1、1第七章 微分方程一、填空题（每空 4 分）（1）微分方程 满足 的特解为3()20yxdy165x.35yx【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【解 1】原方程变形为 ,21dyxx先求齐次方程 的通解:02yx1d积分得 lnln2yxcycx设 为非齐次方程的通解,代入方程得()ycx211()()()2xccx从而 , 321()cx积分得 ,35221()xdCx于是非齐次方程的通解为 53211()5yxx,16xC故所求通解为 .35y【解 2】原方程变形为 ,21dyxx由一阶线性方程通解公
2、式得21122dxdxyeeC11lnln22xx3522dC,6(1)15y从而所求的解为 .3x（2） 微分方程 满足 的解为 .xyln2 91)(y91ln3xy【分析】直接套用一阶线性微分方程 的通解公式：)(xQP， )()()( CdxeQeyPdxP再由初始条件确定任意常数即可.【解】 原方程等价为，xyln2于是通解为 ln1l 2CxdCdeeyxdx= ，291ln3由 得 C=0，故所求解为91)(y .91ln3xy【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为，即 ，两边积分得xyxl22 xyl22，Cd33
3、91ln再代入初始条件即可得所求解为 .xy（3） 微分方程 满足初始条件 的特解为 .0x2)1(y2xy【分析】 直接积分即可.【解】 原方程可化为 ，积分得 ，)(yCx代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2.3【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形，xdy再积分求解.（4） 微分方程 的通解是(1) e(0).xyC【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【解】 原方程等价为，d1yx两边积分得 ，整理得1lnC.（ ）exy（5）微分方程 满足 的特解为 .3d2y1xln1xy【分析】本题为齐次方程的求解，可令 .u【解】令 ，则原方程变为yux.3d1
4、d22xu两边积分得，2lnlxC即 ，将 代入左式得 ，221eeyuxxC1xeC故满足条件的方程的特解为 ，即 ， .2eyln1x1（6）微分方程 满足条件 的解是 . 0xy1y【解】： 由 所以 ，又 ，所以,lndyxx()1yx（7）微分方程 通解是 .2()0xyedxyeC【解 】 ， ，1PxQe411dxdxyeeCxxedeC（8）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为0yab，则非齐次方程 满足条件 的通12()xyCex()2,()0y解为 。【解】 由 ，得二阶常系数线性齐次微分方程12()xyCe的特征值 ，故 a=-2,b=1，要求解的微分方程为0yab12
5、。2x设特解 代入微分方程为 ，得出-2A+Ax+B=x,A=1,B=2,0yAByx故微分方程为的 特解 ，通解为 2yx212()xyCe代入初始条件 ，得 ，要求的解为(),(0)10,C二选择题（每小题 4 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）已知 是微分方程 的解，则 的表达式为xyln)(yx )(yx（A） (B) .2.2x(C) (D) A .2yx.2y【分析】 将 代入微分方程，再令 的中间变量为 u，求出 的ln)(表达式，进而可计算出 .)(yx【解】将 代入微分方程 ，得xyln)(yx，即 .)(lnl1l2
6、xx2ln1l5令 lnx=u，有 ，故 = 应选(A).21)(u)(yx.2【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.三、简答题1、 （本题满分 12 分）设函数 y=y(x)在 ),(内具有二阶导数，且 )(,0yxy是 y=y(x)的反函数.(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 )(sin(32dydyx变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 2)0(,)(的解.【分析】 将 dyx转化为 比较简单， dyx= 1，关键是应注意：)(2yx= yx)1(= 3
7、2)(.然后再代入原方程化简即可.【解】 (1) 由反函数的求导公式知 ydx1，于是有)(2dyx= )1(= 32)(.代入原微分方程得.sinxy ( * )(2) 方程( * ) 所对应的齐次方程 0y的通解为.21xxeCY设方程( * ) 的特解为BAysinco*，6代入方程( * )，求得 21,0BA，故 xysin21*，从而 xysin的通解是.i21*eCyYxx由 23)0(,)(y，得 ,. 故所求初值问题的解为.sinxex【评注】 本题的核心是第一步方程变换：利用直接函数与反函数的关系。2、 （本题满分 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 )0(yx绕 y
