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类型第十一章 数系的扩充与复数.doc

  • 上传人:myk79025
  • 文档编号:7794429
  • 上传时间:2019-05-26
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    第十一章 数系的扩充与复数.doc
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    1、第十一章 数系的扩充与复数11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数:形如 的数( ) ,复数通常有小写字母 表示,即 ,其bia,Rzbiaz中 叫做复数的实部、 叫做复数的虚部, 称做虚数单位.i2. 分类:复数 ( )中,当 时,就是实数;除了实数以外的数,即当i,0bb 时, 叫做虚数;当 ,b 时,叫做纯虚数.0baa3. 复数集:全体复数所构成的集合.4. 复数相等:如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等,记作: =idic bia.dic5. 复平面、实轴、虚轴:建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内, 轴叫做实x轴, 轴叫做虚轴.y6. 复数的模:设 = ,则向

    2、量 的长度叫做复数 的模(或绝对值) ,记作ozbiaozbia.bia(1) ;2iz(2) = ;211z(3) ;2z7共扼复数:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小,而不全是实数的两个复数不能比较大小2 则 ,而 ,则 不一定成立,如 时 ;,Rz02Cz02ziz0123 ,而 则 不一定成立;4若 不一定能推出 ;,321z)()(2321zz 321z5若 ,则 = ,但若 则上式不一R,221214,Cz定成立.三、经典例题导讲例 1两个共扼复数的差是( ).实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数ABCD错解:当

    3、得到 时就错误的选 B,忽略了 b 可以为零的条件.biz2正解:设互为共扼的两复数分别为 及 则 或iaz),(Raizbiz2iz当 时, , 为纯虚数0bz当 时, , ,因此应选 D.0z注:要认真审题,看清题设条件,结论. 学会全面辩证的思考问题,准确记忆有关概念性质.例 2判断下列命题是否正确(1)若 , 则Cz02z(2)若 且 ,则212121z(3)若 ,则baib错解:(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中,从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数,也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(

    4、3)把不等式性质错误的推广到复数中,忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解:(1)错,反例设 则iz012i(2)错,反例设 , ,满足 ,但1iz2 0121z1z2不能比较大小.(3)错, , ,故 , 都是虚数,不能比较大小.baR,iab例 3实数 分别取什么值时,复数 是(1)实数;a iz)152(362(2)虚数;(3)纯虚数.解:实部 ,虚部 .3)(2362aa )5(3152aa(1)当 时, 是实数;z(2)当 ,且 时, 是虚数;z(3) 当 或 时是纯虚数例 4 设 ,当 取何值时,izRmimz 35),(34()32( 221 m(1) ; (2) .01z分析

    5、:复数相等的充要条件,提供了将复数问题转化为实数问题的依据,这是解复数问题常用的思想方法,这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程,求出 的值解:(1)由可得: 解之得 ,3452m4即:当 时 (2)当 可得:或 ,即 时 .01z例 5 是两个不为零的复数,它们在复平面上分别对应点 P 和 Q,且 ,21,z 02421zz证明OPQ 为直角三角形( O 是坐标原点),并求两锐角的度数分析 本题起步的关键在于对条件 的处理等式左边是关于 的二次02421zz 21,z齐次式,可以看作二次方程求解,也可配方解:由 ( ,不为零), 得02421zz3sincos21418322

    6、zzii即向量 与向量 的夹角为 ,OPQ在图中, ,又 ,设 ,3|21|zrz2|,|1在OPQ 中,由余弦定理OPQ 为直角三角形,四、典型习题导练1. 设复数 z 满足关系 ,那么 z 等于( )iz2|A B C D2.复数系方程 有实数根,则这个实数是 .06)1()(2ixii _3. 实数 m 取何值时,复数 是(1)纯虚数;(2)在复平面上的对应点位于第二象限4.已知 且 求复数zzf)( ,3)(ifz5.设复数 满足 且 在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上,5i43求 的值),(2Rm和11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几

