1、2018/4/23,离散数学,1,离 散 数 学,主讲教师 查伟雄教授,离 散 数 学,2018/4/23,离散数学,2,第二章 一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式 2.4 一阶逻辑推理理论,2018/4/23,离散数学,3,在命题逻辑中，有些问题得不到解决例如：判断以下推理是否正确：凡人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。这是著名的“苏格拉底三段论”，若用p,q,r 分别表示以上3个命题，推理形式为(pq)r ，不是重言式，也就是说用命题逻辑无法解决这个根据常识就可断定的正确推理。,2018/4/23,离散数学,4,因此，有
2、必要研究简单命题的各种成分(个体词，谓词，量词)，以及它们的形式结构和逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则。 这部分内容即一阶逻辑(又称谓词逻辑)。,2018/4/23,离散数学,5,内容：个体词，谓词，量词，命题符号化重点：1、掌握个体词，谓词，量词 的有关概念，2、掌握在一阶逻辑中的命题符号化。,2.1 一阶逻辑基本概念,2018/4/23,离散数学,6,简单命题总可以被分解成个体词和谓词两部分。,一、个体词与谓词,可以独立存在的客体。既可以是抽象的 概念，也可以是具体的事物。,2.1 一阶逻辑基本概念,用来刻划个体词的性质或个体词之间的关 系的词。,如：李明，自然数，,个体词：谓 词：,
3、2018/4/23,离散数学,7,个体域可以是有限事物的集合，也可以是无限事物的集合。不加声明即为全总个体域。,一、个体词与谓词（续）,表示具体的或特定的个体的词。用小写 字母 a, b, c, 表示。,表示抽象的或泛指的个体的词。用小写 字母 x, y, z, 表示。,个体变项的取值范围，又称论域。,宇宙间一切事物组成的个体域。,个体常项：个体变项：个 体 域：全总个体域：,2018/4/23,离散数学,8,个体变项 x, y 具有关系L，记作L (x, y),一、个体词与谓词（续）,表示具体性质或关系的谓词。用大写 字母F, G, H,表示。,表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词。 也用字母
4、F, G, H,表示。,一般根据上下文区分常项和变项。,个体变项 x 具有性质F，记作F (x),谓词常项：谓词变项：,2018/4/23,离散数学,9,一、个体词与谓词（续）,2018/4/23,离散数学,10,一、个体词与谓词（续）,例1: 将下列命题符号化 (1) 是无理数。 (2) 小李比小赵高2厘米。,解：(1) 设F (x): x 是无理数，a: 则符号化为F (a)。,(2) 设L (x, y): x 比 y 高2厘米，a: 小李，b: 小赵 则符号化为L (a, b)。,2018/4/23,离散数学,11,0 元谓词：不含个体变项的谓词。 如：a为2，b为3， L (a, b)
5、是0元谓词。 简单命题都可以用0元谓词表示，使用联结词便可将复合命题用0元谓词符号化。,一、个体词与谓词（续）,元 数：谓词中所包含的个体词数。,n 元谓词：含n( n 1)个个体词(个体变项)的谓词， 可用P(x1, x2, , xn)表示。,一元谓词表示性质，二元或多元谓词表示关系。,2018/4/23,离散数学,12,一、个体词与谓词（续）,例2：将下列命题用0元谓词符号化。 (1) 2是素数且是偶数。 (2) 如果2大于3，则3大于4。 (3) 如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比 赵亮高。,解：(1) 设F (x): x 是素数， G (x): x 是偶数， a: 2 则命题符号
6、化为F (a) G (a) 。,2018/4/23,离散数学,13,一、个体词与谓词（续）,例2：将下列命题用0元谓词符号化。 (1) 2是素数且是偶数。 (2) 如果2大于3，则3大于4。 (3) 如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比 赵亮高。,解：(2) 设L (x, y): x大于y，a: 2，b: 3，c: 4 则命题符号化为L (a, b) L (b, c) 。,同理(3)可符号化为L (a, b) L (b, c) L (a, c) 。,2018/4/23,离散数学,14,二、量词-表示数量的词 自然语言中的“一切”，“所有的”，“任意的”，“有些”，“存在着”，“有一个”，“
