第28章_锐角三角函数_全章教案(改好).doc

1、70锐角三角函数正弦教材分析学情分析一、教学目标1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。教学方法三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。 （演示学校

2、操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为 34 度，并已知目高为 1 米然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出 341米10米?71旗杆的高度。这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30o,为使出水口的高度为 35

3、m，那么需要准备多长的水管？分析： 问题转化为，在 RtABC 中，C=90 o，A=30 o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30 o角所对的边等于斜边的一半”，即可得 AB=2BC=70m.即需要准备 70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个 RtABC，使C=90 o，A=45 o，计算A 的对边与斜边的比 ，能得到什么结论？分析：在 RtABC 中，C=90 o，由于A=45 o，所以 RtABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得 ， 故 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角

4、等于 45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？72如图：Rt ABC 与 RtABC ，C= C =90 o，A=A=，那么与 有什么关系分析：由于C=C =90 o，A=A=，所以 RtABCRtABC，即 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比也是一个固定值。认识正弦 如图，在 RtABC 中，A、B、C所对的边分别记为 a、b、c。师：在 RtABC 中，C=90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦。记作 sinA。板书：si

5、nA Ac的 对 边的 斜 边注意：1、sinA 不是 sin 与 A 的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56、sinDEF3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。提问：B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例 1 如图,在 中, ,求 sin 和 sin 的值.（四）巩固再现12006 海南三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin 的值是 A B C D435342 （2005 厦门市）如图，在直角ABC 中， C B A 73C90 o，若 AB5，AC4，则 sinA（ ）A B C

6、D35 45 34 4332006 黑龙江 在ABC 中，C=90，BC=2，sinA= ，则边 AC23的长是( )A B3 C D 1343 5四、布置作业教后反思：锐角三角函数余弦和正切(本 2总 30)教材分析学情分析一、教学目标1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算教学方法EOA BCD74A BCD三、教学过程（一）复习引入1、口述正弦的定义2、 （1）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C、D 在

7、O 上，且 AB5，BC3则 sinBAC= ；sinADC= （2）2006 成都如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D。已知 AC= ，BC=2，那么 sinACD（ 5）A B C D3252（二）实践探索一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt ABC 与 RtABC ，C= C =90 o，B=B=，那么 与 有什么关系？分析：由于C=C =90 o，B=B=，所以 RtABCRtABC，即 结论：在直角三角形中，当锐角 B 的度数一定时，不管三角形的大小如何，B 的邻边与斜边的比也是一个固定值。如图，在 RtABC 中

8、，C=90 o，把锐角 B 的邻边与斜边的比叫做B的余弦，记作 cosB 即 把A 的对边与邻边的比叫做A 的正切.记作 tanA,即锐角 A 的正弦,余弦,正切都叫做A 的锐角三角函数.（三）教学互动75例 2:如图,在 中, ,BC=6, 求 cos 和 tan的值 .解: , 又例 3:(1)如图(1), 在 中， , , ,求的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 倍,求 .（四）巩固再现1.在 中，C90 ，a，b，c 分别是A、B 、C 的对边，则有（ ） A B C D 2. 在 中，C90，如果 那么 的值为（ ） A B C D763、如图

9、：P 是 的边 OA 上一点，且 P点的坐标为（3，4）， 则 cos _. 4、P81 练习 1、2、3四、布置作业 P85 1教后反思：课题 锐角三角形间的关系(本 3总 31)教材分析学情分析一、教学目标1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦) 值与它的余角的余弦 (正弦)值之间的关系2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系774、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况二、教学重点、难点重点：三个锐角三角函数间几个简单关系难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系教学方法三、教学过程（一）复习引入 叫学生结合直角三角形说出

10、正弦、余弦、正切的定义 （二）实践探索1、从定义可以看出 与 有什么关系？ 与 呢？sinAcosBsinBcosA满足这种关系的 与 又是什么关系呢？2、利用定义及勾股定理你还能发现 与 的关系吗？ic3、再试试看 与 和 存在特殊关系吗？tai经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：（1）若 那么 = 或 =90ABsinAoBsinoA（2） （3）22sincos1tac4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？ 通过一番讨论后得出：（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小) 而增加(或减小)；（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小) 而减小

11、(或增加)；（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小) 而增加(或减小)。（三）教学互动 (1)判断题：i 对于任意锐角 ，都有 0sin1 和 0cos1（ ）ii 对于任意锐角 1， 2，如果 1 2，那么 cos 1cos 2 （ ）iii 如果 sin 1sin 2，那么锐角 1锐角 2 （ ）78iv 如果 cos 1cos 2，那么锐角 1锐角 2 （ ）（2）在 RtABC 中，下列式子中不一定成立的是_AsinAsinB BcosA sinB CsinAcosB Dsin(A+B) sinC（3） 在 390,sin.cos,inta5ABAA中 ,求 和 的 值A0 A 30B

