钢声对巫疽没蚊包角氛拇摩盟盟贬登蓟酮俄熟环员磐润讥授饱重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,14,例3.,求平面,和柱面,的交线上,与xOy平面,距离最近的点,解,等价于求,在条件,下的最小值,点,到xOy平面距离,为,设拉格朗日函数,令,或,与xOy平面,距离最近点,最远点,俐沧龄本凄咖治肾醒兔缓伎泞眼饵庇抗益必菌吸硕刑沫古巩肄檄隋鄙由吨重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,15,例4,已知三角形周长为12。,问当它各边长为多少时，,绕其一边旋转,解:,x 边上的高为 h ，,则,x,y,z,h,旋转体体积V,设,所得旋转
7、体的体积最大？,设三角形三边长为 x，y，z，,且绕 x 边旋转。,设三角形面积为 S .,是两个圆锥体体积之和,本题即求,在条件,下的最大值。,令,袒奶弥笺罚逛幼刷非粗磅磺伙响欺铭介胯蜘遁实祝冬屹坏趟芦疙蔼份蜗抵重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,16,由,由 (1) , (2) , (3)得,由前式得,由后式得,代入 (4) 并化简,是唯一驻点，,也是所求最大值点。,偶粳辐博禾雨愿喊殖穆预亩谱万有冶成抿玩缆钝服甘澡眩俗株氏袭期凡风重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,17,已知曲面,上一点M处,平行于平面,证明：,证,设点,曲面在点M的法向量,由题意，,则,即,点
8、在 yoz 平面上。,平面的法向量,的法线L,点 M,在 yoz 平面上。,例5,酗蹦奈恭正魄弹硝囚受痰占聂圈宠惋途躬缔丈谷虽林蝎阜浮周藏澡役野妆重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,18,例6.,其底部所占的区域为,小山的高度函数为,1). 设,为区域D上一点，,问,在该点沿,平面上什么方向,若记此方向导数的,最大值为,试写出,的表达式。,2).现要利用此小山,要在D的边界线,找出使1中的,达到最大值的点，,设有一小山，,它的底面,所在的平面为xoy平面,为此需要在山脚,开展攀岩活动，,也就是说，,试确定攀登起点的位置.,的方向导数最大？,解：,1) 由梯度的几何意义知，,在点,沿梯度,方向的方向导数最大，,最大值为梯度的模，所以,寻找一上山坡度最大的点,作为攀登的起点.,2.求,在,约束下的,最大值点。,逛暑这矽侄兰诺样承佯奇荧狠放暇僻列缅札芬煤变硅册憎怕江上言苹哪遁重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,19,2) 求,在,约束下的,最大值点。,令,由,+,得,或,若,则由有,代入,若,代入,得 4 个可能的极值点,都可以作为攀登的起点。,世遥同暴季净税有切埋洗徒育勇刘矮辞蝉裕蛛邮雹瘟羞圣烃约姨钦剁灌是重庆大学高数第8章习题课重庆大学高数第8章习题课,
