1、第1页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件存在性问题专题（含答案）1.已知函数 （1）试讨论函数 的单调区间；（2）若 th，对于 th，不等式 h都成立，求实数的取值范围2.已知函数 h h（1）当 时，求曲线 在点ht h处的切线方程；（2）在区间th内至少存在一个实数，使得 成立，求实数的取值范围3.已知等差数列满足： t， 数列的前项和为 h h （1）求数列和的通项公式；（2）令 h，试问：是否存在正整数，使不等式 h h成立?若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由4.已知函数 ln hh hh， （1）若 在 h处的切线与直线hh 垂直，求的值；（2）若 存在
2、单调递减区间，求的取值范围5.已知函数 h h t （1）若 h，且不等式 在t上有解，试求的最小值；（2）若，h是方程 的两实根，且满足 h h ，试求h 的范围第2页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件6.已知函数 h 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在t 上是减函数，在t h上是增函数（1）已知 hhhh t t，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数 和函数 h，若对任意 t，总存在h t，使得 h 成立，求实数的值7.已知函数 hh，其中 （1）求 的单调区间；（2）设 ，若 t，使 ，求得取值范围8.设 是上的奇函数，且对任意的实数，当
3、h 时，都有 h h （1）若 ，试比较 ， 的大小；（2）若存在实数 hth使得不等式 h h 成立，试求实数的取值范围9.已知函数 h （1）若 ，解不等式 ；（2）如果 ，使得 h成立，求实数的取值范围10.已知函数 t 的值域为t（1）求实数的值；（2）若存在 ，使得 hh，求实数的取值范围第3页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件11.设二次函数 h hh tt t 满足条件：（a）当 时， h，且 ；（b）当 th时， hh h；（c） 在上的最小值为求最大的 ，使得存在 ，只要 t，就有 h 12.已知函数 hh （1）若 的解集为 或 h，求不等式h h hh
4、 的解集；（2）若存在 ，使得 成立，求的取值范围13.已知函数 h h， （1）解不等式 ；（2）若不等式h h 在 上有解，求实数的取值范围14.设 h h （1）试判断函数 零点的个数；（2）若满足 h，求的值；（3）若 时，存在 th使得 成立，求的取值范围第4页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件15.已知正项数列的前项的和为，且 h t t ，数列满足 hlog（1）分别求和的表达式；（2）设数列的前项和，当 h时，求证： ；（3）是否存在正整数，使得 时， 恒成立?若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由16.设，h为函数 h h h 两个不同零点，且满足h
5、 h（1）若对任意 都有 h hh，求 ；（2）设 hh h ，试证明必存在 使得 成立17.设函数 e， h h（1）若 与 具有完全相同的单调区间，求的值；（2）若当 时恒有 ，求的取值范围18.已知公差不为的等差数列的首项 ，前项和为，且，h，成等比数列（1）求数列的通项公式及；（2）记 h h hh ， h h h h h，当 h时，比较与的大小；（3）是否存在实数，使得对任意的正整数，都有h hh hh成立若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由第5页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件19.已知函数 h hh， （1）当 时，解不等式 ；（2）若存在实数满足 h
6、h，求的取值范围20.已知关于的不等式 h log（其中 ）（1）当 时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围21.设函数 （1）若 h的解集为th，求实数的值；（2）当 h时，若存在 ，使得不等式 hh 成立，求实数的取值范围22.设函数 h hln （1）若 ，求函数 的单调区间；（2）若函数 在区间t上是减函数，求实数的取值范围；（3）过坐标原点作曲线 的切线，证明：切点的横坐标为第6页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件23.已知函数 h hh（1）设 ，若 在 t上单调递增，求实数的取值范围（2）求证：存在 t，使 24.已知命题知关于的方程hh h
7、h 在t上有解；命题知只有一个实数满足不等式h hhhh 若“或”是假命题，求实数的取值范围25.已知二次函数 hh hh 为偶函数， h， h h h关于的方程 有且仅有一根h（1）求，的值；（2）若对任意的 t， 恒成立，求实数的取值范围；（3）令 h ，若存在t h t使得 h ，求实数的取值范围26.设函数 hln，其中e是自然对数的底数（1）当 h时，求函数 的极值（2）若 在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围（3）设 he，若在te上至少存在一点，使得 成立，求实数的取值范围第7页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件27.已知函数 e h hh（1）当 时，求