7、至少有一个”等都是量词。,表示“一切”，“所有”，“任意”等的词。 用符号“ ”表示。, x表示对个体域中的所有个体， xF (x)表示个体域中的所有个体都有性质F 。,1、全称量词：2、存在量词：,表示“存在”，“有某些”，“至少有一 个”等的词。用符号“ ”表示。, x表示存在个体域中的个体， xF (x)表示存在个体域中的个体具有性质F 。,2018/4/23,离散数学,15,二、量词（续）,例3：符号化下列命题 (1) 所有的人都会死。 (2) 有的人活百岁以上。,3、特征谓词：在全总个体域的情况下，为了指定某 个个体变项的范围，引入的谓词。,解：个体域为人类集合时，符号化(1)为 x
8、F (x) ，其中 F (x)： x会死， (2)为 xG (x)，其中G (x)： x能活百岁以上。,解：全总个体域时，引入特征谓词M (x): x是人 则(1)符号化为 x (M (x) F (x) (2)符号化为 x (M (x) G (x),2018/4/23,离散数学,16,使用量词时，应注意以下6点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不一样，(2) 一般，除非有特别说明，均以全总个体域为个体域，(3) 在引入特性谓词后，使用全称量词用“”，使用存在量词用“”，,2018/4/23,离散数学,17,使用量词时，应注意以下6点：(4) n元谓词化为命题至少需要n个量词，(5)
9、当个体域为有限集时，如 ，则 (6) 多个量词同时出现时，不能随意颠倒顺序。,2018/4/23,离散数学,18,三、应用,例4：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1) 对所有的 x，均有 x2- 1 = (x + 1)(x - 1)。 (2) 存在 x，使得 x + 5 = 2。(3) 凡偶数均能被2整除。 (4) 存在着偶素数。 (5) 没有不犯错误的人。 (6) 在北京工作的人未必都是北京人。 (7) 一切人都不一样高。 (8) 每个自然数都有后继数。 (9) 有的自然数无先驱数。,解题思想:(1) 找到所有的个体词；(2) 是否要引入特征谓词；(3) 描述个体词的性质(一元谓词）、描述
10、个体词的关系(二元谓词)；(4) 按命题的实际意义进行刻划。,2018/4/23,离散数学,19,三、应用（续）,例4：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1) 对所有的 x，均有 x2- 1 = (x + 1)(x - 1)。 (2) 存在 x，使得 x + 5 = 2。 (3) 凡偶数均能被2整除。,解：(1) xF (x)，其中F (x)：x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)。,(2) xF (x)，其中F (x)：x + 5 = 2。,(3) x(M (x) F (x)，其中M (x)：x 是偶数， F (x)：x 能被2整除。,2018/4/23,离散数学,20,三、应用（续
11、）,例4：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (4) 存在着偶素数。 (5) 没有不犯错误的人。,解：(4) x (M (x) F (x)，其中M (x)：x 是偶数， F (x)：x 是素数。,(5) x (M (x) F (x)，其中M (x)：x 是人， F (x)：x 犯错误。 或 x (M (x) F (x)“所有的人都会犯错误”,2018/4/23,离散数学,21,(7) x y (M (x) M (y) H (x, y) L (x, y)， 其中M (x)：x 是人，H (x, y)：x 与y 不是同一个人， L (x, y)：x 与y 一样高。或 x y (M (x) M (y)
12、H (x, y) L (x, y),三、应用（续）,例4：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (6) 在北京工作的人未必都是北京人。 (7) 一切人都不一样高。,解：(6) x (M (x) F (x)，其中M (x)：x是在北京工作的人，F (x)：x是北京人。或 x (M (x) F (x),2018/4/23,离散数学,22,三、应用（续）,例4：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (8) 每个自然数都有后继数。 (9) 有的自然数无先驱数。,解：(8) x(M (x) y(M (y) H (x, y) ，其中M (x)：x 是自然数，H (x, y)：y 是 x 的后继数。,(9) x (M
13、(x) y(M (y) H (x, y) ，其中M (x)：x 是自然数， H (x, y)：y 是 x 的先驱数。,2018/4/23,离散数学,23,三、应用（续）,例4：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (10) 不管白猫黑猫，抓住老鼠就是好猫。 (11) 汽车比火车跑的快。,解：(10) x y(C (x) M (y) (W (x) B (x) ) K(x, y) G (x) ，其中C (x)：x 是猫，W (x) ： x是白的，B (x) ：x是黑的，G (x) ：x是好的，M (x) ：x是老鼠，K(x, y)：x 抓住y 。,(11) x y (P (x) Q (x) R (x,
14、y) ，其中P (x)：x 是汽车； Q (x) ： x是火车； R(x, y)： x比 y跑的快。,2018/4/23,离散数学,24,三、应用（续）,例4：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (12) 有的汽车比所有的火车跑的快。 (13) 并不是所有的汽车都比火车跑的快。,解：(12) x (P (x) y(Q (y) R (x, y) ， 其中P (x)：x 是汽车； Q (x) ： x是火车； R(x, y)： x比 y跑的快。,(13) x y(P (x) Q (y) R (x, y) ,其中P (x)：x 是汽车； Q (x) ： x是火车； R(x, y)： x比 y跑的快。,20
15、18/4/23,离散数学,25,三、应用,学生练习：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1) 有的实数是有理数。 (2) 没有无理数是有理数。,2018/4/23,离散数学,26,三、应用,学生练习：在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (3) 至少有一个偶数并且至少有一个素数。 (4)尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。,2018/4/23,离散数学,27,内容：合式公式，解释，逻辑有效式，矛盾式，可满足式。重点：(1) 掌握合式公式的概念，(2) 掌握量词的辖域，约束变项，自由变项的概念，(3) 掌握逻辑有效式，矛盾式，可满足式的概念。一般：(1) 换名规则，代替规则，(2) 解释的概念，(3)
16、代换实例。了解：(1) 闭式的概念，(2) 判断合式公式的类型。,2.2 一阶逻辑合式公式及解释,2018/4/23,离散数学,28,字母表： (1)个体常项：a, b, c, ai, bi, ci,i1; (2)个体变项：x, y, z, xi, yi, zi,i1; (3)函数符号： f, g, h,fi, gi, hi,i1; (4)谓词符号：F,G,H,Fi,Gi,Hi,i1; (5)量词符号： , ； (6) 联结词符： ， ， ， ， ； (7)括号和逗号：(, ), , 。,一、谓词公式的概念（续）,2018/4/23,离散数学,29,项的递归定义： (1)个体常项和变项是项；
17、(2)若(x1, x2, , xn)是任意n元函数， t1 , t2,tn 是项,则(t1 , t2,tn ) 是项。 (3)只有有限次地使用(1),(2)生成的符号串才是项。,一、谓词公式的概念（续）,2018/4/23,离散数学,30,合式公式： (1) 原子公式是合式公式； (2) 若A, B是合式公式，则( A)，(A B)，(A B)， (A B)，(A B)也是合式公式； (3) 若A是合式公式，则 xA, xA也是合式公式；,原子公式：不出现命题联结词和量词的命题函数 R(x1, x2, , xn)，xi 是个体常项或变项。,一、谓词公式的概念（续）,2018/4/23,离散数学
18、,31,指导变项及辖域：在谓词公式 xA, xA中，称x 为 指导变项，称A为相应量词的辖域。,一、谓词公式的概念（续）,在辖域中，x 的所有出现称为约束出现，A中非约束出现的其他变项的出现称为自由出现。,(4) 只有有限次地应用(1) (3)构成的符号串才是 合式公式。合式公式也称谓词公式，简称为公式。,公式中，量词运算优先级高于所有的联结词。,2018/4/23,离散数学,32,解：(1) yH (x, y)中，y 为指导变项， 的辖域为H (x, y) ，其中y 是约束出现的，x 是自由出现的。,(2) x y (R (x, y) L (y, z) xH (x, y)； (3) x(F
19、(x) xH (x, z) yL (x, y) H (x, y)。,一、谓词公式的概念（续）,例5：指出下列各谓词公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的约束情况。 (1) x(F (x) yH (x, y)；,在整个公式中，x 为指导变项， 的辖域为F (x) yH (x, y)，x、y 都是约束出现。x 约束出现2次， y 约束出现1次。,2018/4/23,离散数学,33,在整个公式中，x 约束出现2次， y约束出现2次，自由出现1次，z自由出现1次。,解： x y (R (x, y) L (y, z)中，x、y为指导变项， 两个 的辖域为R (x, y) L (y, z)，其中x 约束
20、出现1次，y 约束出现2次，z自由出现1次。,一、谓词公式的概念（续）,例5：指出下列各谓词公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的约束情况。 (2) x y (R (x, y) L (y, z) xH (x, y),在 xH (x, y)中，x为指导变项， 的辖域为H (x, y)，其中x约束出现1次，y自由出现1次。,2018/4/23,离散数学,34,在 x(F (x) xH (x, z) yL (x, y)中，x为指导变项，的辖域为F (x) xH (x, z) yL (x, y)，x约束出现3次，y 约束出现1次， z自由出现1次。,解： xH (x, z)中，x为指导变项， 的辖域
21、为H (x, z)，x 约束出现，z自由出现。,一、谓词公式的概念（续）,例5：指出下列各谓词公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的约束情况。 (3) x(F (x) xH (x, z) yL (x, y) H (x, y),在 yL(x, y)中，y为指导变项， 的辖域为L(x, y)，其中x自由出现，y 约束出现。,2018/4/23,离散数学,35,能避免有的个体变项既可约束出现又可自由出现。,对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号不同的变项符号去代替，且处处代替。,二、谓词公式的改写,1、换名规则：2、代替规则：,将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，
22、改成另一个辖域中未曾出现过的个体变项符号，公式的其余部分不变。,2018/4/23,离散数学,36,(b)先换名： x(F(x) uH(u, z) yL(x, y) H(x, y) 后代替： x(F(x) uH(u, z) yL(x, y) H(s, t),二、谓词公式的改写（续）,例6：对下列谓词公式使用换名规则或代替规则。 (a) x y (R (x, y) L (y, z) xH (x, y)； (b) x(F (x) xH (x, z) yL (x, y) H (x, y)。,解：(a)先换名： x y(R (x, y) L (y, z) uH (u, y) 后代替： x y(R (x
23、, y) L (y, z) uH (u, v),2018/4/23,离散数学,37,三、谓词公式的解释,对谓词公式中包含的个体变项、命题变项及函数变项分别用特殊的个体常项、命题常项及函数常项取代，构成对谓词公式的解释I。,解释I 的组成部分：(a) 非空个体域 D ； (b) D中一部分特定元素； (c) D上一些特定的函数； (d) D上一些特定的谓词。,2018/4/23,离散数学,38,例7：给定解释I ：(a) DI = 2, 3；(b) DI中特定元素a = 2；(c) 函数f (x)为f (2) = 3, f (3) = 2；(d) 谓词F (x)为F (2) = 0, F (3)
24、 = 1；G(x, y)为G(i, j) = 1, i, j = 2, 3；L (x, y)为L (2, 2) = L (3, 3) = 1；L(2, 3) = L(3, 2) = 0。在解释I 下，求下列各式的真值。,三、谓词公式的解释（续）,(1) x (F (x) G (x, a)； (2) x (F (f (x) G (x, f (x)； (3) x y L (x, y)。,解：(1) x (F (x) G (x, a), (F (2) G (2, 2) (F (3) G (3, 2), (0 1) (1 1), 0 1, 0,解题思想：若个体域为有限集，如D = a1, a2, ,
25、an，则 xA(x) A(a1) A(a2) A(an) xA(x) A(a1) A(a2) A(an)从而谓词公式的真值等价于命题公式的真值。,2018/4/23,离散数学,39,例7：给定解释I ：(a) DI = 2, 3；(b) DI中特定元素a = 2；(c) 函数f (x)为f (2) = 3, f (3) = 2；(d) 谓词F (x)为F (2) = 0, F (3) = 1；G(x, y)为G(i, j) = 1, i, j = 2, 3；L (x, y)为L (2, 2) = L (3, 3) = 1；L(2, 3) = L(3, 2) = 0。在解释I 下，求下列各式的真
26、值。,三、谓词公式的解释（续）,解：(2) x (F (f (x) G (x, f (x), (F(f (2) G(2, f (2) (F(f (3) G(3, f (3), (F(3) G(2, 3) (F(2) G(3, 2), (1 1) (0 1), 1 0, 1,2018/4/23,离散数学,40,例7：给定解释I ：(a) DI = 2, 3；(b) DI中特定元素a = 2；(c) 函数f (x)为f (2) = 3, f (3) = 2；(d) 谓词F (x)为F (2) = 0, F (3) = 1；G(x, y)为G(i, j) = 1, i, j = 2, 3；L (x,
27、 y)为L (2, 2) = L (3, 3) = 1；L(2, 3) = L(3, 2) = 0。在解释I 下，求下列各式的真值。,三、谓词公式的解释（续）,解：(3) x y L (x, y), ( y L (2, y) ( y L (3, y), (L (2, 2) L (2, 3) (L (3, 2) L (3, 3), (1 0) (0 1), 1 1, 1,2018/4/23,离散数学,41,例8：给定解释N 如下：(a) DN 为自然数集合；(b) DN中特定元素a = 0；(c) DN 上特定函数 f (x , y) = x + y，g (x , y) = x y；(d) DN
28、 上特定谓词F(x , y)为x = y。在解释N 下，下列公式那些为真？那些为假？ (1) xF (g (x, a), x)；,三、谓词公式的解释（续）,(2) x y (F (f (x, a) , y) F (f (y, a) , x)； (3) x y z F (f (x, y), z) (4) F (f (x, y), f (y, z),因此(1)为假命题, x(0 = x),解：在解释N 下，(1) xF (x 0, x),2018/4/23,离散数学,42,解：在解释N 下，(2) x y (F (x, y) F (y, x),例8：给定解释N 如下：(a) DN 为自然数集合；(
29、b) DN中特定元素a = 0；(c) DN 上特定函数 f (x , y) = x + y，g (x , y) = x y；(d) DN 上特定谓词F(x , y)为x = y。在解释N 下，下列公式那些为真？那些为假？ (2) x y (F (f (x, a) , y) F (f (y, a) , x) ；,三、谓词公式的解释（续）,因此(2)为真命题, x y (x = y y = x),2018/4/23,离散数学,43,解：在解释N 下，(3) x y z F (x + y, z),例8：给定解释N 如下：(a) DN 为自然数集合；(b) DN中特定元素a = 0；(c) DN 上
