1、二十 染色问题(1)年级 班 姓名 得分 (编者按 :由于内容本身的限制,本讲不设填空题 )1.某影院有 31 排,每排 29 个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从 1 号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间?1 2 34 5 67 8 93.在一个正方形的果园里,种有 63 棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列( 见图 (a).守园人从小屋出发经过每一棵树 ,
2、不重复也不遗漏(不许斜走), 最后又回到小屋,行吗?如果有 80 棵果树,连小屋在内排成九行九列 (图(b)呢?(a) (b)4.一个 88 国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用 31 个 21 的“骨牌” ( 形如 )把象棋盘上的 62 个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于 45 只马,求证:至少有两只马可以 “互吃”.6.空间 6 个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成 27 个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任一个中去.如
3、果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“ 日” 字, 车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了 n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数 .9.中国象棋的马走“ 日” 字, 车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?A BA B10.中国象棋的马走“ 日” 字 ,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置 B 出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“
4、日” 字 ,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题:一只马能否从位置 B 出发,用 6 步跳到位置 A?为什么?12.中国象棋的马走“ 日” 字 ,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题:A BA BA B一只车从位置 A 出发,在这半张棋盘上走,每步走一格 ,走了若干步后到了位置 B.证明 :至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.13.88 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 22 的正方形和 9 个 41 的长方形?如果可以 ,请给出一种剪法 ;如果不行,请说明理由.14.(表 1)是由数字 0,1 交替构成的,(表 2)是由(表 1)中任选 、 、
5、三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加 1 或减 1,如此反复多次进行形成的,试问(表 2)中的 A 格上的数字是多少 ?并说明理由.1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 1表 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 A 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1
6、1 1 1 1 1 1表 2答 案1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有 899 个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格 450 个,白格 449 个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从 1 号房间出发,只能按黑 白 黑 白 的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与 1 号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到 1 号房间.3. 图(a)行,走法如图所示. 图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相
7、间的颜色,则图(b)中有 41 个黑色的,40 个白色的.从小屋出发,按黑 白 黑 白 的次序,当走遍80 棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个 21 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31 个这样的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是 30个白格,32 个黑格,或 32 个白格,30 个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有 90 个交叉点,把棋盘分成 10 个小部分,每部分有33=9 个交叉点 ,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有 6 只马.将这一小部
8、分的 9 个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为 A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:考虑由 A 点引出的五条线段 AB、AC、AD、AE、 AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设 AB、AC、AD 三条同为红色.再考虑三角形 BCD 的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色 ,则三角形BCD 为蓝色三角形 .下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形 ABC 的三边同为红色.(1) 若三角形 DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形 .(2) 若三角形 DEF 中有一条边为
9、蓝色(不妨设 DE),下面考虑 DA、DB、DC三条线段，其中必有两条同色.若其中有两条是红色的,如 DA、DB 是红色的,则三角形 DAB 为第二个同色三角形(图 1).ABDCAB CDE (图1)AB CDE (图2)若其中有两条是蓝色的,设 DA、DB 为蓝色(图 2).此时在 EA、EB 两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的 ,则三角形 EAB为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成 27 个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显
10、然在 27个小正文体中,14 个是黑的,13 个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走 27 步,应该经过 14 个白色的小正方体,13 个黑色的小正方体.因此在 27 步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点 ,以后依次是黑、白、黑、白要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半张象棋盘共有 45 个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最
11、后一步跳回起点.10. 与 B 点同色的点(白点)有 22 个,异色的点(黑色)有 23 个.马从 B 点出发,跳了 42 步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为 A、B 两点异色,从 B 到 A 所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因 A、B 两点异色,故从A 到 B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有 45 个格点,不重复地走遍半张棋盘要 44 步，但 44 是一个偶数.13. 如图对 88 的棋盘染色,则每一个 41 的长方形能盖住 2 白 2 黑小方格,而每一个 22 的正方形能盖住 1 白
12、 3 黑或 1 黑 3 白小方格,那么 7 个 22 的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为 32 是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.+1 +1+1 +1-1 -1-1 -1+1 +1+1 +1+1+1-1 -1-1 -1-1-1+1 +1+1 +1+1 +1-1 -1-1 -1-1 -1表(1)本题条件允许如图所示的 6 个操作,这 6 个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表 1 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即 32,等于表 2 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A