8、函数 的单调区间；（2）若关于的不等式 e在th上有解，求实数的取值范围；（3）若曲线 存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围；（只需直接写出结果）28.已知函数 h h h （1）若 在区间t上不单调，求的取值范围；（2）若对于任意的 t，存在 th，使得 ，求的取值范围29.已知函数 hh h h ，tt （1）求函数 的导函数 ；（2）当 时，若函数 是上的增函数，求 h的最小值；（3）当 ， h时，函数 在hth上存在单调递增区间，求的取值范围30.已知 h hh，tt ，定义域为t（1）当 ， 时，求证：h ；（2）当 h 时，是否存在 t，使得 ?第8页（共80页）高中数学解题研
9、究会339444963群文件31.已知函数 lnh h h（为实常数）（1）若 h， ，求 的单调区间；（2）若 ， heh求函数 在te上的最小值及相应的值；（3）设 ，若存在 te，使得 hh 成立，求实数的取值范围32.已知函数 ln（1）记函数 h hth，求函数F 的最大值；（2）记函数 het t t t若对任意实数，总存在实数，使得 成立，求实数的取值集合33.已知过原点的动直线与圆知 h h hh 交于，两点（1）若 ，求直线的方程（2）在轴上是否存在定点 t，使得当变动时，总有直线，的斜率之和为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由34.己知函数 h e（t ，e是自然对数的
10、底）（1）若函数 在点t 处的切线方程为h e ，试确定函数 单调区间；（2）当 ， 时，若对于任意 hth，都有 恒成立，求实数的最小值；当 时，设函数 h he ，是否存在实数tt t，使得 h ?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由第9页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件35.设 lnh， ee，其中t （1）求 的极大值；（2）设 ， ，若 h h 对任意的th t h恒成立，求的最大值；（3）设 h，若对任意给定的 te，在区间te上总存在t ，使 成立，求的取值范围36.已知函数 ln hh，其中 （1）求 的单调区间；（2）若对任意的 te，总存在h t
11、e，使得 h h ，求实数的值37.已知函数 h e（1）当 eh时，求 在区间t上的最小值；（2）求证：存在实数 t，有 38.已知函数 hh hh hhln （1）若曲线 在 和 处的切线互相平行，求的值；（2）求 的单调区间；（3）设 h h，若对任意 th，均存在h th，使得 h，求的取值范围第10页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件39.已知函数 hln （1）若 h，求曲线 在点t 处的切线方程；（2）求函数 的单调区间；（3）设函数 若至少存在一个 te，使得 成立，求实数的取值范围40.已知函数 h hh e， h ln，其中 ，e htht为自然对数的底
12、数（1）若函数 的图象在点 ht h处的切线过坐标原点，求实数的值；（2）若 在t上为单调递增函数，求实数的取值范围；（3）当 时，对于满足 h的两个实数th，若存在 ，使得 hh成立，试比较与的大小41.已知函数 lnh h （1）求 的单调区间；（2）若在te e htht上存在一点，使得 成立，求的取值范围42.已知函数 e lnh（1）若 ，证明：存在唯一实数 ht，使得 ；（2）求证：存在 ，使得 第11页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件43.已知椭圆知hh h hh （ ）的离心率为hh，点 t和点 t（ ）都在椭圆上，直线交轴于点（1）求椭圆的方程，并求点的
13、坐标（用，表示）（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得 ?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由44.已知函数 e h h ，e为自然对数的底数（1）当时，求函数 的单调区间；（2）若存在实数，满足 ，求实数的取值范围；若有且只有唯一整数，满足 ，求实数的取值范围45.已知函数 log h ，若函数 的图象与函数 的图象关于原点对称（1）写出函数 的解析式；（2）求不等式h h 的解集；（3）问是否存在 th，使不等式 hh log的解集恰好是 ?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由第12页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件46.已知函
14、数 he（e为自然对数的底数）（1）求函数 的最大值；（2）设函数 h h e，存在实数，h t，使得h h成立，求实数的取值范围.47.设函数 ln hh h （1）当 时，求 的极值；（2）设、是曲线 上的两个不同点，且曲线在、两点处的切线均与轴平行，直线的斜率为，是否存在，使得 ?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由48.已知函数 h h h h， （1）当 时，求函数 的单调减区间；（2）证明：对于任意正数，存在正数，使得当 t时，有 ；（3）设（2）中的的最大值为 ，求 的最大值第13页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件49.设函数 ln h （1）当 时，过
15、原点的直线与函数 的图象相切于点，求点的坐标；（2）当 h时，求函数 的单调区间；（3）当 时，设函数 h h h，若对于 te，h t使 h成立，求实数的取值范围（e是自然对数的底数，e h）50.已知函数 hh ln h， hln h，其中 （1）当 h时，求曲线 在点t 处的切线方程；（2）当 时，求 的单调区间；（3）若存在 eteh，使不等式 成立，求的取值范围51.函数 sin h t t h在 t内只取到一个最大值和一个最小值，且当 时，max ；当 时，min （1）求出此函数的解析式；（2）求该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数，满足不等式sin h hhh h sin
