1、1 一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？,差分方程初步,第一节 差分方程的基本概念,一、 差分的概念,定义1 设函数yt=f(t)在t=,-2,-1,0,1,2,处有定义,对应的函数值为,y-2,y-1,y0,y1,y2,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t) 依此定义类推,有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2), ,一阶
2、差分的性质,(1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0; (2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt,定义2 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt 依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, 类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D
3、2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里,二、 差分方程,定义3 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分yt, 2yt,的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶.,n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt, yt, nyt)=0, 其中F是t,yt, yt, nyt的已知函数,且nyt一定要在方程中出现,定义3 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知
4、函数下标的最大差,称为差分方程的阶,n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0, 其中F为t,yt,yt+1,，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现.,三、 差分方程的解,定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,使其对t=,-2,-1,0,1,2,成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,Cn的解 yt=(t,C1,C2,Cn) 称为n阶差分方程的通解.在通解中给任意常数C1,C2,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.,例如,函数yt=at+C(a为已知常
5、数,C为任意常数)是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,均是这个差分方程的特解.,由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件. n阶差分方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0常见的定解条件为初始条件. y0=a0, y1=a1，,yn-1=an-1， 这里a0,a1,a2,，an-1均为已知常数,只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0 与方程 ayt+2-byt+1=0 都是相互等价的,四、 线性差分方程及其基本定理,形如
6、yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t) 的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程.其中a1(t),a2(t),an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)0,f(t)0.而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,，n)为t的已知函数,且an(t)0.,如果ai(t)=ai(i=1,2,n)均为常数(an0),则有 yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=f(t)， y
7、t+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0 分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程.,定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理)若y1(t),y2(t),ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m2),则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Amym(t)也是方程的解,其中A1，A2，Am为任意常数,定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解,定理3(齐次线性
8、差分方程通解结构定理)如果y1(t),y2(t),yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解,则方程的通解为： yA(t)A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)， 其中A1，A2，An为n个任意(独立)常数,定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +an-1yt+1+anyt=0
9、的通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为： y(t)=yA(t)+ (t) 即 y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)+ (t)， 这里A1，A2,An为n个任意(独立)常数,第二节 一阶常系数线性差分方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中f(t)为t的已知函数,a0为常数.分别称为一阶常系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.,一、 齐次差分方程的通解,将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt, t=0,1,2,假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代,算得 y1=