13、)-32,于是(31+A)-32=32,故 A=33.二十 染色问题(2)年级 班 姓名 得分 1. 下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2. 展览会有 36 个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3. 图中的 16 个点表示 16 个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线? 4. 下图是由 4 个小方格组成的“L”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个 4n
14、的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“ 日”字,另不考虑“ 别马腿”的情况).6.能否用一个田字和 15 个 41 矩形覆盖 88 棋盘?7.能否用 1 个田字和 15 个 T 字纸片,拼成一个 88 的正方形棋盘?8.在 88 棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从 44 的正方形分别剪去两个 11 的小方格得到的,问可否把它们分别剪成 12 的七个小矩形?(1) (2) (3) 10.把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一
15、种.求证:总可以找到 4 个同色小方格,处于某个矩形的 4 个角上( 如图)红 红 红 红11.17 个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论 3 个问题,而任意两个科学家之间仅讨论 1 个问题.证明:至少有 3 个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批 124 的长方体木块,能不能把一个容积为 666 的正方体木箱充塞填满?说明理由 .13.在平面上有一个 2727 的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子,它们被罢成一个 99 的正方形.按下面的规则进行游戏: 每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存
16、在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子 ?14.1212 的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至 34 矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?OO123答 案1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有 7 个黑色房间和 5 个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完 36 个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能
17、.对这 16 个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有 9 个,另一种颜色有 7 个.而要不重复地走遍这 16 个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对 4n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一 L 形纸片所占的方格只有两类:第一类占 3 黑 1 白,第二类占 3 白 1 黑 .设第一类有 a 个,第二类有 b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即 a=b,也就是说第一类与第二类相等 ,因此各种颜色的方格数都是 4的倍数,总数是 8 的倍数,从而 n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马” 的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑
18、、白点的个数均为 45,故可在 45 个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住 1 个或 3 个白格,而一个41 的矩形盖住 2 个白格.这样一来一个田字和 15 个 41 的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和 15 个 41 的矩形不能复盖 88 的棋盘.n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住 2 个白格,一个 T 字形盖住 3 个或 1 个白格.故 1 个田字和 15 个 T 字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和 15 个 T 字形不能盖住 88 的棋盘.8. 将棋盘黑
19、白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有 32 个白格与 32 个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.56 41 58 35 50 39 60 3347 44 55 40 59 34 51 3842 57 46 49 36 53 32 6145 48 43 54 31 62 37 5220 5 30 63 22 11 16 1329 64 21 4 17 14 25 106 19 2 27 8 23 12 151 28 7 18 3 26 9 249. 先对 44 的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问 7 个12 矩形能否分别复盖剪去 A、B
20、；剪去 A、C；剪去 A、D 的三个棋盘.若 7 个12 矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个 12 矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是 7 个.而剪去 A 格和 C 格的棋盘(2) 有5 个白格 8 个黑格,剪去 A、D 的棋盘(3)有 5 个白格 8 个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被 7 个 12 矩形复盖,也就不能剪成 7 个 12 的矩形.ABCD棋盘(1)可以被 7 个 12 的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A 1 1 27 7 B 26 5 4 36 5 4 310. 在第一行的 7 格中必有 4 格同色,不妨设这 4 格位于前 4 个位置,且均
21、为红色.然后考虑前 4 列构成的 34 矩形.若第二行和第 3 行中出现 2 个或 2 个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个 4 角同为红色格子的矩形.若不然,则第 2、3 行中都至少有 3 个蓝格在前 4 列中,不妨设第 2 行前 3 格为蓝色,显然第三行中的前 3 格中至少有 2 个蓝格，故在二、三行的前 4 列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将 17 个科学家用 17 个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给 17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,
22、不妨设从 A 向其他 16 点 A1,A2,A16 共可连成 16 条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有 6 条线段同色.设这 6 条线段为 AA1,AA2,AA6且同为红色.考虑 A1,A2,A3,A4,A5,A6 这六点之间的连线 ,若有一条为红色 ,(如 A1A2 为红色) ,则三角形 AA1A2 为红色的同色三角形 .若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从 A1 引出的五条线段 A1A2 A1A3 A1A4 A1A5 A1A6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为 A1A2 A1A3 A1A4,且同为蓝色 .若三角形 A2A3A4
23、 的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在; 若三角形 A2A3A4 三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成 27 个小正方体,每个小正方体的体积为 222=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色 222 的正方体有 14 个,白色222 小正方体有 13 个.每一个这样的正方体相当于 8 个 111 的小正方体.将 124 的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住 8 个边长为 1AA1 A2A3A4A5A6A1A2A3A4的单位正方体,其中有 4 个黑色的,4 个白色的.木箱共含 666=216 个单位正方体,26 个长方体木
24、块共盖住 826=208 个单位正方体,其中黑白各占 104 个,余下216-208=8 个单位正方体是黑色的.但是第 27 个 124 长方体木块不管怎样放,也无法盖住这 8 个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81 枚棋子摆成一个 99 的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第 3,4,5 及 8,9,10 这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.