16、h h h ?若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由52.已知函数 h h h ， h，其中 （1）若 在区间t上有零点，求实数的取值范围；（2）设函数 t t t t是否存在实数，对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数h h，使得 h若存在，求出的值，若不存在，请说明理由第14页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件53.已知函数 ln h h h hh （为常数， ）（1）当 在 h处取得极值时，若关于的方程 在th上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若对任意的 th，总存在 ht，使不等式 h hh成立，求实数的取值范围54.已知函数 e，点 t
17、为一定点，直线 分别与函数 的图象和轴交于点，记的面积为 （1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 h时，若 th，使得 e，求实数的取值范围55.已知函数 ln， h （1）若 ，求函数 的极值；（2）设函数 ，求函数 的单调区间；（3）若存在 te，使得 成立，求的取值范围56.已知函数 lnh （1）当 h时，讨论 的单调性；（2）设 h hh当 时，若对任意 th，存在h th，使 h，求实数取值范围第15页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件57.已知二次函数 h hh 的图象过点t .（1）记函数 在th上的最大值为，若 ，求的最大值；（2）若对任意的 th，存
18、在h th，使得 h h h，求的取值范围.58.设为正实数，函数 ， ln（1）求函数 的极值；（2）证明： ，使得当 时， 恒成立59.设函数 hln， he（是实数，e为自然对数的底数）（1）若 在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）若在te上至少存在一点，使得 成立，求的取值范围60.设二次函数 h hh tt 满足下列条件：当 时，其最小值为，且 成立；当 t时， h h恒成立（1）求 的值；（2）求 的解析式；（3）求最大的实数 ，使得存在 ，只要当 t时，就有 h 成立第16页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件61.已知函数 e， t为一定点，直线 （
19、）分别与 的图象和轴交于点，记的面积为 （1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 h时，若 th，使得 e，求的取值范围62.已知函数 h hh hhh e （1）当 时，讨论函数 的单调性；（2）设 hlnh，当 时，若对任意 th，存在h th，使 h，求实数的取值范围63.已知函数 hh h h ln， h hh t（1）当 时，求曲线 在点t 处的切线方程；（2）当 时，求函数 的单调区间；（3）当 时，函数 在th上的最大值为，若存在 th，使得 成立，求实数的取值范围第17页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件64.已知函数 e （1）当 时，试判断函数 在th
20、上的单调性；（2）若函数 在 处取得极小值，求实数的取值集合；h问是否存在整数，使得 hh h对于任意 恒成立若存在，求出整数的值；若不存在，请说明理由65.设函数 lnh h h ，曲线 在点t 处的切线斜率为（1）求；（2）若存在 ，使得 ，求的取值范围66.设函数 e， （1）判断函数 在th上的单调性；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式 成立第18页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件67.已知 且 ，函数 log h（1）求 的定义域及其零点；（2）讨论并证明函数 在定义域上的单调性；（3）设 h hh ，当 时，若对任意 t 存在h t，使得 h，求实数的
21、取值范围68.已知函数 log h h h（1）判断并证明 的奇偶性；（2）若两个函数 与 在闭区间t上恒满足 h，则称函数 与 在闭区间t上是分离的是否存在实数使得 的反函数 与 在闭区间th上分离?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由69.已知函数 h hh 在区间t上有最大值和最小值设 （1）求，的值；（2）证明：函数 在t h上是增函数；（3）若不等式 h h 在 t上有解，求实数的取值范围70.已知函数 h h h hht hh hh，其中 （1）设函数 h 若 在区间t上不单调，求的取值范围；（2）设函数 t t ，是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数h
22、h ，使得 h 成立?若存在，求的值；若不存在，请说明理由第19页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件71.已知函数 h h（1）若 ，求的值；（2）设 ，若对于定义域内的任意，总存在h使得 h ，求的取值范围72.设函数 h h ln（为常数）（1）当 时，求函数 的极值；（2）当 h h时，试判断 的单调性；（3）若存在 th，使不等式 ln对任意 th恒成立，求实数的取值范围73.已知集合 h h，函数 logh h hhh的定义域为（1）若 t，求实数的取值范围；（2）若方程logh h hhh h在hth内有解，求实数的取值的取值范围74.已知函数 ee，其导函数记