8、轴旋转而成的旋转曲面（如图） ，容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求，当以 min/3的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 2的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 )(y之间的关系式；(2) 求曲线 )(yx的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)【分析】 液面的面积将以 min/2的速率均匀扩大，因此 t 时刻液面面积应为： t2，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出 t 与)(y之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知 t 时刻的液体体积为 3t，它们之间也可建立积
9、分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【解】 (1) 设在 t 时刻，液面的高度为 y，则由题设知此时液面的面积为ty4)(2, 从而 .4)(2y(2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 .12)(3)(02ytduy上式两边对 y 求导，得)(6)(2，即 ).(6)(解此微分方程，得yCe6)(，其中 C 为任意常数，由 20知 C=2,7故所求曲线方程为.26yex【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解。3、 （本题满分 9 分）设 y=f(x) 是第一象限内连接点 A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，
10、点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形 OCMA的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 316，求 f(x)的表达式.【分析】 梯形 OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形 CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.【解】 根据题意，有316)()(121xdtffx.两边关于 x 求导，得.2)(2)( xfff当 0时，得.1)(1)(xfxf此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y)(121Cdxeexfdx A= ln2lnxx M= )1(2Cdx O
11、C B x= .2当 x=0 时，f(0)=1.由于 x=1 时， f(1)=0 ,故有 2+C=0，从而 C=-2. 所以.)1(2)(2xxf4、(本题满分 8 分)设 f (u , v)具有连续偏导数，且满足 uvfvuf),(),(.8求 ),()(2xfexy所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求 y，利用已知关系 uvfvuf),(),(，可得到关于 y 的一阶微分方程.【解】 xvxuxx eyfefefe 2222 ),(),(),( ，因此，所求的一阶微分方程为 y.解得 xdxdx eCeey 2322 )1()( (C 为任意常数).【评注】 本题综合了复合函数求
12、偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是基本题型.5、 （本题满分 12 分）用变量代换 )0(costx化简微分方程 0)1(2yx，并求其满足 2,10xxy的特解.【分析】 先将 ,转化为 2,dty，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.【解】 tdxtysin1 ，)sin1(sin1ico22 tdtytt ，代入原方程，得 02ydt.解此微分方程，得 2121sincoxCttC，将初始条件 ,00xxy代入，有 ,2. 故满足条件的特解为.122y【评注】 本题的关键是将 y,转化为 2,dty，而这主要是考查复合函数求一、二阶导数.6、 （本题满分 8 分）在
13、xOy坐标平面上，连续曲线 L过点 1,0M，其上任意点,0P处的切线斜率与直线 OP的斜率之差等于 ax（常数 0）.9() 求 L的方程；() 当 与直线 yax所围成平面图形的面积为 83时，确定 a的值.【分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【解】() 设曲线 L的方程为 ()yfx，则由题设可得yax，这是一阶线性微分方程，其中 1(),()PxQxa，代入通解公式得11dd 2exxyCaxC，又 ()0f，所以 a.故曲线 L的方程为 2yx(0).() 与直线 （ ）所围成平面图形如右图所示. 所以 220dDaxx48
14、3a，故 2.【评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基本题型.7、 (本题满分 10 分)设函数 (fx具有连续的一阶导数，且满足 220()()dxftftx，求 ()fx的表达式 .【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对 x 求导，再积分即可.【解】由方程可得 (0)f. 方程两边对 求导得0()2d2()2()xftfxf ，此为一阶线性方程，解之得22d2d()ee1xxxf C，将 (0)f代入上式得 1C，故 2()1xf.10【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.8、 （本题满分 10 分）设非负函数 y=y(x)(x0)，满足微分