10、-ay0=-aA, y2=-ay1=(-a)2A, ,方程的通解为yt =A(-a)t, t=0,1,2,如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为： yt =y0(-a)t,二、 非齐次方程的通解与特解,1. 迭代法求通解,将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,逐步迭代,则有 y1=(-a)y0+f(0), y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1), y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2), ,由数学归纳法,可得yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+f(t-1)=(-a)ty0+
11、 , (t=0,1,2,)，,yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解.,解,例,方程的通解,2.待定系数法求特解,情形 f(t)为常数,方程变为yt+1+ayt=b, a,b均为非零常数,试以 (为待定常数)形式的特解代入方程得 +a =(1+a) =b,当a-1时,可求得特解,方程的通解为,解,例,情形 f(t)为t的多项式,不妨设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式),即 yt+1+ayt=b0+b1t, t=1,2,， 其中a,b0,b1均为常数,且a0,b10,试以特解 =a+bt,(a,b为待定系数)代入方程得 a+b (t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，,上式对一
12、切t值均成立,其充分必要条件是：,当1+a0时,即a-1时，,方程的特解为,当a=-1时,改设特解 =(a+bt)t=at+bt2,将其代入方程可求得特解,方程的通解为,解,例,情形 f(t)为指数函数,不妨设f(t)=bdt, b,d均为非零常数,方程变为yt+1+ayt=bdt, t=0,1,2,求得特解,当a+d0时,设方程有特解 =mdt, m为待定系数.将其代入方程得 mdt+1+amdt=bdt,当a+d=0时,改设方程的特解 =tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解 =btdt,当a+d=0时,改设方程的特解 =tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解 =btdt,求得特解
13、,当a+d=0时,改设方程的特解 =tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解 =btdt,方程的通解为,解,例,情形 f(t)为正弦、余弦型三角函数,设f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均为常数,且 0,b1与b2不同时为零.于是非齐次方程变为 yt+1+ayt=b1cost+b2sint,a0, t=0,1,2,设方程有特解 =acost+bsint,a,b均为待定系数.,将其代入方程得 acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint=b1cost+b2sint,(acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sinwt =
14、b1cost+b2sint,(acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sinwt =b1cost+b2sint,上式对t=0,1,2,恒成立的充分必要条件是,其系数行列式,当D0时,则可求得其解,当D=(a+cosw)2sin2w=0时,则有,改设特解,代入方程并整理可得,方程的通解为,例 求差分方程yt+1-2yt=cost的通解,解 对应齐次方程的通解为 yA(t)=A2t,设非齐次方程的特解为 =acost+bsint, 其中a, b为待定系数,将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式,得,所给方程的通解为,第三节 二阶常系数线性差分方程,二阶常系数线性差
15、分方程的一般形式为 yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,， 其中f(t)为t的已知函数,a1,a2为已知常数,且a20,称为二阶常系数非齐次线性差分方程特别地,当f(t)0时,方程变为 yt+2+a1yt+1+a2yt=0 称为对应的齐次差分方程,一、 齐次差分方程的通解,称2a1+a2=0为二阶常系数非齐次线性差分方程或其对应的齐次差分方程的特征方程它的解(或根)称为方程的特征根(值),特征方程的两个根为,(1) 特征根为相异的两实根,当0时,1, 2为两相异的实根. y1(t)= 1t与y2(t)=2t是齐次差分方程的两个线性无关的特解.,齐次差分方程的通解,1,2
16、由特征方程确定,A1,A2为两任意(独立)常数,例 求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解,解 特征方程为2-7+12=( -3)( -4)=0,有两相异实特征根 1=3, 2=4,原方程的通解为,(2) 特征根为两相等的实根,当=0时,=1=2= 为两相等的实根.,方程的一个特解：yt(t)=t,方程的另一个特解为y(t)=tt，且与t线性无关.,方程的通解为,例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解.,解 特征方程为2-4+4=(-2)2=0，,方程有重特征根 = 1= 2=2,原方程的通解为 yA(t)=(A1+A2t)2t, A1,A2为任意常数,(3) 特征根
17、为一对共轭复根,当0时,1, 2为一对共轭复根.,1,2=i=r(cosisin),y1(t)=rtcost, y2(t)=rtsint 是方程的两个线性无关特解.,方程的通解为 yA(t)=rt(A1cos t+A2sin t) 其中 A1，A2为任意常数.,例 求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解,解 特征方程 2-2+2=(-1)21=0,特征根为一对共轭复根 1,2=1i,方程的通解为,二、 非齐次方程的特解与通解,例 求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解,解 对应的齐次方程的通解为 yA(t)=A13t+A24t，,原方程的通解为 yt=yA(t)+=A13