23、为 （e为自然对数的底数）（1）求函数 的极大值；（2）解方程 ；（3）若存在实数th h使得 h，求证： hhh 第20页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件75.已知函数 ln hh（1）求函数 的单调递增区间；（2）证明：当 时， ；（3）确定实数的所有可能取值，使得存在 ，当 t，恒有 76.已知函数 hln t （1）若 ，求函数 的极值和单调区间；（2）若在区间te上至少存在一点，使得 成立，求实数的取值范围77.已知函数 h ln （1）求函数 的单调区间；（2）试判断是否存在实数 ，使 的图象与直线 h ln h无公共点（其中自然对数的底数e为无理数且e ht
24、ht）78.设 hln， h （1）当 h时，求曲线 在 处的切线方程；（2）如果存在，h th使得 h 成立，求满足上述条件的最大整数；（3）如果对任意的t hth都有 成立，求实数的取值范围第21页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件79.设函数 hln， h（1）求函数 的最小值；（2）若存在 th，使 成立，求实数的取值范围；（3）若使关于的方程 在e te（其中e h为自然对数的底数）上有解的的最小值为，数列的前项和为，求证： 80.已知函数 hh hh hhln .（1）若曲线 在 和 处的切线互相平行，求的值；（2）求 的单调区间；（3）设 h h，若对任意 t
25、h，均存在h th，使得 h，求的取值范围81.已知函数 e h h eh （e是自然对数的底数，为常数）（1）若函数 h 在区间th上单调递减，求的取值范围（2）当 eht时，函数 e h h eh 在t上是否有零点?并说明理由第22页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件82.设 是函数 h hh e 的一个极值点（1）求与的关系式（用表示），并求 的单调区间；（2）设 ， h h h e若存在，h t使得 h 成立，求的取值范围83.已知函数 ln （1）讨论 的单调性；（2）当 h时，若存在区间t ht h，使 在t上的值域是ht h，求的取值范围84.已知定义在上的偶
26、函数 ，当 th时， e（1）当 t时，求过原点与函数 图象相切的直线的方程；（2）求最大的整数 ，使得存在 ，只要 t，就有 h e85.设函数 h hln， h （1）讨论函数 的单调性；（2）若存在th t，使得 h 成立，求满足条件的最大整数；（3）若对任意的t th，都有 成立，求实数的取值范围第23页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件86.数列各项均为正数， h，且对任意的 ，有h hh （1）求h h hh h 的值；（2）若 h，是否存在 ，使得 ，若存在，试求出的最小值，若不存在，请说明理由87.已知函数 h hh（ ）， e（e为自然对数的底），当 时，
27、 ，且h h（1）求 ；（2）求函数 可能的最大值和最小值；（3）若 ，当 t， 成立（ 是 的导函数），求最大整数88.已知函数 ln（1）若关于的不等式 恒成立，求实数的最小值；（2）对任意的，h th，已知存在 th，使得 h h，求证： h第24页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件答案第一部分1.（1） h t h ht ，当 时， 的单调增区间为ht h，t，单调减区间为t h .当 时， 的单调增区间为t h .当 时， 的单调增区间为th，t h，单调减区间为ht .（2）方法一：设 h h t thh h t t . th时，因为hh th，所以min hh
28、 h h . t时，因为 ， ，所以min .故只须 th，使得： h h 成立，即 ，所以 .方法二：设 h ， th .只须 max ，对 th都成立则只须 ，对 th都成立再设 ， th，只须 min ，易求得 .2.（1）当 时， h h， h 曲线 在点ht h处的切线斜率 h t，所以曲线 在点ht h处的切线方程为 t h，即t h （2）由已知，得 hh h h，设 h h h，则 h因为 h，所以 ，所以 在th上是减函数所以 min h h，所以 h3.（1）设数列的公差为，由 h，得 h，得 hh由数列的前和为 h h 可知，当 时， h当 h时， hh因为hh h ，所
29、以 时， hh故数列的通项公式为 hh，的通项公式为 hh（2） h hh ， hh假设存在正整数使不等式 h h成立，即要满足 因为，需满足同时大于或同时小于第25页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件则由指数函数性质得 t h 或 th 解得h 综上所述，存在正整数 ，时，使不等式 h h成立4.（1）直线hh 的斜率 h，若曲线 在 h处的切线与直线hh 垂直，则 h h， ln hh hh， h，则 h h hh h，解得 （2）若 存在单调递减区间，即 h 在th上有解，即 h ，则 hh t设 hh，则 h h h ，则 5.（1）由 得 h h在t上有解（易检验
30、 不是已知不等式的解），则 h h，即的最小值为h h（2）设 h h，则由题意得 t h t t即 thh th 利用线性规划可得h 的范围为ht6.（1） hhhh hhh hh t，设 hht t t ，则 h tt t由已知性质得，当 h，即 h时， 单调递减；所以减区间为th；当h ，即h 时， 单调递增；所以增区间为ht；由 t h t ，得 的值域为t（2） h为减函数，故 hth t t由题意， 的值域是 的值域的子集，所以h h 所以 h7.（1）当 时， 第26页（共80页）高中数学解题研究会339444963群文件故 的单调区区间为t，th；无单调增区间当 时， hhh h令 ，得 ，h 和 的情况如下： t t t h h 和 的情况如下