12、30A45C45 A60D60A90四、布置作业教后反思：课题 30、45、60角的三角函数值(本 4总 32)教材分析学情分析79一、教学目标1、能推导并熟记 30、45、60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。2、能熟练计算含有 30、45、60角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记 30、45、60角的三角函数值，能熟练计算含有 30、45、60角的三角函数的运算式难点：30、45、60角的三角函数值的推导过程教学方法三、教学过程（一）复习引入推导正弦关系的时候所到结论吗？即 ，01sin3202sin45还能推导出 的值及 30、45、60角的其它三角函数值吗？

13、0sin6（二）实践探索1.让学生画 304560的直角三角形,分别求 sia 30 cos45 tan60 归纳结果30 45 60siaAcosAtanA（三）教学互动例 求下列各式的值：（1）cos +cos + sin sin ( =1 )80（2） ( =-6 )例 3:(1)如图(1), 在 中， , , ,求 的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 倍,求 .解: (1)在图(1)中, (2)在图(2)中. （四）巩固再现 1、P82 例 3 2、P83 练习3、随机抽查学生对 82 页的表的记忆情况四、布置作业 P85 3教后反思：81课题

14、用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角(本 5总 33)教材分析学情分析一、教学目标1、让学生熟识计算器一些功能键的使用2、会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理教学方法三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角 A 是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。（二）实践探索821、用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需

15、巡回指导）sin3724 sin3723 cos2128 cos3812tan52； tan3620； tan7517；2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816. A . cosA0.8607，A ；tanA0.1890，A= ； tanA56.78，A .3、强化 完成 P84 页的练习四、布置作业 P85 4、5教后反思：课题 解直角三角形（一）(本 6总 34)教材分析学情分析一、教学目标1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形832、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角

16、互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯二、教学重点、难点1重点：直角三角形的解法2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用教学方法三、教学步骤(一)复习引入 1在三角形中共有几个元素？2直角三角形 ABC 中，C=90 ，a 、b、c、A、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 cbAaot;tn;os;sinbaBBca(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系A+ B=90（二）教学过程1我们已掌握 RtABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其

17、中的两个元素(至少有一个是边) 后，就可求出其余的元素 2教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形) 3例题例 1 在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 b= ，a= ，解这个三角形26解 tanA= = = ab360 C=2b=90A2例 2 在 RtABC 中， B =35，b=20，解这个三角形5解 :tan08.6tant35b84n2035.1siibiBc完成之后引导学生

18、小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”注意：例 1 中的 b 和例 2 中的 c 都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。 4巩固练习 P91(四)总结与扩展1请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素( 至少有一个是边)，就可以求出另三个元素2出示图表，请学生完成a b c A B1 （已知） （已知） 2baatnabtn2 （已知） 2c（已知） csicos3 （已知） b=acotA Ain（已知） AB094 （已知） b=atanB Bacos09（已知）5 2bca（已知） （已知） cbcbsin6 a=btan

19、A （已知） bcs（已知） AB097 a=bcotB （已知） BinA09（已知）8 a=csinA b=ccosA （已知） （已知） 09 a=ccosB b=csinB （已知） B0（已知）10 不可求 不可求 不可求 （已知） （已知）四、布置作业教后反思：85课题 解直角三角形（二）(本 7总 35)教材分析学情分析一、教学目标1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识二、教学重点、难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系

20、，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决难点：实际问题转化成数学模型教学方法三、教学过程（一）复习引入1直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答2、在中 RtABC 中已知 a=12 ,c=13 求角 B 应该用哪个关系？请计算出来。86（二）实践探索要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足 ， (如图).现有一个长 6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙( 精确到 0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角 等于多少( 精确到 1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子

21、 引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？（三）教学互动例 3 2003 年 10 月 15 日“神舟”5 号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面 350km 的圆形轨道上运行.如图 ,当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与 P 点的距离是多少?(地球半径约为 6 400 km，结果精确到 0. 1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,O 表示地球，点 F 是飞船的位置，FQ 是O 的切线，

22、切点 Q 是从飞船观测地球时的最远点. 弧 PQ 的长就是地面上 P, Q 两点间的距离.为计算弧 PQ 的长需先求出 (即 )解:在上图中，FQ 是O 的切线， 是直角三角形， 87弧 PQ 的长为 由此可知，当飞船在 p 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约 2 009. 6 km. （四）巩固再现 P93 1,P96 1四、布置作业 P96 2,3教后反思：课题 解直角三角形（三）(本 8总 36)教材分析学情分析一、教学目标1、使学生了解什么是仰角和俯角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题

