1、第二章 谓词逻辑一、原子命题的内部结构12谓词逻辑谓词和个体词量词、全称量词和存在量词个体域量词的辖域自由个体变项和约束个体变项一阶谓词逻辑什么是谓词逻辑在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。例如：推理 1：所有的人都是要死的。苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。推理 1 包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是 。这rqp不是一个重言式。因此，这个显
2、然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。这是因为，推理1 的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处 5 理的许多推理，如推理 1 这样的三段论。但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。例如：推理 2：所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。有些罪犯不是故意犯罪。 因此，有些罪犯是过失犯罪。这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。为了更为有效和尽量不失般性地解决推理的判定，需要提出新的逻
3、辑工具，进步分析原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。谓词和个体词我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。(1) 这张桌子是方的。(2) 陈先生是贾女土的丈夫。显然，以上两个命题都是原子命题。在(1)中，今 F(x)表示“x 是方的” ，a 表示“这张桌子” ，这样，F(a)就表示“这张桌子是方的” ，也就是说，命题(1)的表达式是 F(a)。这里，F 就是谓词，表示“方”这种性质；x 和 a 就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。
4、其中，x 称为个体变项，它只表示某一个个体，而不表示一个确定的个体；a 称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。在(2)中，令 H(x，y)表示“x 是 y 的丈夫” ，a 表示陈先生，b 表示贾女士，这样，H(a，b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫” ，也就是说，命题(2)的表达式是 H(a，b)。这里，H 是谓词，表示某人是某人的丈夫 ”这种关系，x、y 和 a、b 是个体词，同样，x 和 y 是个体变项，a 和 b 是个体常项。刻画一个个体的性质的谓词称为一元谓词，刻画两个个体之间的关系的谓词称为二元谓词，一般地，刻画 n 个个体之间的关系的谓词称为 n 元谓词。显然，谓词不能脱离
5、个体词而独立存在。如果一个谓词符号表示的是一个具体谓词，即表示某种确定的性质或关系，则称为谓词常项；如果表示的是某个不确定的谓词，则称为谓词变项。相应地，个体词也分为个体常项和个体变项，已如上述。约定：以大写英文字母 F、G、H表示谓词常项或谓词变项，以小写字母 a、 b、c 、d表示个体常项，以小写字母 x、y、z、u、v、w 表示个体变项。一般地，如果 F 是 n 元谓词，则它的表达式也可记为 F( )。其中，nx,21称为谓词 F 的主目。x,21量词、全称量词和存在量词一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。例如，上面的例句(1)中 F(x)断定“x 是方的” ，但由于 x 是个体变项，
6、因而 F(x)没有真假，不是命题。如何使 F(x)这样没有真假的表达式变为有真假的命题呢?有两种方法：第一种方法，用个体常项取代个体变项，例如，令 a 表示“这张桌子” ，则 F(a)就表示“这张桌子是方的” ，这是命题，有真假。这种方法称为解释。后而将对此作进一步讨论。第二种方法，对个体变项进行量化。例如，对 F(x)我们进一步断定，对所有的 x 来说，F(x)成立；或者断定，至少存在一个 x，F(x) 成立。也就是断定所有的个体都是方的，或者断定至少存在一个个体是方的。这样的断定就是命题，它们有真假。在量化的过程中，我们使用了量词。量词分为全称量词和存在量词。全称量词断定所有的个体都具有相
