1、1第 1 章 行列式一、内容解析1.理解 阶行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算n阶行列式 nnnaaD 2121表示一个由特定的运算关系所得到的数，当 时，2121212当 时，nnijijnn AaAaD1121其中数 为第 行第 列的元素， 为 的代数余子式， 为 的余子式，它ijajijiijMij ijMija是由 划去第 行和第 列后余下元素构成的 阶行列式，即n 1nnnjnjn ijijii nijijij aaaaM 111 1111 要注意，元素 的余子式 与代数余子式 之间仅仅相差一个代数符号 ijaij ijAji（12.掌握利用性质计算行列式的方法任何一个行列式就是
2、代表一个数值，因此行列式之间的运算就是数之间的运算计算行列式的方法有：（1）按某一行（列）展开，展开时必须要正确掌握代表余子式的概念和计算（2）根据行列式的性质 1 与性质 5 对行列式作简化，以使许多元素成为“0” ，而且要尽量使“0”出现在同一行（列）中（3）利用性质，把所计算的行列式化为三角行列式，而三角行列式的值等于主对角线元素的乘积（4）是范德蒙行列式则可直接套用结果利用行列式可以表达未知数个数和方程式个数相等的线性方程组的解（在系数行列根据行列2式的性质 1 与性质 5 对行列式作简化，以使许多元素成为“0” ，而且要尽量使“0”出现在同一行（列）中3.知道克莱姆法则如果线性方程组
3、的系数行列式 ，那么它有解0DDx,x, n21二、典型例题例 1 填空题（1） 阶行列式 中元素 的代数余子式 与余子式 之间的关系是 nnDijaijAijM（2）设行列式 ，则 中元素 的代数余子式 = 2103Dija23A（3） 32311332312_66 aaa（4）行列式 1D（5）行列式 _43210解：（1）由代数余子式 与余子式 的概念可知，应该填写： ijAijMijiijMA)1(（2）由代数余子式的定义，应该填写： 13)1(32（3）因为 3323123323121 666aaa3323121832311所以，应该填写：183（4）因为 42011D所以，应该填写
4、：4（5）因为 63021)(432104所以，应该填写：-6 例 2 单项选择题（1）行列式 的元素 的代数余子式 的值为（ ） 702156821a21AA33 B-33 C56 D-56（2）设 ，则 的余子式（ ） 31231232311, aNaMaD 12A是 M B是 N C 是 M 和 N D不是 M 和 N（3）下列等式成立的是（ ） ，其中 为常数dcb,A Bacbda 11cbaC Dd2dcb（4）行列式 =（ ） 04301A B C D2121224（5）设 ，则 的根是（ ） )(2xf 0)(xfA B C D,21,12,12,1解：（1）因为元素 的代数余
5、子式 ，所以正确答案：D21a56708)(21A4（2）因为 的余子式为划去行列式 D 的第一行、第二列的元素后，组成的二阶行列式，即12a，所以正确答案：A 31a（3）由行列式性质，得 ，故正确答案：B11cbdacb（4）因为 =04302032)4(1)(12)( 所以正确答案：D （5）由)1(4122122xx 0)1()2(xx得 根为 故正确答案：C0)(f,例 3已知行列式 ，写出其代数余子式 ，并求 的值72951644343A43解：首先写出余子式 M43，即去掉原行列式中第四行，第三列的所有元素，将剩下的元素按原来的顺序排列成的三阶行列式；然后利用公式 ，写出 并计算
6、出它的值4343)1(M43由 ， ， 26473543A43)(得 )1(3443A且 43 54)27(127012755例 4计算行列式 12解：可以直接计算其值，但运用性质可能更简便更不易出错此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，提取公因式，在降阶求值即12121221)4(210210 例 5计算行列式 291230163解：首先从行列式中提取公因式，去掉分母；然后选择含零较多的行或列展开，逐步求出其值291230163 921306312534612301546921306 56205605466例 6计算行列式 aa321解：利用性质，将第三行看成 ，分成两个行列式之和计算即a3210=aa321 a32110= = 3210312)(21例 7计算行列式 465xx解：利用行列式性质，将行列式化为二阶再计算即=463531xx 41630)2(426301xxx= 9)(13)(103)2( 2xxx= )(8)(