30、特定函数 f (x , y) = x + y，g (x , y) = x y；(d) DN 上特定谓词F(x , y)为x = y。在解释N 下，下列公式那些为真？那些为假？ (3) x y z F (f (x, y), z) ；,三、谓词公式的解释（续）,因此(3)为真命题, x y z (x + y = z),2018/4/23,离散数学,44,解：在解释N 下，(4) F (x + y, y + z),例8：给定解释N 如下：(a) DN 为自然数集合；(b) DN中特定元素a = 0；(c) DN 上特定函数 f (x , y) = x + y，g (x , y) = x y；(d)
31、DN 上特定谓词F(x , y)为x = y。在解释N 下，下列公式那些为真？那些为假？ (4) F (f (x, y), f (y, z) ；,三、谓词公式的解释（续）,真值不确定，因此(4)不是命题, x + y = y + z,2018/4/23,离散数学,45,四、谓词公式的类型,闭式：设A为任一谓词公式，若A中无自由出现的个 体变项，则称A是封闭的谓词公式，简称闭式。,闭式在各种解释下一定是命题，但反之不然。,谓词公式的类型： 设谓词公式A ，若A在各种解释下都是真的，则称A为逻辑有效式（或永真式）；,若A在各种解释下都是假的，则称A为矛盾式；,若至少存在一个解释使A为真，则称A为可
32、满足式。,2018/4/23,离散数学,46,四、谓词公式的类型（续）,代换实例：设A0是含命题变项 p1 , p2 , , pn的命题公 式，A1 , A2 , , An是n 个谓词公式，用Ai 处处代 换pi ，所得谓词公式 A称为A0的代换实例。如：F (x) G (x)， xF (x) y G (x, y)， xF (x) y G (x, y)都是p q的代换实例； xF (x) (x y G (x, y) xH (x，y)是p (q r)的代换实例,命题公式中重言式的代换实例是逻辑有效式，矛盾式的代换实例是矛盾式,可满足式的代换实例是可满足式。,2018/4/23,离散数学,47,(
33、1) 解：若 xF (x)为真，则任意的x D都有F (x)为真，则 xF (x)为真，于是 xF (x) xF (x)为真。因此公式是逻辑有效式。,(2) 解：p (q p)是重言式，所以(2)为逻辑有效式。,(3) 解： ( p q ) q是矛盾式，所以(3)是矛盾式。,(2) xF (x) (x y G (x, y) xF (x)； (3) (F (x, y) R (x, y) R (x, y)； (4) x y F (x, y) x y F (x, y)。,四、谓词公式的类型（续）,例5：判断下列公式的类型。 (1) xF (x) xF (x)；,p q,p (q p), ( p q
34、) q,2018/4/23,离散数学,48,(2) 解：p (q p)是重言式，所以(2)为逻辑有效式。,(3) 解： ( p q ) q是矛盾式，所以(3)是矛盾式。,(4) 解：设DI 为实数集，F (x, y)为x + y = 0，则前件化为x y (x + y = 0)为真；后件为 x y (x + y = 0)为假，蕴涵式为假。,(2) xF (x) (x y G (x, y) xF (x)； (3) (F (x, y) R (x, y) R (x, y)； (4) x y F (x, y) x y F (x, y)。,四、谓词公式的类型（续）,例5：判断下列公式的类型。 (1) x
35、F (x) xF (x)；,p q,p (q p), ( p q ) q,p q,所以(4)为非逻辑有效的可满足式。,2018/4/23,离散数学,49,内容：一阶逻辑等值式，前束范式。重点：掌握基本等值式，(量词否定等值式，量词辖域收缩与扩张等值式，量词分配等值式)的内容。一般：使用基本等值式进行等值演算。了解：前束范式的定义和求法。,2.3 一阶逻辑等值式,2018/4/23,离散数学,50,一、谓词演算中常见的等值式,24个常用的命题演算等值式(P9)及其代换实例都是谓词演算中的等值式。,例如： xA (x) xB (x) xA (x) xB (x) xH (x, y) ( xH (x,
