立体几何专题讲解1(生).doc

1、第九章 直线、平面、简单几何体1立体几何专题讲解（一）一空间直线高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 能够根据图形想像它们的位置关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j会用几何法计算两异面直线的夹角和距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkyg

2、co 例 1：A 是BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点， （1）求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；（2）若 ACBD，AC=BD，求 EF 与 BD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评： 证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为 90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j注意，异面直线所成角的范围是（0， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j学生练习 头htp:/w.xjkygcom1

3、26t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j如下图，正四面体 SABC 中，D 为 SC 的中点，则 BD 与 SA 所成角的余弦值是_2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两条相交直线 l、m 都在平面 内且都不在平面 内 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j命题甲：l 和 m 中至少有一条与 相交，命题乙：平面 与 相交，则甲是乙的A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j充分不必要条件 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j必要不充分条件 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j

4、充要条件 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j非充分非必要条件3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于_4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j四面体 ABCD 中，E 、F 分别是 AC、BD 的中点，若 CD=2AB=2，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角等于_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二直线与平面平行和平面与平面平行高考要求 头htp:/w.xjky

5、gcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j掌握空间直线和平面的位置关系； 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线” “线面”平行的转化 奎 屯王 新 敞新 疆3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线GFE DCBASEDCBA第九章 直线、平面、

6、简单几何体2面” “面面”平行的转化 奎 屯王 新 敞新 疆题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 如下图，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M AC ，NFB 且 AM=FN，求证：MN平面 BCE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 如下图，正方体 ABCDA1B1C

7、1D1 中，侧面对角线 AB1、BC 1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求证： EF平面 ABCD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 3 如下图，设 a、b 是异面直线，AB 是 a、b 的公垂线，过 AB 的中点 O 作平面 与 a、b 分别平行，M、 N 分别是 a、b 上的任意两点，MN 与 交于点 P，求证：P 是 MN 的中点 头htp:/w.xjkygcom1

8、26t:/.j点评：本题重点考查直线与平面平行的性质 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 4 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，M，N，Q 分别是棱A1A，A 1B1，A 1D1，CB，CC 1，CD 的中点，求证：平面 EFG平面 MNQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j小结:1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证明两直线平行的常用的方法有（ ）定义法，即证两线共面且无公共点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（ ）证明两直线都与第三条直线平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（3

9、）同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所作直线与第一条直线重合（4）应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证明直线与平面平行的常用方法有：（ ）根据定义，用反证法证明 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（ ）证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（3）证明直线在与已知平面平行的平面内 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126

10、t:/.j证明两平面平行的常用方法有：（ ）根据定义用反证法证明（2）证明一平面内的两相交直线与另一平面平行（或与另一平面内的两条相交直线平行）QP NMFEDC BANMGFED1 C1B1A1 D CBAba PQONBMA第九章 直线、平面、简单几何体3学生练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设有平面 、 和直线 m、 n，则 m 的一个充分条件是A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 且 m B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =n 且 mn C 头htp:/

11、w.xjkygcom126t:/.j n 且 n D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 且 m 答案：D2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 m、n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若 m ，n ，则 mn 若 ， ，m ，则 m 若 m ，n ，则 mn 若 ， ，则 A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygc

12、om126t:/.j解 析 ： 显 然 正 确 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 中 m 与 n 可 能 相 交 或 异 面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 考 虑 长 方 体 的 顶 点 ， 与 可 以 相 交 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案：A3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一 条 直 线 若 同 时 平 行 于 两 个 相 交 平 面 ， 那 么 这 条 直 线 与 这 两 个 平 面 的 交 线 的 位 置 关系 是A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j异面 B 头htp:/w.xjkygcom1

13、26t:/.j相交C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平行 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j不能确定解析：设 =l，a ， a ，过直线 a 作与 、 都相交的平面 ，记 =b， =c，则 ab 且 ac，bc 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 b ， =l，b l 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jal 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案：C4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两条直线 a、b 满足 ab，b ，则 a 与平面 的关系是A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja

14、B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja 与 相交 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja 与 不相交 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja 答案：C5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j过 A 有且只有一个平面平行于 a、bB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j过 A 至少有一个平面平行于 a、bC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j过 A 有无数个平面平行于 a、bD 头htp:/

15、w.xjkygcom126t:/.j过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在解析：过点 A 可作直线 aa，bb，则 ab=A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja、b可确定一个平面，记为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j如果 a ，b ，则 a ，b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由于平面 可能过直线 a、b 之一，因此，过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案：D6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设平面 平面 ，A、C ，B、D ，直线 AB 与 CD 交于点 S，且

16、AS=8，BS=9，CD=34，当 S 在 、 之间时，SC=_，当 S 不在 、 之间时，SC =_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：ACBD，SACSBD ，SC =16，SC =272 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案：16 2727 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 D 是线段 BC 上的点，BC平面 ，从平面 外一定点 A（A 与 BC 分居平面两侧）作AB、 AD、AC 分别交平面 于 E、F、G 三点，BC=a，AD =b，DF =c，则 EG=_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：解法类同于上题 头

17、htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案： ba8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 RtABC 的直角顶点 C 在平面 内，斜边 AB ，AB=2 ，AC、BC 分别和平面 成 456第九章 直线、平面、简单几何体4和 30角，则 AB 到平面 的距离为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：分别过 A、B 向平面 引垂线 AA、BB ，垂足分别 为 A、B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 AA=BB=x，则 AC2=（ ） 2=2x2，o45sinBC2=（ ） 2=4x2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jo

18、30sin又 AC2+BC2=AB2，6x 2=（2 ） 2，x=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案：29 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在四面体 ABCD 中，M 、N 分别是面ACD、BCD 的重心， 则四面体的四个面中与 MN 平行的是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：连结 AM 并延长，交 CD 于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由 = = 得 MNAB，MANB21因此，MN平面 ABC 且 MN平面 ABD 头htp:/w.xjkygcom126

19、t:/.j答案：平面 ABC、平面 ABD10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 a、b 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 a、b在 上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在上面结论中，正确结论的编号是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（写出所有正确结论的编号）解析：A 1D 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点 头htp:/w.

20、xjkygcom126t:/.j答案：11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j如下图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有BE PC 于 E，且 BE= a，试在 AB 上找一点 F，使 EF平36 面 PAD头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：在面 PCD 内作 EGPD 于 G，连结 AG 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jPA平面 ABCD，CD AD，CDPD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jCDEG 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 ABCD，EGA

21、B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若有 EF平面 PAD，则 EF AG，四边形 AFEG 为平行四边形，得 EG=AF 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jCE= = a，PBC 为直角三角形，22)3(aBC 2=CECP CP= a， = = = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jABFCDEGPa3故得 AFFB=2 1 时，EF 平面 PAD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jD1 C1B1A1D CBAxzy第九章 直线、平面、简单几何体512 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j如下图，设 P 为长方形 A

22、BCD 所在平面外一点，M、N 分别为 AB、PD 上的点，且 = ，求证：MBANPD直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j分析：要证直线MN平面 PBC，只需证明 MN平面 PBC 内的一条直线或 MN 所在的某个平面平 面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法一：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意 得= = = =RDCPMBABMDCNR=MB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jNRDCAB，四边形 MNRB 是平行四边形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jMNRB 头htp

23、:/w.xjkygcom126t:/.j又RB 平面 PBC，直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法二：过 N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM， = = ，QMPB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 NQADBC ，MBAPDQ平面 MQN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法三：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有 = = ，ABPDC = ， = + + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jRMNMNRB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 RB 平面 PBC，直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在空间直角坐标系中，已知 A（0，0，0） B（a,b,0), C(a,0,c), E(0,b,0)F(a,b,c), G(0,0,c),求证：平面 ABC平面 EFG课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco