1、2.3 邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理 2.3.1）我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在2.2 中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了在定理 2.1.4 中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在2.1 中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性
2、的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然定义 2.3.1 设（X， P)是一个拓扑空间，xX如果 U 是 X 的一个子集，满足条件：存在一个开集 V P 使得 xV U，则称 U 是点 x 的一个邻域点 x 的所有邻域构成的 x 的子集族称为点 x 的邻域系易见，如果 U 是包含着点 x 的一个开集，那么它一定是 x 的一个邻域，于是我们称 U 是点 x 的一个开邻域首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按2.1 中的定义或者是按这里的定义，都是一回事定理 2.3.1 拓扑空间 X 的一个子集 U 是开
3、集的充分必要条件是 U 是它的每一点的邻域，即只要 xU，U 便是 x 的一个邻域证明 定理中条件的必要性是明显的以下证明充分性如果 U 是空集 ，当然 U 是一个开集下设 U 根据定理中的条件，使得故 U= ，根据拓扑的定义，U 是一个开集定理 2.3.2 概括了邻域系的基本性质定理 2.3.2 设 X 是一个拓扑空间记 为点 xX 的邻域系则：（1）对于任何 xX， ；并且如果 U ，则 xU；（2）如果 U，V ，则 UV ；（3）如果 U 并且 U V，则 V ；（4）如果 U ，则存在 V 满足条件：(a)V U 和(b)对于任何 yV，有V 证明（1） X,X P,X , 且由定义
4、,如果U ，则 xU（2）设 U，V 则存在 U P 和 P 使得 和 成立从而我们有 , T,UV（3）设 U ，并且（4）设 U 令 V P 满足条件 V 已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁定理 2.3.3 设 X 是一个集合又设对于每一点 xX 指定了 x 的一个子集族 ，并且它们满足定理 2.3.2 中的条件（1）（4）则 x 有惟一的一个拓扑 T 使得对于每一点 xX，子集族 恰是点 x 在
5、拓扑空间（X， P)中的邻域系(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去定义 2.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:XY，xX如果f（x）Y 的每一个邻域 U 的原象 （U）是 xX 的一个邻域，则称映射 f 是一个在点x 处连续的映射，或简称映射 f 在点 x 处连续与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了2.1 中的定理 2.1.4 的启发并且该定理也保证了：当 X 和 Y 是两个度量空间时，如果 f: XY 是从度量空间 X 到度量空间 Y 的一个映射，它在某一点 xX 处连续，
6、那么它也是从拓扑空间 X 到拓扑空间 Y 的一个在点 x 处连续的映射；反之亦然这里我们也有与定理 2.2.l 类似的定理定理 2.3.4 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间则（1）恒同映射 ：XX 在每一点 xX 处连续；（2）如果 f：XY 在点 xX 处连续，g：YZ 在点 f（x）处连续，则 gof：XZ在 x 处连续证明请读者自己补上以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系定理 2.3.5 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f：XY则映射 f 连续当且仅当对于每一点 xX，映射 f 在点 x 处连续证明必要性：设映射 f 连续，这证明 f 在点 X 处连续充分性：设对于每一点 xX，映射 f 在点 x 处连续这就证明了 f 连续作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法