23、二、教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决观测问题88难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学方法三、教学过程（一）复习引入平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念（二）教学互动例 4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30o，看这栋离楼底部的俯角为 60o，热气球与高楼的水平距离为 120 m.这栋高楼有多高( 结果精确到 0.1m)? 分析：在 中， ， .所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD;类似地可以求出 CD，进而求出 BC.解:如图, ， ,89答:这栋楼高约为 277

24、.1m.（三）巩固再现1、为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是 1.72 米，求树高( 精确到 0.01 米)2、在宽为 30 米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为 45，从西楼顶望东楼顶，俯角为 10，求西楼高(精确到 0.1 米)3、上午 10 时，我军驻某海岛上的观察所 A 发现海上有一艘敌军舰艇正从 C 处向海岛驶来，当时的俯角 ，经过 5 分钟后，舰艇到达D 处，测得俯角 。已知观察所 A 距水面高度为 80 米，我军武器射程为 100 米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。解：

25、在直角三角形 ABC 和直角三角形 ABD 中，我们可以分别求出： （米）（米）（米）90舰艇的速度为 （米/分）。设我军火力射程为 米，现在需算出舰艇从 D 到 E 的时间（分钟） 我军在 12.5 分钟之后开始还击，也就是 10 时 17 分 30 秒。4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？四、布置作业 P101 7、8教后反思：课题 解直角三角形（四）(本 9总 37)教材分析学情分析一、教学目标1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题二、教

26、学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决方位角问题91难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学方法三、教学过程（一）复习引入1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的） 。2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东 65 度、南偏东 34 度方向的射线（二）教学互动例 5 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上的 B 处.这时，解:如图, 在 中,0cos(965)PCA08cos2572.8在 中, . 因此.当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 340 方向

27、时，它距离灯塔 P 大约130.23 海里.海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远(精确到 0.01 海里)?（三）巩固再现1、P95 12、上午 10 点整，一渔轮在小岛 O 的北偏东 30方向，距离等于 10 海里的 A 处，正以每小时 10 海里的速度向南偏东 60方向航行那么渔轮到达小岛 O 的正东方向是什么时间？(精确到 1 分)3、如图 6-32，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东92航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？四、布置作业

28、P97 7、9教后反思：课题 解直角三角形（五）(本 10总 38)教材分析学情分析一、教学目标1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点二、教学重点、难点重点：解决有关坡度的实际问题93难点：理解坡度的有关术语教学方法三、教学过程（一）复习引入 1讲评作业：将作业中普遍出现问题之处作一讲评2创设情境，导入新课例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图 6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高 23m，斜坡 AB 的坡度 i

29、=13，斜坡 CD 的坡度 i=12.5，求斜坡 AB 的坡面角，坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长( 精确到 0.1m)（二）教学互动通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义1 坡度与坡角 结合图 6-34坡度（或叫做坡比）：坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l的比，一般用 i表示。即 ，常写成 i=1：m 的形式如 i=1:2.5hl坡角：把坡面与水平面的夹角 叫做坡角引导学生结合图形思考，坡度 i 与坡

30、角 之间具有什么关系？i tan l练习(1)一段坡面的坡角为 60，则坡度 i=_；94_，坡角 _度为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明答：(1)如图，铅直高度 AB 一定，水平宽度 BC 增加， 将变小，坡度减小，因为 tan ，AB 不变，tan 随 BC 增大而减小ABC（2）与(1)相反，水平宽度 BC 不变， 将随铅直高度增大而增大，tan也随之增大，因为 tan = 不变时，tan 随 AB 的增大而增大2讲授新课引导学生回头

31、分析引题，图中 ABCD 是梯形，若BEAD，CF AD，梯形就被分割成 RtABE，矩形 BEFC 和 RtCFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF 可在ABE 和CDF 中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出 AD解：作 BEAD，CFAD，在 RtABE 和 RtCDF 中， AE=3BE=323=69(m) FD=2.5CF=2.523=57.5(m)AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)因为斜坡 AB 的坡度 itan 0.3333， 131826 答：斜坡 AB 的坡角 约为 1826，坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡AB 的长约为 72.7 米（三）巩固再现951、P95 22、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6 米的一块(图 6-35 阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为 11.5，渠道底面宽 BC 为 0.5 米，求： 横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方数四、布置作业 P97 8教后反思：