1、等差数列与等比数列的性质- 1 -等差数列等差数列的概念定 义 式： ，或 .*),2(1 Nndan 为 常 数 ， *)(1Nndan递 推 式： .*)N等差中项：任何两个数 都有且仅有一个等差中项 .b, A2b通项公式： ， （广义）.dnan)1(1dmnan)(特征： ，其中 .kbk1,前 n 项和： .Snnn 2)(2)(2)(11特征： ，其中 .BAn,1daBA注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中 项、等差数列通项公式的特征、前 n 项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的 证明必须根据定义式.2.对任何数列，都有 .*,2 ,11NnSa
2、nn等差数列的性质1. 若 为等差数列，则 .nadmnan)(*),(2. 若 为等差数列，且 ，则 .Nqpqpnmaa3. 若 为等差数列， ，则 . n 项 数中 间 项 )12(12 Sn4. 若等差数列 共有 项，则 ； .na中偶奇 aSnS1偶奇5. 若等差数列 共有 项，则 ； .n2nd奇偶 n1奇偶等差数列与等比数列的性质- 2 -6. 若 为各项均不为零的等差数列，前 n 项和为 ，则 .na ,nS121nmSamn7. 若 、 均为各项非零的等差数列，前 n 项和分别为 ，则 .nb nT,12nb8. 在等差数列 中，若 ，则 .na)(,manm0ma9. 在等
3、差数列 中，若 ，则 .S)(Sn10.在等差数列 中，若 ，则 .n )(n11.若 为等差数列，则 仍为等差数列，其中 和 是常数.nabkakb12.若 、 为等差数列，则 仍为等差数列.bn13.若 为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若 为等差数列， 为n nanb正整数等差数列，则 为等差数列.nba14. 为数列 的前 n 项和，则 为等差数列 为等差数列.nSnnS15.若 为等差数列，则 依次 项和仍为等差数列，即 仍为aak .,232kkkS等差数列.等比数列等比数列的概念定 义 式： ，或 .*),20(1 Nnqan 常 数 *)(1Nnqan递 推 式：
4、.*)等比中项：两个同号的实数 才有但有两个等比中项 .ba, Gb通项公式： ， （广义）.1nnqamnq前 n 项和：当 时， ，1S当 时， .1 111 )()( qaqaa nnnnn等差数列与等比数列的性质- 3 -特征： .)0(1AqSnn注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质1. 若 为等比数列，则 .namnnqa*),(N2. 若 为等比数列，且 ，则 .),qpqpnma3. 若 为等比数列，则 仍为等比数列，其中 是非零常数.nnkk4. 若 为等比数列，则当 恒有意义时 仍为等比数列，其中 是任意常数.aanak5. 若 、 为等比数列，
5、则 、 仍为等比数列.nbnb6. 若 为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若 为等比数列， 为a nanb正整数等差数列，则 为等比数列.nba7. 为正项数列 的前 n 项积，则 为等比数列 为等比数列.nTnanT8. 若 为等比数列 的前 n 项和，且 ，则 依次 项和仍为等比数列，kS0kSak即 仍为等比数列.,232kkS注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入 .等差数列与等比数列的联系1. 非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。2. 等差数列与等比数列可以相互转化.事实上，若 是等比数列，则 是等差数nancalo
6、g列；若 是等差数列，则 是等比数列，其中 是常数，且 .nanacc1,0c3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的运算有类似的性质.等差数列与等比数列的性质- 4 -等差、等比数列性质配套练习一、选择题：1. 在正整数 500 至 1000 之间能被 11 整除的个数为 （ ）A.34 B.35 C.36 D.372等差数列 an的公差为 ,S100=145,则 a1+a3+a5+a99的值为 ( )21A.60 B.85 C. D.75243. 设函数 f(x)满足 f(n+1)= (nN*)且 f(1)=2,则 f(20)为 （ 2)(nf）
7、A.95 B.97 C.105 D.1924. 若 是等差数列，首项 ，则使前 n 项和na ,0,0,021211 aaa成0nS立的最大自然数 n 是 （ ）A4021 B4022 C4023 D40245. 在等差数列 中，若 ,则 n 的值为 （ na30,24,189nnaS）A.14 B.15 C.16 D.176已知数列 an，如果 a1,a2-a1， a3-a2， an-an-1，是首项为 1，公比为 的等比数列，3则 an (nN*) 等于 （ ）A. B. C. D.)312n)31(2n)31(2n)31(2n7已知数列前 n 项和 Sn=2n-1(nN*)，则此数列奇数
8、项的前 n 项和为 ( )A. B. C. D.)(1 )(1)(22n8若正数 a、 b、 c 依次成公比大于 1 的等比数列，则当 x1 时，log ax、log bx、log cx ( )A.依次成等差数列 B.依次成等比数列C.各项的倒数依次成等差数列 D.各项的倒数依次成等比数列9正项等比数列a n的首项 a1=2-5，其前 11 项的几何平均数为 25,若前 11 项中抽取一项后的几何平均数仍是 25,则抽去一项的项数为 ( )等差数列与等比数列的性质- 5 -A.6 B.7 C.9 D.1110 已知 x、 y 为正实数，且 x， a1,a2,y 成等差数列， x,b1,b2,y
9、 成等比数列，则 的取21)(ba值范围是 ( )A.R B.(0, C.4,+ D.(-,04,+)4二、填空题：11.在等差数列 中,若 ,则 等于_. na6015s8a12.在等差数列 中, , ,则使它的前 n 项和 取最大值的自然数 =_ _ .2 nSn13.等差数列 , 的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 = ,则 =_ _.nabnT132ba14.在等比数列 中, ,则 的值等于_.n2184513b15.设 为公比大于 1 的等比数列，若 是方程 的两根，则na2019,a03842x_ _.20116.某等比数列中, 前 7 项和为 48, 前 14 项和为 60,则
10、前 21 项和为_. 17.已知 ，当 ,则 _.)(xf *),2)(,11Nnxfn 201x三、解答题：18.在等差数列 中，若 a1=25 且 S9=S17,问：数列 前多少项的和最大？n na等差数列与等比数列的性质- 6 -19.若数列 的前 n 项和 =- (nN*)，求数列|a n|的前 n 项和 .anS2173n T20.若等比数列 的公比 ,又 ,求使na1q247a nnaaa11221 成立的自然数 n 的取值范围.21.在某两个正数之间插入一个数 a,则三数成等差数列，若插入二个数 b,c,则四数成等比数列.(1)求证:2 a b+c;(2)求证:( a+1)2( b+1)(c+1).等差数列与等比数列的性质- 7 -22.已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 , .anS)2(021nSan 1a(1)求证： 是等差数列；（2）求 表达式.nS1n