15、方程 20xy，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。【解】解微分方程 20xy得其通解 21yCx，其中 12,C为任意常数，又因为 ()通过原点时其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为 2，于是可得 10C122312000()()()Cyxdxdx，从而 23C于是，所求非负函数 y又由 23yx可得，在第一象限曲线 ()yfx表示为 1()3y于是 D 围绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 15V，其中552100 01 9.(3)(23998Vxdydydy 37869、 （本题满分 12
16、 分）设 y=y(x)是区间 (,)内过点 (,)2的光滑曲线，当 0x时，曲线上任一点处的发现都过原点，当 0x时，函数 y(x)满足 y。求 y(x)的表达式。【解】由题意，当 时， y，即 ydx，得 2xc，又 ()2y代入 2yxc得 2，从而有 22xy当 0x时， 0得 y的通解为 12cosinx令解为 1yAb，则由 0+Ax+b+x=0，得 A=-1,b=0，故 x，得 yx的通解为 12cosinyxx11由于 y=y(x)是 (,)内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续于是由 y(0-)=,y(0+)= 1c，故 = 时，y=y(x) 在 x=0 处连续又当 x时，有
17、 2.0xy，得 ()0xy，当 0时，有 12sincos1x，得 21c由 ()y= 得 2c=0，即 故 y=y(x)的表达式为2,0osin,xyx或2,0cosin,xyx，又过点 ,2，所以2i,0。10、 （本题满分 10 分）曲线 L 过点（1，1） ，L 上任一点 M（x，y）(x0)处发现斜率 2yx，求 L 的方程。【解】法线斜率为 1y，所以 211222ydxxdyxyC又由已知条件 13()C，所以 2130，所以 23xy11、 （本题满分 10 分）曲线 ()yfx满足 (0)f对于任意的 t曲线是严格递增，在 轴上 0t，该曲线与直线 ,t及 y围成一曲边梯形
18、 .该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体，其体积为 ()Vt,侧面积为 ()St.如果 ()fx二阶可导,且 ()2StV，求曲线 ()yfx.12【解】：旋转体体积 20()tVydx旋转体的侧面积 0()21)tSfxf由 201t tydxy两边求导，得 24(1)yy从而 2y，得 .所以特征方程为 20， 特征根为 1.则通解为 12xxyCe.由 21，得 4.所以 1 11(0),2xxyef由 .故该曲线方程为 2xe第十二章 无穷级数一、填空题（每空 4 分）（1）.设 ，则 = 1 .)(cos02 xnaxn 2a【分析】 将 展开为余弦级数)(xf，其系数计算公式为 .
19、)(cos02 xnaxn 0cos(2ndxfan【解】 根据余弦级数的定义，有xdxsi12cos0202 = 02 inin1x= 00 2coscscsxdxd13=1.（2）已知幂级数 在 处收敛，在 处发散，则幂级数02nnax04x的收敛域为 .03nnax【解】 由题意知 的收敛域为 ，则 的收敛域为0(2)nnax(4,00nax.所以 的收敛域为 .(2,0(3)nax(1,5（3）幂级数 的收敛半径为_ _。21nnex 1e【解】由题意知， 2(1)0na1111222 1(). . ()()nnnnn nneae ee 所以，该幂级数的收敛半径为 1e二选择题（每小题
20、 4 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设 ， ， ，则下列命题正确的是2nnap2naq,21(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛.1n1np1nq(B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛.1na1n1n(C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不定.1n1np1nq(D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不定. 1na1np1nq14 B 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【解】 若 绝对收敛，即 收敛，当然也有级数 收敛，再1na1na1na根据 ， 及收敛级数的运算性质知， 与 都2np2nq1np1
21、nq收敛，故应选(B).（2）设 为正项级数，下列结论中正确的是1na(A) 若 =0，则级数 收敛.nlim1na（B） 若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散.nlim1na(C) 若级数 收敛，则 . 1na0li2na(D) 若级数 发散, 则存在非零常数 ，使得 . B 1n nali【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【解】 取 ，则 =0，但 发散，排除(A)，nanlnalim11lnna(D)；又取 ，则级数 收敛，但 ，排除(C), 故应选(B).n11nn2li【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，而级数 发散，因此级数