7、关谓词所表示的性质或关系；存在量词断定存在(即至少有一个) 个体具有相关谓词所表示的性质或关系。表示全称量词， 表示存在量词。x F(x)表示“任一 x 具有 F 这种性质” 。x F(x)表示“存在 x 具有 F 这种性质” 。x y G(x，y)表示“任一 x 和任一 y 具有关系 G”。x yG(x，y)表示“对任一 x，存在 y，x 和 y 具有关系 G”。x yG(x，y) 表示“存在 x，对任一 y，x 和 y 具有关系 G”。x yG(x，y) 表示“存在 x，并且存在 y，x 和 y 具有关系 G”。例如，令 x 和 y 表示自然数，即个体变项的取值范围是自然数，F(x)表示“
8、x 是偶数” ，G(x， y)表示“ xy” ，则：x F(x)断定“任一自然数都是偶数 ”，这是个假命题。x F(x)断定“存在自然数是偶数 ”，这是个真命题。x y G(x，y) 断定“任一自然数 x 和任一自然数 y，都满足 xy” ，这是个假命题。x y G(x，y)断定“ 对任一自然数 x，都存在自然数 y，满足 xy( 即没有最小的自然数)” ，这是个假命题。x yG (x，y)断定“ 存在自然数 x，对任一自然数 y，满足 xy( 即存在最大的自然数)” ，这是个假命题。x y G(x，y) 断定“存在自然数 x，并且存在自然数 y，满足 xy” ，这是个真命题。个体域量词直接刻
9、画个体变项的量化。这样，个体变项的取值范围就是一个重要的问题。同个带量词的命题，由于个体变项的取值范围不同，可以具有不同的真假值。例如，令F(x)表示“x 有思想” ，那么，如果 x 的取值范围是人，则 x F(x)断定“所有的人都有思想” ，是真命题；而如果 x 的取值范围是动物，则 x F(x)断定“所有的动物都有思想” ，就成为假命题。再如，在上面的讨论中，个体变项的取值范围是自然数，因而 x y G(x，y)断定“ 没有最小的自然数 ”，是个假命题；但是，如果个体变项的取值范围改为整数，则 x y G(x，y) 变为断定 “没有最小的整数” ，这是个真命题。个体变项的取值范围称为个体域
10、。个体域可根据需要作特殊的限制；如果不作特殊的限制，个体域就是指全域，即由所有能被思考的对象组成的域。x F(x)和 F(x)的含义是不同的。 x F(x)是断定存在个体具有性质 F，这是命题。如果至少有一个这样的个体存在，它就是真的，否则，它就是假的。而 F(x)则只表示某个不确定的个体具有 F 这种性质，至于这样的个体是否存在，如果存在的话是哪一个，都没有断定，因而不是命题。x F(x)和 F(a)的含义也是不同的。 x F(x)只是断定存在个体具有性质 F，至于是哪一个个体，没有断定；F(a)则具体断定个体常项 a 所表示的那个个体具有性质 F。因此，如果x F(x)真，F(a) 未必真
11、；而如果 F(a)真，则 x F(x)一定真。量词的辖域 约束个体变项和自由个体变项在一个表达式中，量词的约束范围称为量词的辖城。约定：紧靠量词的括号内的表达式是该量词的辖域，括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，紧靠量词的不包含联结词的表达式是该量词的辖域，其他的则不是。例如：(1) x F(x) G(x)(2) x(F(x) G(x)在这两个表达式中，带横线的部分分别表示 x 的辖域。在相关量词的辖域中出现的个体变项，称为被量词约束的个体变项，简称约束个体变项；不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。例如，在 F(x)和 G(x，y)中，x 和 y 都是自由个体变项；在 x F(x)
12、和 x y G(x，y)中，x 和 y 都是约束个体变项；在 xG(x，y) 中，x 是约束个体变项，y 是自由个体变项。再如，在上面的(1)式中，F(x) 中的 x 是约束个体变项，而 G(x)中的 x 是自由个体变项。(2)式中，x 都是约束个体变项。也就是说，在同一个表达式中，同一个个体变项可以既作为约束个体变项，又作为自由个体变项出现。一个体变项在它的量词的辖域中出现，称为约束出现：否则，称为自由出现。一个体变项在一公式中是自由的，当且仅当它在该公式中至少有一次自由出现；一个体变项在一公式中是约束的，当且仅当它在该公式中至少有一次约束出现。也就是说，一个体变项在一公式中可以既是自由的，