    7、何意义复数 是以 、 为两邻边的平行四边形对角线 所对应的复数.21z1oz2 oz(2)复数减法的几何意义复数 是连接向量 、 的终点,并指向被减数的向量 所对应的复数.211OZ2 212. 重要结论(1) 对复数 z 、 、 和自然数 m、n,有12, ,nmznz)( nzz2121)(2) , , , ;i12i34, , , .4n4niin34n(3) , , .i2)1(i1(4)设 , , , , ,231i22012n301nn二、疑难知识导析1.对于 ,是复数运算与实数运算相互转化的主要依据,也是把复数2zz看作整体进行运算的主要依据,在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进

    8、行复数的运算时,不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论.当 时,不总是成立的.Cz(1) ;),()(为 分 数 时 不 成 立nmn(2) ;1时 不 成 立zzm(3) ;),(002221 是 虚 数 时 不 成 立z(4) ;)(为 虚 数 时 不 成 立z(5) )(为 虚 数 时 不 成 立zaa三、经典例题导讲例 1 满足条件 的点的轨迹是( )512ziA.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆错解:选 A 或 B.错因:如果把 看作动点 Z 到定点(0,2)的距离,由上式表示到两个定点(0,2)与iz(-1,0)的距离之和为常数 5动点的轨迹符合椭圆的定义,但是,

    9、有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解: 点(0,2)与(-1,0)间的距离为 ,5动点在两定点(0,-2)与(-1,0)之间,选 C评注:加强对概念的理解加深,认真审题.例 2 求值: .)1(6nnii错解:原式= 13682)( nii82时 , 原 式当 n3时 , 原 式当错因:上面的解答错在没有真正理解 的含义,只是用了三个特殊整数代替了所有Zn整数,犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位 的整数幂的运算不熟悉,i没有掌握虚数单位 整数幂的运算结果的周期性.i正解:原式= ni)1(6= 38)2(nii=).4(8,3)(2),(knii)( 为 非 负 整

    10、数评注:虚数单位 整数幂的值具有以 4 为周期的特点,根据 必须按被 4 整除余i 时 ,求 ni数为 0、1、2、3 四种情况进行分类讨论.例 3已知 ,求 的值.iz3201zz分析:结论是等比数列的求和问题,所以应联想到求和公式 ,若直接qaSnn1)(将条件代入求和公式,则显得较为麻烦,不妨先将条件化简.iiiz 2314)(231原式= 0167*320z评注:由于数列中的数可以是复数,所以数列的诸性质在复数集中仍成立.例 4 (06 年上海春卷)已知复数 满足 为虚数单位) ,wi()23(4w,求一个以 为根的实系数一元二次方程.|2|5wzz解法一: , i2134,i34)i

    11、1( . |i25z若实系数一元二次方程有虚根 ,则必有共轭虚根 . i3z i3z,10,6zz所求的一个一元二次方程可以是 . 0162x解法二:设 ibawR)(、,234i得 ,1, i2以下解法同解法一.例 5 .2是 实 数 , 且是 虚 数 ,设 zz.的 实 部 的 取 值 范 围的 值 及求解析 是 虚 数zyixi1)(1可 设iyxxiyi )()( 222 ,0是 实 数 , 且1,012yx即,1z此 时22x得由 )1,(, 的 实 部 的 范 围 是即 zx四、典型习题导练1 (06 年四川卷)非空集合 关于运算 满足:(1)对任意 ,都有 ; G,abGab(2)存在 ,使得对一切 ,都有 ,则称 关于运算 为eae“融洽集” ;现给出下列集合和运算: ,G非 负 整 数 为 整 数 的 加 法 偶 数 为 整 数 的 乘 法 ,平 面 向 量 为 平 面 向 量 的 加 法 二 次 三 项 式 为 多 项 式 的 加 法 ,虚 数 为 复 数 的 乘 法其中 关于运算 为“融洽集”_; (写出所有“融洽集”的序号)G2. _)1(93i3计算4.计算 5解下列方程:(1) ;(2) .

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