22、 也发散，故0limlinan 1n1na应选(B).(3) 设有下列命题：(1) 若 收敛，则 收敛.12)(nnu1nu15(2) 若 收敛，则 收敛.1nu10nu(3) 若 ，则 发散.lim(4) 若 收敛，则 ， 都收敛.1)(nvu1nunv则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.【解】(1)是错误的，如令 ，显然， 分散，而nu)1(1nu收敛.12)(nnu(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(
23、3)是正确的，因为由 可得到 不趋向于零(n )，所以1limnuu发散 .1nu(4)是错误的，如令 ，显然， ， 都发散，而nvun1,1nunv收敛. 故选(B).1)(nvu【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.（4）若级数 收敛，则级数1na(A) 收敛 . （B） 收敛.1n 1()na(C) 收敛. (D) 收敛. D 1na112n【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【解】 由 收敛知 收敛，所以级数 收敛，故应选( ). 1n1na 112na16或利用排除法：取 ，则可排除选项（） ， （） ；1()nna取 ，则可排除选项（） .故（）项正
24、确.n（5）设有两个数列 ，若 ，则,nablim0na（A）当 收敛时， 收敛 （B） 发散时， 发散1nb1n1nb1nab（C）当 收敛时， 收敛 （D） 发散时， 发散1|n21nab1|n21n C 【解 1】 收敛，则 ，又 ，必存在 N，使当 nN|nblim|0nli|0na时 且 （极限的有界性!） ， ，立即由正项级数的直接比|2nb|na2|nb较法得到：当 收敛时， 收敛。应选(C) 。1|n21|nb【解 2】举反例：对 A 取 ，对 B 取 ，对 D 取1()nna1nab1nab三、解答题1、 （本题满分 9 分）将函数 xxf21arctn)(展开成 x 的幂级
25、数，并求级数 012)(n的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数 x1的幂级数展开 nxx21即可，然后取 x 为某特殊值，得所求级数的和.【解】 因为 ).21,(,4)(24)( 20 f nn又 f(0)= 4, 所以17dtdtffxf nxxn4)1(24)()0( 20= ).,(,12420nn因为级数 0)(n收敛，函数 f(x)在 1x处连续，所以.2,(,24)1(4)(120nxf n令 21，得 0120 12)(4)(24)( nnnf ,再由 21
26、f，得.4)21()(0fn2、 （本题满分 9 分）求幂级数12)1()(nnx的和函数 f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当 x=0 时和为 1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【解】 .1)()122nnxxxf上式两边从 0 到 x 积分，得).l()( 202dtfx由 f(0)=1, 得).1(,ln1)(xf令 0，求得唯一驻点 x=0. 由于,)1()2xf0f，18可见 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.3.（本题满分 11 分）设有方程 01nx，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根nx，并证明
27、当 时，级数 1n收敛.【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。【证】 记 .)(xfnn 由 01)(nf， 0)(nf，及连续函数的介值定理知，方程 01存在正实数根 .,nx当 x0 时， )(xfnn，可见 )(fn在 ),上单调增加, 故方程01nx存在惟一正实数根 .n由 与 0nx知xn10，故当 1时， )1(0nx.而正项级数 1n收敛，所以当 时，级数 1n收敛.【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证。4、 （本题满分 12 分）求幂级数1 2)
28、1()(n nx的收敛区间与和函数 f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为 ()2(21)lim1nnA，所以当 21x时，原级数绝对收敛，当 2x时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为（1,1）记 121()(),(,1)nnSx，则 211(),(,)nnx ，19122(),(1,)nSxxx .由于 0,(0,所以 2()arctn,1xxStdxt 200 1(rl().dx又 21),(,)nx从而 2()fxSx22arctnl(1),(1,).x【评注】 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般只开
29、区间. 而幂级数求和尽量将其转化为形如 1nx或 1n幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数.5、 （本题满分 9 分）求幂级数12)(nnx在区间(-1,1)内的和函数 S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【解】 设12)()nnxxS，121)(nn，12)(nxS，则 )(2xSx， .,由于122)(n= 2x，20)1,(,1)(221 xxxSn ,因此 x xdt021 ln)( ，又由于 1S，故.0,1,0ln21)(1 xx所以 )()(21SxS .0,1,01l2x【评注】 而幂级
