中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等).doc

1、中 考 压 轴 题 突 破 ： 几 何 最 值 问 题 大 全 （ 将 军 饮 马 、 造 桥选 址 、 胡 不 归 、 阿 波 罗 尼 斯 圆 等 ）一 、 基 本 图 形所 有 问 题 的 老 祖 宗 只 有 两 个 ： 定 点 到 定 点 ： 两 点 之 间 ， 线 段 最 短 ； 定 点 到 定 线 ： 点 线 之 间 ， 垂 线 段 最 短 。由 此 派 生 ： 定 点 到 定 点 ： 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ； 定 线 到 定 线 ：平 行 线 之 间 ， 垂 线 段 最 短 ； 定 点 到 定 圆 ： 点 圆 之 间 ， 点 心 线 截 距 最 短（ 长

2、） ； 定 线 到 定 圆 ： 线 圆 之 间 ， 心 垂 线 截 距 最 短 ； 定 圆 到 定 圆 ：圆 圆 之 间 ， 连 心 线 截 距 最 短 （ 长 ） 。余 不 赘 述 ， 下 面 仅 举 一 例 证 明 ： 定 点 到 定 圆 ： 点 圆 之 间 ， 点 心 线 截 距 最短 （ 长 ） 。已 知 O 半 径 为 r， AO=d， P 是 O 上 一 点 ， 求 AP 的 最 大 值 和 最 小 值 。证 明 ： 由 “两 点 之 间 ， 线 段 最 短 ”得 AP AO+PO， AO AP+PO， 得 d-r AP d+r， AP 最 小 时 点 P 在 B 处 ， 最 大

3、时 点 P 在 C 处 。 即 过 圆 心 和 定 点的 直 线 截 得 的 线 段 AB、 AC 分 别 最 小 、 最 大 值 。 (可 用 “三 角 形 两 边 之 和 大于 第 三 边 ”， 其 实 质 也 是 由 “两 点 之 间 ， 线 段 最 短 ”推 得 ） 。上 面 几 种 是 解 决 相 关 问 题 的 基 本 图 形 ， 所 有 的 几 何 最 值 问 题 都 是 转 化 成 上 述基 本 图 形 解 决 的 。二 、 考 试 中 出 现 的 问 题 都 是 在 基 本 图 形 的 基 础 上 进 行 变 式 ， 如 圆 与 线 这 些 图形 不 是 直 接 给 出 ，

4、而 是 以 符 合 一 定 条 件 的 动 点 的 形 式 确 定 的 ； 再 如 过 定 点 的直 线 与 动 点 所 在 路 径 不 相 交 而 需 要 进 行 变 换 的 。 类 型 分 三 种 情 况 ： （ 1） 直接 包 含 基 本 图 形 ； （ 2） 动 点 路 径 待 确 定 ； （ 3） 动 线 （ 定 点 ） 位 置 需 变 换 。（ 一 ） 直 接 包 含 基 本 图 形例 1.在 O 中 ， 圆 的 半 径 为 6， B=30， AC 是 O 的 切 线 ， 则 CD 的 最 小值 是 。简 析 ： 由 B=30知 弧 AD 一 定 ， 所 以 D 是 定 点 ， C

5、 是 直 线 AC 上 的 动 点 ，即 为 求 定 点 D 到 定 线 AC 的 最 短 路 径 ， 求 得 当 CD AC 时 最 短 为 3。（ 二 ） 动 点 路 径 待 确 定例 2.， 如 图 ， 在 ABC 中 ， ACB=90， AB=5， BC=3， P 是 AB 边 上 的 动 点（ 不 与 点 B 重 合 ） ， 将 BCP 沿 CP 所 在 的 直 线 翻 折 ， 得 到 B CP， 连 接B A， 则 B A 长 度 的 最 小 值 是 。简 析 ： A 是 定 点 ， B是 动 点 ， 但 题 中 未 明 确 告 知 B点 的 运 动 路 径 ， 所 以 需先 确

6、定 B点 运 动 路 径 是 什 么 图 形 ， 一 般 有 直 线 与 圆 两 类 。 此 题 中 B的 路 径是 以 C 为 圆 心 ， BC 为 半 径 的 圆 弧 ， 从 而 转 化 为 定 点 到 定 圆 的 最 短 路 径 为AC-BC=1。例 3.在 ABC 中 ， AB=AC=5， cos ABC=3/5， 将 ABC 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 ，得 到 ABC， 点 E 是 BC 上 的 中 点 ， 点 F 为 线 段 AB 上 的 动 点 ， 在 ABC绕 点 C 顺 时 针 旋 转 过 程 中 ， 点 F 的 对 应 点 是 F， 求 线 段 EF长 度 的 最 大