13、又是约束的。因此，x 在(1)式中既是自由的，又是约束的；而在(2)式中是约束的，不是自由的。什么是一阶谓词逻辑上面讨论的谓词逻辑，是一阶谓词逻辑。其中，谓词表达的性质和关系，只是个体的性质和个体之间的关系；量词只是对个体变项进行量化。对象的性质和对象之间的关系，统称对象的属性。问题在于，不光个体具有属性，属性本身也有属性，属性的属性仍然有属性，如此等等。例如， “这面红旗”作为个体，具有“红色”这种性质，而“红色”这种性质，具有“鲜艳”这种性质。因此， “红色”是个体的属性，而“鲜艳”则是属性的属性，自然同时也是个体的属性。再如， “大张”和“小李”两个个体具有“同乡”这种关系，而“同乡”这
14、种关系，具有“传递性”(即如果 a 和 b 是同乡，并且 b 和 c 是同乡，则 a 和 c 是同乡)。因此， “同乡”是个体的属性，面“传递”则是属性的属性。因此，在谓词逻辑中，表达同性的谓词具有层次，这就是渭词的阶。所谓一阶谓词，就是只刻画个体属性的谓词。一阶谓词的主目中，只出现个体变项。当我们说存在某些个体，具有“红色”这种性质，这是在对个体变项进行量化；当我们说存在某些性质具有“鲜艳”这种性质，我们就是在对谓词变项进行量化了。当我们涉及谓词的谓词，或者对谓词变项进行量化时，就进入了高阶谓词逻辑。高阶逻辑的许多问题，可以化归为一阶逻辑。我们只讨论一阶逻辑。概括地说，一阶谓词逻辑，就是其中
15、的谓词都是一阶谓词，其中的量词只刻画个体变项的量化。13谓词逻辑层次上自然语言的符号化现在，我们可以在一阶谓词逻辑的层次上，对自然语言进行符号化，这是对日常思维进行比命题逻辑更深入一步的逻辑分析的基础。以下的讨论，都通过实例说明。直言命题的表达式在传统逻辑中，断定个体是否具有某种性质的原子命题称为直言命题。直言命题分为四种基本类型：全称肯定命题，全称否定命题，特称肯定命题和特称否定命题。我们先讨论这四种基本命题的符号化。例 1 将下列命题符号化：(1)所有的商品都是有价值的(2)有的官员是清廉的。(3)所有的迷信都不是科学。(4)有的新闻报导不是真实的。解 在(1)中，今 S(x)表示“x 是
16、商品” ，J(x)表示“x 是有价值的” ，则命题(1)的表达式是：x(S(x) J(x)它的含义是：对任一个体 x，如果 x 是商品，那么 x 是有价值的。注意，这里的含义是并且仅仅是：对任一个体 x 而言，如果 x 是商品，那么 x 是有价值的。至于作为商品的个体x 是否存在，在表达式中没有得到断定，即表达式没有断定这样的 x 存在，也没有断定它不存在。这样的表达式是否准确表达了自然语言中全称命题的原意呢?确实，在日常语言的运用中，当我们说“所有的商品都是有价值的” ，除了断定上述表达式所断定的含义外，事实上还断定“商品是存在的” 。现在的问题是，这样的关于主项存在的断定，是全称命题的形式
17、自身具有的，还是语言的使用者另外附加的呢？，换句话说， “所有的 S 都是 P”这个命题形式本身，是否包含“S 是存在的”这一断定?回答是否定的。例如，著名的牛顿定律断定：“所有不受外力作用的物体都保持匀速直线运动” 。这一命题仅仅断定：对所有物体而言，如果它不受外力作用，那么它保持匀速直线运动；至于不受外力作用的这样的物体是否存在，没有得到断定。事实上，这样的物体是不存在的。如果全称命题的命题形式本身包含主项存在的断定，牛顿定律将成为一个明显的假命题。这说明，全称命题的形式自身并不包含主项存在的断定；有的全称命题所包含的主项存在的断定，是语境附加的。在传统逻辑中全称命题有时必须断定主项存在，
18、有时则不必须断定主项存在。而这种对主项存在的断定或不断定，都是暗含在语境中的，这就有可能带来含混。在谓词逻辑中，这种可能的含混得到了排除。在(2)中令 G(x)表示“x 是官员” ，Q(x)表示“x 是清廉的 ”，则命题(2)的表达式是：)(QG它的含义是：存在个体 x，x 是官员，并且 x 是清廉的。为什么不能把(2)式写成 呢?表达式 的含义是：存)()(xQGx在个体 x，如果 x 是官员，则 x 是清廉的。同样，作为官员的 x 是否存在，这里并没有得到断定。这显然不符合命题(2)的含义。 “有的官员是清廉的 ”，也可读作“有官员是清廉的”，它当然首先断定官员是存在的。在(3)中，令 M