30、数求和尽量将其转化为形如 1n或 1n幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数. 本题应特别注意 x=0 的情形.6、 （本题满分 12 分）将函数 2()xf展成 的幂级数. 【分析】 利用常见函数的幂级数展开式.【解】 2()()121xABfxx，比较两边系数可得 ,3AB，即121()32fxx.而 0(1),(,1)nx， 0,(2,)nx，故 1200011()()(),(1,)3232nnnnxf xx.【评注】 分式函数的幂级数展开一般采用间接法.要熟记常用函数的幂级数展开公式：21（1） 12 ),(,1nnuuu；（2） 12 )1,(,)()(nn ；（3） ),(,
31、!1!102 uunue n ；（4） ),(,)!12()!1()!3sin 02nn ；（5） ),(,)!()!2(!21co0unuun ；（6） 1,(,113)(ln 0n ；（7） ,!)()(!2)1(1 uuu 7、 （本题满分 10 分）求幂级数 1nx的收敛域及和函数 ()sx.【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记12()nnxu，则 23211()()limli()nnnxxu.所以当 2,x即 时，所给幂级数收敛；当 1时，所给幂级数发散；当 1时，所给幂级数为1()(),2nn，均
32、收敛，故所给幂级数的收敛域为 ,在 1,内， 121211()() ()nnnxxsx sx，22而 12121 2(),()n nxsxsx ，所以 11200()darctxxtt，又 1(0)s，于是 arctnsx.同理1100()()arctnxxst221arcdrtalnx xt，又 1(0)s，所以 211()rals.故 22arctnlxx. ,x.由于所给幂级数在 处都收敛，且22()rtl1s在 1 处都连续，所以 ()sx在 1成立，即 22()arctnlxx， ,x.【评注】本题幂级数是缺项幂级数，则应采用函数项级数求收敛域的方法。8、 (本题满分 10 分)设幂
33、级数 0nax在 (,)内收敛，其和函数 ()yx满足24,),01yxyy .（）证明： 2,2nna ；（II）求 ()yx的表达式.【分析】可将幂级数代入微分方程通过比较同次项系数，从而证得（） ；由（）求（II ）.【解】 （）由题设可得 1220 20,(1)(1)nnn nnyaxyaxyaxax，代入 240,(),0 ，可得20 10(1) 4nnnnaxax， 012,0a23即 20 00(1) 4nnnnaxax，比较同次项系数可得2,1nn .（II）由 012,0a， 2,12nna 可得2121231, ()!nnnan ，故 221200e!nxyx.【评注】本题
34、为一道幂级数与二阶微分方程的综合题，考查了幂级数的逐项微分法及 ex的麦克老林级数展开式. 所以需记住常见函数 ex， 1，ln(1)等函数的麦克劳林级数展开式.9、 (本题满分 10 分)将函数 21(34fx展开成 1x的幂级数，并指出其收敛区间.【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【解】 2 1()()54fxxx，而100111(),244333nnn xx ，100(),31222nnnxxxx，所以 111000()()()() 1332n nnn nxf x，收敛区间为 .【评注】请记住常见函数的幂级数展开式10、 （本题满分 10 分)设幂级数 0nax在 (,)内
35、收敛，其和函数 y(x)满足240,(,(0)1.yyy 24(I)证明： 2,12,;nna(II)求 y(x)的表达式.【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【解】 (I)记 y(x)= 0na, 则 122,(1),nnnyaxyax代入微分方程 24,y有2210(1)4,nnnnaxax即 20 00() ,nnnn ax故有 214,nnaa即 2,;n(II)由初始条件 (0)()1y知， 01,.a 于是根据递推关系式2,1nna有 2,.!na 故y(x)= 0n= 212100nnxx= 220().!nxe【评注】 本题由两部分组成，在
36、讨论第二部分时应注意利用第一部分得到的结论，最后和函数的确定利用了指数函数的幂级数展开式。11、 （本题满分 10 分）将 21fx展为余弦级数，并求 121nn 的和【解】由 ()为偶函数，则 0 (,)b对 ,n 02cosafxnd20sx20cx0sinsindx252(1)n4220(1)()3axd所以 01cosnax224()n取 0x，得 13n所以 21()n11、 （本题满分 10 分）已知连续复利为 0.05，现存入 a 万元，第一年取出 19 万元，第二年取出 28万元，第 n 年取出 10+9n 万元，问 a 至少为多少时，可以一直取下去？【解】由题得 0.50.5
37、20.5. .110.50.598(9) 9 nnnnaeeee 设 0.51()9xnfx两边求积分 0.50.5011. 1()9() 88xxnt nxnxftdede由 0x，0.5()1()xxefd对上式两边求导0.50.5229()8()(1)xxefe令 1x，则0.50.521()9()nnfxfe260.50.50.50.12.21913794.()()eea所以 至少应为 3795.12、 （本题满分 9 分）设 na为曲线 1(,2.)nyx与所围成区域的面积，记121,nnS，求 1S与 2的值。【解】曲线 yx与曲线 1nyx在点 x=0 和 x=1 处相交，11 2100()()2n nnadn ，1111limli. lim()23Nnn NSa 21 1()2n n由 2(1)l()nxx，令 x=1，得21ln(.)345S，2lS