7、 值与 最 小 值 的 差 。简 析 ： E 是 定 点 ， F是 动 点 ， 要 确 定 F点 的 运 动 路 径 。 先 确 定 线 段 AB的运 动 轨 迹 是 圆 环 ， 外 圆 半 径 为 BC， 内 圆 半 径 为 AB 边 上 的 高 ， F是 AB上任 意 一 点 ， 因 此 F的 运 动 轨 迹 是 圆 环 内 的 任 意 一 点 ， 由 此 转 化 为 点 E 到 圆环 的 最 短 和 最 长 路 径 。E 到 圆 环 的 最 短 距 离 为 EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8， E 到 圆 环 的 最 长 距 离 为EF1=EC+CF1=3+6=9， 其 差 为 7

8、.2。（ 三 ） 动 线 （ 定 点 ） 位 置 需 变 换线 段 变 换 的 方 法 ： （ 1） 等 值 变 换 ： 翻 折 、 平 移 ； （ 2） 比 例 变 换 ： 三 角 、相 似 。【 翻 折 变 换 类 】 典 型 问 题 ： “将 军 饮 马 ”例 4.如 图 ， AOB=30， 点 M、 N 分 别 是 射 线 OA、 OB 上 的 动 点 ， OP 平 分 AOB， 且 OP=6， 当 PMN 的 周 长 最 小 值 为 。简 析 ： 动 线 段 （ 或 定 点 ） 应 居 于 动 点 轨 迹 的 两 侧 ， 本 题 的 三 条 动 线 段PM、 MN、 PN 在 OA、

9、 OB 的 内 侧 。 所 以 本 题 的 关 键 是 把 定 线 段 变 换 到 动 点 轨 迹的 两 侧 ， 从 而 把 三 条 动 线 段 PM、 MN、 PN 转 化 为 连 接 两 点 之 间 的 路 径 。 如 图 ，把 点 P 分 别 沿 OA、 OB 翻 折 得 P1、 P2， PMN 的 周 长 转 化 为 P1M+MN+P2N， 这三 条 线 段 的 和 正 是 连 接 两 个 定 点 P1、 P2之 间 的 路 径 ， 从 而 转 化 为 求 P1、 P2两 点 之 间 最 短 路 径 ， 得 PMN 的 周 长 最 小 值 为 线 段 P1P2 OP 6。例 5.如 图

10、 ， 在 锐 角 ABC 中 ， AB=4， BAC=45， BAC 的 平 分 线 交 BC 于点 D， M、 N 分 别 是 AD 和 AB 上 的 动 点 ， 则 BM+MN 的 最 小 值 是 。简 析 ： 本 题 的 问 题 也 在 于 动 线 段 BM、 MN 居 于 动 点 轨 迹 AD 的 同 侧 ， 同 样 把点 N 沿 AD 翻 折 至 AC 上 ， BM+MN BM+MN， 转 化 为 求 点 B 到 直 线 AC 的 最 短路 径 ， 即 BN AC 时 ， 最 小 值 为 2 。【 平 移 变 换 类 】 典 型 问 题 ： “造 桥 选 址 ”例 6.如 图 ， m

11、、 n 是 小 河 两 岸 ， 河 宽 20 米 ， A、 B是 河 旁 两 个 村 庄 ， 要 在 河 上 造 一 座 桥 ， 要 使 A、 B之 间 的 路 径 最 短 应 该 如 何 选 址 （ 桥 须 与 河 岸 垂 直 ） ？简 析 ： 桥 长 为 定 值 ， 可 以 想 像 把 河 岸 m 向 下 平 移 与 n 重 合 ， 同 时 把 点 A 向下 平 移 河 宽 ， 此 时 转 化 成 n 上 的 一 点 到 A、 B 的 路 径 之 和 最 短 ， 即 转 化 为 定点 A到 定 点 B 的 最 短 路 径 。 如 下 图 ：思 路 是 把 动 线 AM 平 移 至 AM，

12、AN+BN 即 转 化 为 求 定 点 A与 定 点 B 之 间 的最 路 径 。 本 题 的 关 键 是 定 长 线 段 MN 把 动 线 段 分 隔 ， 此 时 须 通 过 平 移 把 动 线段 AN、 BN 变 为 连 续 路 径 ， 也 可 以 把 点 B 向 上 平 移 20 米 与 点 A 连 接 。例 7.如 图 ， CD 是 直 线 y=x 上 的 一 条 定 长 的 动 线 段 ， 且 CD=2， 点A（ 4， 0） ， 连 接 AC、 AD， 设 C 点 横 坐 标 为 m， 求 m 为 何 值 时 ， ACD 的 周长 最 小 ， 并 求 出 这 个 最 小 值 。解 析

13、 ： 两 条 动 线 段 AC、 AD 居 于 动 点 所 在 直 线 的 两 侧 ， 不 符 合 基 本 图 形 中 定形 （ 点 线 圆 ） 应 在 动 点 轨 迹 的 两 侧 。 首 先 把 AC 沿 直 线 CD 翻 折 至 另 一 侧 ，如 下 图 ：现 在 把 周 长 转 化 为 AC+CD+AD， 还 需 解 决 一 个 问 题 ： 动 线 段 AC 与 AD 之 间被 定 长 线 段 CD 阻 断 ， 动 线 段 必 须 转 化 成 连 续 的 路 径 。 同 上 题 的 道 理 ， 把AC 沿 CD 方 向 平 移 CD 的 长 度 即 可 ， 如 下 图 。现 在 已 经

