1、 第 1 页 共 3 页组合数求和问题剖析一、逆用二项式定理：例 1：(2005 ，天津) 设 = .232n-1nnN*,C6+6A1则解：设 1232n-1nn3n012nnnS=C+6+6C ()7-1S= =66AA则 原 式规律总结：对于形如 (其中 组成等比数列)012nnnaccaA012,naA的求和问题，均可逆用二项式定理来解。二、赋值法：例 2：求证： 0123nnnC+C=2 045n=AA证明：在012012()n nnn令 01230246135 () (1)n nnnnnabCCCAA、 得 ：规律总结：在二项式定理 中令01() +nnrnnababbA取一些特殊
2、值可以解决形如 的求和问题。ab、 0nnA三、倒序相加法例 3：求 的值。012nnnC+5(+1)CA解：设第 2 页 共 3 页规律总结：因为组合数中012nnn-m-n1210nnn0-121nnnnS=C+35(+)C,=()53+ (-)S=+5()2(AA又 0nC+=2)1原 式成立，与等差数列具有类似的性质，因此对于形如：mn-= S=0nc+a1(其中 成等差数列)的式可求和均可利用倒序相加的方法。2nc+aAn01,naA、四、逐项合并法：例 4：求 的值。33345650C+C解：原式 =A43335650543365044751()+C=C29A规律总结：利用 可求形
3、如： 的值。m-1nn+mm+12nC()A五、裂项相消法：例 5：同例 3，由 得：-1nn+-1n+n=24444445657650951051=C+(-)(C)()()()=290A原 式规律总结：对于组合数的性质 的应用，除了正用外，还要注意逆m-1nn+用及变形用即： 正用是合并项，而逆用m-1-m1n+11n+,=,C=-和变形用 把一项拆为两项。六、利用 求和：k-1nKC=c例 6：求 02nn+3(+)A解 1：利用倒序相加法。解 2： 012n12n012n-1nnnnn=(C)(C+)=(C+C)AA原 式第 3 页 共 3 页n-1n-1=2+(2)A七、构造法：例 7
4、：求证： 0k1-k0nmnm+nCC=(,)证明 1：构造排列组合数，这件事可这样来做，将 n+m 个元素分为两类，一类中含有 n 个元素，另一类中含有 m 个元素，不含第一类元素的取法有含 K 个第一类元素的取法有 种不同取法；又由组合定k-1m,Ak0nC义，从 m+n 个不同元素中取出 K 个元素的组合数为 所以原式成kn+m,立 。证明 2：构造二项式定理：利用 的展开式中 项的系数来nm+n(1+x)=(1x)kx证。 的系数为：nmk(1+x)中的系数为0k-0m+nknmnCC()A而 中故原式成立。+()=1x又规律总结：此法适用于各项为二个组合数的积，其中各项中组合数下标只出现两个自然数，各项中两个组合数的上标之和为常数，且一个上标由0 依次递增到此常数，另一上标由此常数依次递减为 0 的组合数的求和问题。总之，求含有组合数的数列和要灵活动用二项式定理及组合数的性质。