18、t+A24t+1， 这里A1,A2为任意常数,由于1+a1+a2=1-7+120,设特解 =B,B为待定常数,将其代入原方程,求得B=1.,例 求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解,解 特征方程为2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根1=1,2=2.,对应齐次方程的通解为 yA(t)=A1+A22t,因1+a1+a2=1-3+2=0,故应设非齐次方程的特解为 =Bt,B为待定系数,将其代入原方程,求得B=-4,原方程的通解为 yt=yA(t)+ =A1+A22t-4t， 这里A1,A2为任意常数,例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解.,解 对应齐次方程的通解
19、为 yA(t)=(A1+A2t)2t,此式对t=0,1,2,恒成立的充要条件是 B0-2B1=3, B1=2. 由此解得：B0=7，B1=2,设非齐次方程有特解 =B0+B1t,B0,B1为待定系数.将其代入原方程中,得 (B0-2B1)+B1t=3+2t,所求非齐次方程的特解为,原方程的通解为,A1,A2为任意常数,例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解,解 对应齐次方程的通解为 yA(t)=(A1+A2t)2t,设所给非齐次方程的特特为 =B5t,B为待定系数.,将其代入所给方程,可得B5t+2-4B5t+1+4B5t=5t,非齐次方程的特解为,所给方程的通解为,其中A1,
20、A2为任意常数,差分方程在经济学学模型,一、 存款模型,设St为t期存款总额,i为存款利率,则St与i有如下关系式： St+1=St+iSt=(1+i)St, t=0,1,2,， 其中S0为初始存款总额,二、 动态供需均衡模型(蛛网定理),设Dt表示t期的需求量,St表示t期的供给量,Pt表示商品t期价格,则传统的动态供需均衡模型为：,其中a,b,a1,b1均为已知常数.,(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；,(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格,(3)式为供需均衡条件,静态均衡价格,需求曲线与供给曲线的交点(Pe,Qe)即为该种商品的静态均衡点,动态供需均衡模型
21、的等价差分方程,方程的一个特解,方程的通解为,若初始价格P0已知时,将其代入通解,可求得任意常数A=P0-Pe,此时,通解改写为,如果初始价格P0=Pe,那么Pt=Pe,这表明没有外部干扰发生,价格将固定在常数值Pe上,即静态均衡,如果初始价格P0Pe,那么价格Pt将随t的变化而变化.,动态价格Pt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Pe.,普通商品的价格与供需关系图,三、 凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型,设Yt表示t期国民收入,Ct为t期消费,It为t期投资,I0为自发(固定)投资,I为周期固定投资增量.凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：,(1)式为均衡条件,即国民收入
22、等于同期消费与同期投资之和;(2)式为消费函数,即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期),a(0)为基本消费水平,b为边际消费倾向(0b1);(3)式为投资函数,这里仅考虑为固定投资,在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一阶常系数非齐次线性差分方程： Yt-bYt-1=a+I0+I,方程的一个特解,方程的通解为,其中A为任意常数. 称系数 为凯恩斯乘数.,四、 哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型,设St为t期储蓄,Yt为t期国民收入,It为t期投资,s称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向),0s1,k为加速系数.,哈罗德宏观经济增长模型为：,其中s,k为已知常数,
23、(1)式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入;(2)式表示t期投资为前两期国民收入差的加速,且预期资本加速系数k为常数;(3)式为均衡条件.,经整理后得齐次差分方程,其通解为,其中A为任意常数, ,哈罗德称之为“保证增长率”,其经济意义就是：如果国民收入Yt按保证增长率 增长,那么就能保证t期储蓄与t期投资达到动态均衡,即It=St, t=0,1,2,假定t-1期收入Yt-1满足于通解,而t期收入Yt由于某种外部干扰满足,设B0,那么有,因kB0,故ItSt. 表示:总投资将大于总供给(由储蓄提供),从而对收入产生一个向上的压力,迫使收入较以前增加得更多. 充分地说明了,“保证增长率”保证了国民收
24、入的增长.,五、 萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型,设Yt为t期国民收入,Ct为t期消费,It为t期投资,G为政府支出(各期均相同).萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型)：,其中G0为常数,b称为边际消费倾向(常数),k为加速数.,将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得： Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G,其特解,其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数与政府支出自发投资G的乘积.,对应的齐次方程为 Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0， 其特征方程为 2-b(1+k)+bk=0，,特征方程的判别式=b2(1k)2-4bk=bb(1+k)2-4k,当0时,特征方程有两相异实根,齐次方程的通解为： YA(t)=A11t+A22t (A1,A2为任意常数),当=0时,特征方程有一对相等实特征根,齐次方程的通解为：(A1,A2为任意常数),当0时,特征方程有一对共轭复根：,齐次方程的通解为： Y(t)= t(A1cost+A2sint), A1,A2为任意常数 .,方程Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G的通解,