19、(x)表示“ x 是迷信” ，K(x) 表示“x 是科学” ，则命题(3) 的表达式是：x(M(x) K(x)它的含义是：对任一个体 x，如果 x 是迷信，则 x 不是科学。在(4)中，令 X(x)表示“x 是新闻报导” ，Z(x)表示“x 是真实的” ，则命题(4) 的表达式是：)()(ZX它的含义是：存在个体 x，x 是新闻报导，并且 x 不是真实的。重叠量化式包括量词的表达式称为量化式。在一个原子命题的量化式中，如果有两个或两个以上的量词出现，称为重叠量化式。例 2 将下列命题符号化：(1) 任何传染病都有某种细菌或病毒诱发。(2) 任何传染病都由某种细菌或病毒诱发。(3) 每一个大于或
20、等于 6 的偶数都可以表示为两个素数之和。解 命题 (1)和命题(2)仅一字之差，但一个是真命题，另一个是假命题，它们表达的是不同的内容具有不同的逻辑结构。令 C(x)表示“x 是传染病 ”，X(x)表示“x 是细菌” ，B(x)表示“x 是病毒” ，Y(x ，y)表示“x 诱发 y”。在这样的没定下，命题(1)的表达式是：),()()( yYByXC它的含义是：对任个体 x，都存在个体 y，如果 x 是传染病，则 y 是细菌或病毒，并且 y诱发 x。在同样的设定下，命题(2)的表达式是：),()()( Yy它的含义是：存在个体 x，x 是细菌或病毒，对任个体 y，如果 y 是传染病，则是 x
21、 诱发了 y。命题(3)就是著名的哥德巴赫猜想。令 E(x)表示“x 是偶数” ，S(x)表示“x 是素数” ，D(x，y)表示“ x y”，H(x，y，z)表示“xy 十 z”，个体常项 a 表示自然数 6，则命题(3)的表达式是：),()(),()( zyHSzaDE它的含义是：对任一个体 x，如果 x 是偶数，并且 x 6，则存在个体 y 和 z，y 和 z 都是素数，并且 x 等于 y 与 z 之和。量化式的复合以上分析的都是原子命题的量化式，它们有一个共同的特点，就是至少有一个量词的辖域是整个表达式，这样的量化式是简单量化式。简单量化式用联结词联结，就是量化式的复合。量化式的复合，也
22、就是复合命题的表达式。例 3 (1) 没有不通风的墙。(2) 我的矛能刺穿天下所有的盾，而我的盾天下所有的矛都不能刺穿。(3) 如果甲班有学生考试作弊，那么甲班所有学生都不能获得本年度的奖学金。(4) 每个自然致都有自然数比它大，但没有最大的自然数。解 在(1)中，令 Q(x)表示“x 是墙” ，T(x)表示“x 是透风的” ，则命题(1)的表达式是：)()(TQx在(2)中，令 M(x)表示“x 是矛 ”，D(x) 表示“x 是盾” ，a 表示“我的矛” ，b 表示“我的盾” ，C(x，y)表示“x 能刺穿 y”，则命题(2) 的表达式是： ),()(),()( bCMaCD在(3)中，令
23、J(x)表示“x 是甲班学生” ，K(x) 表示“x 考试作弊” ，H(x)表示“x 能获得本年度的奖学金” ，则命题(3)的表达式是：)()()( HJKJ在(4)中，令 N(x)表示“x 是自然数” ，D(x，y) 表示“ y” ，则命题(4)的表达式是：x),()()(),()()( yxDNxyDNy量化推理式带量词的推理表达式，就是量化推理式。和在命题逻辑中一样，推理的表达式，就是前提表达式的合取，蕴涵结论的表达式。例 4 将下列推理符号化：(1) 所有的人都是会死的，苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。(2) 所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。有些罪犯不是故意犯罪。因此，
24、有些罪犯是过失犯罪。(3) 一个人是轻信的人当且仅当他相信每一个人。因此，存在着一个人他相信所有轻信的人。解 在(1) 中，令 R(x)表示“x 是人” ，S(x)表示“x 是要死的” ，a 表示“苏格拉底” ，则推理(1)的表达式是：)()()(aSRxSRx也可表示为： )(x)a(S在(2)中，令 F(x)表示“x 是罪犯” ，G(x) 表示“x 故意犯罪 ”，S(x) 表示“x 过失犯罪” ，则推理(2)的表达式是：)()()()()( SFGFGFx 也可表示为 )()(xSx)(xFx在(3)中，个体域限制为“人” ，令 Q(x)表示“x 是轻信的” ，H(x，y) 表示“x 相信 y”，则推理(3)的表达式是：),()(),()( yBQyxyBQx 也可表示为： ),()(xyyx在本例中，个体域限制为“人” ，表示个体变项的取值范围限定于“人” ，因此，不必再定义“人”这个谓词。这样可以简化表达式，但付出的代价是弱化了表达式的有效性，也就是说，个体域受限制后一个推理被判定有效，只是在该个体域中有效，如果个体变项的取值范围超出限定的范围，推理有可能变为无效。以后将近一步阐述这一点。