36、 y) 0,2.3 一阶逻辑等值式,等值式：设A、B是两个任意的谓词公式，若A B 是逻辑有效式，称A与B是等值的。记作： A B，并称A B为等值式。,2018/4/23,离散数学,51,(1) xA (x) x ( A (x)(2) xA (x) x ( A (x),量词否定等值式,实例: “不是所有在北京工作的人都是北京人” “存在在北京工作的非北京人”;,一、谓词演算中常见的等值式（续）,“不存在永远不犯错的人” “所有的人都会犯错”。,2018/4/23,离散数学,52,(1) x(A (x) B) xA (x) B(2) x(A (x) B) xA (x) B(3) x(A (x)
37、 B) xA (x) B(4) x(B A (x) B xA (x)(5) x(A (x) B) xA (x) B(6) x(A (x) B) xA (x) B(7) x(A (x) B) xA (x) B(8) x(B A (x) B xA (x),量词辖域收缩与扩张等值式,一、谓词演算中常见的等值式（续）, x(A(x) B), xA (x) B, xA (x) B, x( A (x) B, x( A (x) B),2018/4/23,离散数学,53,(1) x(A (x) B (x) xA (x) xB (x)(2) x(A (x) B (x) xA (x) xB (x),量词分配等值式
38、,一、谓词演算中常见的等值式（续）,注意： 对 ， 对 都不存在分配等值式。,(1) x yA (x, y) y xA (x, y)(2) x yA (x, y) y xA (x, y),多量词等值式,注意：其他情况下量词换序后一般不等值。,2018/4/23,离散数学,54,二、常见等值式的应用,前束范式：设A为任一谓词公式，若A具有如下形式： Q1 x1 Q2 x2 Qk xk B 则称A是前束范式。其中Qi(1 i k)为 或 , B为不含量词的谓词公式。,例： x y z(L (x, y) F(z)是前束范式， 但 x y (L (x, y) z F(z), x(F (x) G (x)
39、 不是前束范式。,谓词逻辑中，任何谓词公式的前束范式都存在，但一般不唯一。,2018/4/23,离散数学,55,例6：求下列公式的前束范式。 (1) xF (x) xG (x) (2) xF (x) xG (x) (3) xF (x) xG (x) (4) ( xF (x) yG (y) xH (x) (5) ( xF (x, y) yG (y) xH (x , y),解题步骤:(1) 消去除 外的所有 联结词；(2) 将 深入到谓词符号前；(3) 使所有约束变项符号不 同，自由变项与约束变 项符号也不同；(4) 扩大量词辖域至整个公 式。,二、常见等值式的应用（续）,2018/4/23,离散
40、数学,56,二、常见等值式的应用（续）,例6：求下列公式的前束范式。 (1) xF (x) xG (x) (2) xF (x) xG (x),解：(1) xF (x) x( G (x), x(F (x) G (x),解：(2) xF (x) x( G (x), xF (x) y( G (y), x(F (x) y( G (y), x y(F (x) G (y),2018/4/23,离散数学,57,二、常见等值式的应用（续）,例6：求下列公式的前束范式。 (3) xF (x) xG (x),解：(3) xF (x) xG (x), x( F (x) xG (x), x ( F (x) yG (y
41、), x y( F (x) G (y),2018/4/23,离散数学,58,二、常见等值式的应用（续）,例6：求下列公式的前束范式。 (4) ( xF (x) yG (y) xH (x),解：(4) ( xF (x) yG (y) xH (x), ( xF (x) yG (y) xH (x), ( x( F (x) y( G (y) xH (x), ( x( F (x) y( G (y) zH (z), x y z( F (x) G (y) H (z),2018/4/23,离散数学,59,二、常见等值式的应用（续）,例6：求下列公式的前束范式。 (5) ( xF (x, y) yG (y) xH (x , y),解：(5) ( xF (x, y) yG (y) xH (x , y), ( xF (x, y) yG (y) xH (x , y),
