1、1.3.1单调性与最大（小）值,局部上升或下降,下降,上升,问题1,画出f(x)=x的图像，并观察其图像。,2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _.,1、从左至右图象上升还是下降 ? _,上升,增大,1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _.,问题2,画出 的图像，并观察图像.,2、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _.,(-,0,(0,+),减小,增大,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况
2、：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,O,x,y,分析下列函数图象的变化情况：,分析下列函数图象的变化情况：,y = x2,y = x3,y随x的增大而增大,0，+）上y随x的增大而增大,（-，0上 y随x的增大而减小,函数的单调性,m，n上，函数y随x的增大而减小,在m，n上，函数y随x的增大而增大,单调递增性,单调递减性,通 俗 定 义,单调性定义的探寻：,f（x1）,f（x2）,y 随 x 的增大而增大 即是：,当x1 x2时，有f（x1） f（x2）,函数单调性的概念：,一般地，设函数y=f(x
3、)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1 .,1增函数,知识要点,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，当x1f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2.,1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.,2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) ，则函数f(x)分别是增函数或减函数.,注意,在某区间上，,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函
4、数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.,函数的单调性定义,例1、下图为函数 , 的图像，指出它的单调区间。,1,2,3,-2,-3,-2,-1,o,-4,-1,y,-1.5,-1.5，3，5，6,-4，-1.5，3，5，6，7,例1 下图是定义在区间-4,5上的函数y=f (x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间有-4，-2)，-2，-1)，-1，1)，1，3)，3，5,其中y=f (x)在区间 -4，-2)， -1，1)， 3，5上是增函数，在区间 -2，-1)，
5、1，3)上是减函数.,y,y,Y=2x+1,增区间为,增区间为,增区间为,减区间为,减区间为,例2:,写出函数的单调区间,说明,（1）函数的单调性也叫函数的增减性；,（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。,（3）单调区间：针对自变量 x 而言的。 若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间,例: 证明：函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。,证明：设 x 1 ，x 2是R上的任意两个值，且x 1 x 2，,则 f ( x 1 ) f ( x 2 ),= （3x 1 +2）（3 x 2
6、 +2）,= 3 （x 1 x 2 ）,x 1 x 2 ，,x 1 x 2 0,f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0,即f ( x 1 ) f ( x 2 ),所以,函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。,取值,作差,定号,结论,判断函数单调性的一般步骤 ：,证明函数 在定义域 上的单调性.,证明：在区间 上任取两个值 且,则,，且,所以函数 在区间上 是增函数.,取值,作差,变形,定号,结论,返回,判断函数单调性的一般步骤 ：,例.试用函数的单调性定义证明 f(x)= 的单调性。,证明：函数的定义域为 0，+），在此区间上任取两个值x1,x2，且x1x2，则得到f(
7、x1),f(x2),所以，函数在【0，+）上是增函数。,取值,作差,变形,定号,结论,例 5 求证：函数 在区间 上是单调增函数,例.画出下列函数图像，并写出单调区间：,数形结合,_,讨论1：根据函数单调性的定义，,那么 在 和 上的单调性呢？,？,画出反比例函数 的图象 1 这个函数的定义域是什么？2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论,xx0,分两个区间(0，+)， （- ，0）来考虑其单调性.,（2）在区间（- ，0）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在（- ，0）上是减函数。综上所述，函数f(x)=1/x 在（- ，0）, (0，+)上是减函数.,课堂小结,2、函数单调性的定义；,3、证明函数单调性的步骤；,1、单调函数的图象特征；,课堂练习,1.填表,函数,单调区间,k 0,k 0,k 0,k 0,增函数,减函数,减函数,增函数,单调性,函数,单调区间,单调性,增函数,增函数,减函数,减函数,教材习题答案,1.在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率即越高.2.增区间为：8,12,13,18;减区间为12,13,18,20.,最大,0.5,0.2,-2,