14、转 化 为 AD+AD 的 最 短 路 径 问 题 ， 属 定 点 到 定 点 ， 当 AD 与 AD共 线 时 AD+AD 最 短 ， 即 为 线 段 AA的 长 。【 三 角 变 换 类 】 典 型 问 题 ： “胡 不 归 ”例 8.如 图 ， A 地 在 公 路 BC 旁 的 沙 漠 里 ， A 到 BC 的 距 离AH 2 3， AB 2 19， 在 公 路 BC 上 行 进 的 速 度 是 在 沙 漠 里 行 驶 速 度 的 2倍 。 某 人 在 B 地 工 作 ， A 地 家 中 父 亲 病 危 ， 他 急 着 沿 直 线 BA 赶 路 ， 谁 知 最终 没 能 见 到 父 亲

15、最 后 一 面 ， 其 父 离 世 之 时 思 念 儿 子 ， 连 连 问 ： “胡 不 归 ，胡 不 归 ！ ”（ 怎 么 还 不 回 来 ） ， 这 真 是 一 个 悲 伤 的 故 事 ， 也 是 因 为 不 懂数 学 而 导 致 的 。 那 么 ， 从 B 至 A 怎 样 行 进 才 能 最 快 到 达 ？简 析 ： BP 段 行 驶 速 度 是 AP 段 的 2 倍 ， 要 求 时 间 最 短 即 求 BP/2+AP 最 小 ，从 而 考 虑 BP/2 如 何 转 化 ， 可 以 构 造 含 30角 利 用 三 角 函 数 关 系 把 BP/2 转化 为 另 一 条 线 段 。 如 下

16、 图 ， 作 CBD=30， PQ BD， 得 PQ=1/2BP， 由 “垂线 段 最 短 ”知 当 A、 P、 Q 共 线 时 AP+PQ AQ最 小 。【 相 似 变 换 类 】 典 型 问 题 ： “阿 氏 圆 ”“阿 氏 圆 ”： 知 平 面 上 两 点 A、 B， 则 所 有 满 足 PA/PB=k 且 不 等 于 1 的 点 P的 轨 迹 是 一 个 圆 ， 这 个 轨 迹 最 先 由 古 希 腊 数 学 家 阿 波 罗 尼 斯 发 现 ， 故 称 阿 氏圆 ， 如 下 图 所 示 ， 其 中 PO： BO AO： PO PA： PB k。例 9.已 知 A(-4， -4)、 B(

17、0, 4)、 C(0, -6)、 D(0, -1)， AB 与 x 轴 交 于 点E， 以 点 E 为 圆 心 ， ED 长 为 半 径 作 圆 ， 点 M 为 E 上 一 动 点 ， 求 1/2AM+CM 的 最 小 值 。简 析 ： 本 题 的 主 要 问 题 在 于 如 何 转 化 1/2AM， 注 意 到 由 条 件 知 在 M 的 运 动过 程 中 ， EM： AE 1： 2 保 持 不 变 ， 从 而 想 到 构 造 相 似 三 角 形 ， 使 之 与 AEM 的 相 似 比 为 1： 2， 这 样 便 可 实 现 1/2AM 的 转 化 ， 如 下 图 取EN： EM 1： 2，

18、 即 可 得 EMN EAM， 再 得 MN=1/2AM， 显 然 ， MN+CM 的 最小 值 就 是 定 点 N、 C 之 间 的 最 短 路 径 。之 后 便 是 常 规 方 法 先 求 N 点 坐 标 ， 再 求 CN 的 长 。【 解 法 大 一 统 】万 法 归 宗 ： 路 径 成 最 短 ， 折 线 到 直 线 。（ 所 求 路 径 在 一 般 情 况 下 是 若 干 折 线 的 组 合 ， 这 些 折 线 在 同 一 直 线 上 时 即 为最 短 路 径 ）基 本 图 形 ： 动 点 有 轨 迹 ， 动 线 居 两 边 。（ 动 点 轨 迹 可 以 是 线 或 圆 ， 动 线

19、指 动 点 与 定 点 或 定 线 、 定 圆 的 连 线 ， 动 线 与折 线 同 指 ）核 心 方 法 ： 同 侧 变 异 侧 ， 分 散 化 连 续 。（ 动 线 在 同 侧 进 ， 要 变 为 异 侧 ， 一 般 用 翻 折 、 三 角 、 相 似 的 方 法 构 造 ； 动 折线 被 定 长 线 段 分 散 时 需 化 为 连 续 折 线 ， 一 般 用 平 移 的 方 法 构 造 ， 如 造 桥 选 址问 题 ）下 图 是 构 造 完 成 的 目 标 图 形 ：再 举 一 例 说 明 上 述 规 律 的 运 用 方 法 ：1.如 图 ， 菱 形 ABCD 中 ， A=60， AB 3， A、 B 的 半 径 为 2 和1， P、 E、 F 分 别 是 CD、 A、 B 上 的 动 点 ， 则 PE+PF 的 最 小 值 为 .