1、障宠体淌椅企殿调性炽纳晤尚蜕机洲连沁裴升箔犊召唤膝妄内菩透荡只饿谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1第二章 .谓词演算1.谓词 量词2.合式公式 解释 可满足性 逻辑蕴涵逻辑等价 替换定理 有效性 3.代入 代入定理 4.前束范式 (PNF)5.谓词演算的形式推理啮痢固慨元拭簧樱甘啥庚殿僻占粕伴址啸痘部寿橙执菇精紫束艘乌卤农峭谓词演算节谓词演算节11.谓词谓词 量词量词1.谓词与个体(1)苏格拉底 (Socrates) 论断 命题逻辑的基本单位，局限性 苏格拉底 (Socrates) 论断 ：凡人都是要死的 ,苏格拉底是人 ,所以苏格拉底是要死的。注 . 苏格拉底 (Socrate
2、s，公元前 469-399年 ):古希腊哲学家 .西方三圣之一。三段论是形式逻辑的一种最重要的推理形式。是逻辑之父亚里士多德在他的代表著作工具论最早提出的。(2)谓词 (predicate) 命题是可分辨真假的陈述语句 （形式逻辑）。 主语部分 + 谓语部分主语 (被陈述的对象 ,个体 ) 谓语 (陈述部分 ,谓词 ) 丑坤蕊淫拷期鱼伊眼允廖搐呕涸恤现摆建胁擞亥盗鲸搔潍仅动百蚊美凭聪谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-12在形式逻辑里 ,谓词就是谓语 ; 在数理逻辑里 ,个体是关系的定义域中的元素 ,个体之间的联系就是 关系 ,称为 谓词 。 1.谓词 量词个体 (individua
3、l,object): 个体是谓词所描述的对象。用 d表示。论域 (domain) ：由所讨论的个体 (对象 )组成的集合称为论域。 用表示。注 .论域也称为个体域 (individual domain)。个体常项 (individual constant) ：个体常项是取值于个体域 上的常项。个体变项 (individual variable) ： 个体变项是取值于个体域 上的变项。注 .个体常项和个体变项统称为项 (term)。宁然娟胚张菲介送傻箱企狂擎忌肆柱赞衙侣它七蛛舟糊耍肆那哲晴塑芦仲谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-131.谓词 量词一元谓词 (unary predica
4、te)： 一元谓词是描述一个个体的特征的谓词。通常称为性质(nature,character,quaility)。二元谓词 (binary predicate)： 二元谓词是描述两个个体间的联系的谓词。通常称为 (二元 )关系 (binary)relation)。三元谓词 (binary predicate)： 三元谓词是描述三个个体间的联系的谓词。通常称为三元关系 (ternary relation)。n元谓词 (n-ary predicate)： n元谓词是描述 n个个体间的联系的谓词。通常称为 n元关系(n-ary relation)。栏免站敖蓬鄂在狱昧瓦售姥坛武圣乃嗣夸嫡蹦芭锈海烃忆东
5、揪贞宣昼呕晌谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-141.谓词 量词(3)形式化方法个体常项符号 ：表示 个体常项 ,解释后为个体 。 用 a,b,c表示。个体变项符号 ： 表示 个体变项 ,解释后为个体 。 用 x,y,z,u,v,w表示。 n元谓词符号 ： 表示 n元谓词 ,解释后为 n元关系。 用 Pn,Qn,Rn表示。 当 n=1时 ,为命题变项符号。 表示 命题变项 ,解释后为命题 (即 ,命题是特殊的谓词 )。 用 p,q,r表示。 当上下文已经指明时 ,可省略其上标 , n元谓词 记为 P,Q,R。(4)n元谓词的三种表示形式 谓词空位式用 n 个空位来表示 n元谓词 P
6、为 :P( _ , _ , , _ ) 。笺冈贡痒济珊绣横瞄淫悠撑霖硬羌焰卫吭邪吾臃玄蔬砖嘶宏玲泅阮窜惠舰谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-151.谓词 量词谓词填式 设 t1 , t2 , , tn是 n个项 , P(e1 , e2 , , en)是 n元谓词 P的命名式 ,则 P(t1 , t2 , , tn) 称为谓词填式 。 若 ti (1in)全是个体常项 ,则 谓词填式 P(t1 , t2 , , tn)表示命题 。例如 P(a,b,c) 表示一个命题。 若 ti (1in)中有 k个是个体变项 ,则 谓词填式 P(t1 , t2 , , tn)表示 k元命题函数 。例
7、如 P(a,x,y) 表示一个二元命题函数。谓词命名式表示 n元谓词 P的谓词命名式为 :P(e1 , e2 , , en) 其中 : ei称为命名变项 ,代表第 i个空位 (empty)。碰耐戒揖氨厕签涕入媒哎姬屯铡箔栏噪妈敌锡历喂渗加戳拔叮滋撬舔向后谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-161.谓词 量词(5)形式化举例例 1.如果老张是小张的父亲 ,则小张是老张的儿子。解 .令 :F(e1 , e2) e1是 e2的父亲S(e1 , e2) e1是 e2的 儿子a 老张b 小张形式化 : F(a , b)S(b , a) 。例 2.如果 x是小张的父亲 ,而且 y是小张的兄弟 ,
8、则 x也是 y的父亲。解 .令 :F(e1 , e2) e1 是 e2的父亲B(e1 , e2) e1 是 e2的兄弟a 小张形式化 : F(x , a)B(y , a)F(x , y) 。戊坞生全毙缨互令镀鱼戴丑消垛硝氛唆妙兑辕枉螺调冈磅膛终勿腆斑削辑谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-171.谓词 量词例 3.如果 x+y0,而 y+z0,则 x+z0。解 .(a)令 :G(e1 , e2) e1+e20形式化 : G(x , y)G(y , z)G(x , z) 。(b)令 :G(e1 , e2 , e3) e1+e2 e30 0形式化 : G(x , y , 0)G(y ,
9、z , 0) G(x , z , 0) 。 例 4.如果 x+y0,而 y+z3,则 x+z 3。解 .令 :G(e1 , e2 , e3) e1+e2 e30 03 3形式化 : G(x , y , 0)G(y , z , 3) G(x , z , 3) 。 祭颗期邵面妆滤万乌唆缝黔摧唇姆眷强届彭着憨远亲抗淡圆故招透祸昧锤谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-181.谓词 量词2.量词 (quantifier)量词是描述个体域的某些整体性质的词汇。 (1)全称量词 (universal(generality) quantifier)：描述个体域全体性质的词汇 “对于每一个 ”， “所
10、有的 ”， “凡是 ”， ,统称为全称量词。记为 (for all)。设 (e)是个体域 上的一个复合谓词 ,则表达式 x(x)表示个体域上的全体性质。其中 :指导变项 :全称量词 x中的个体变项 x。辖域 (scope):复合谓词 (填式 ) (x)。辖域也称为作用域。表达式 x(x)可能表示命题 ,也可能表示命题函数 (高一层次上的复合谓词 )。若表达式 x(x) 表示命题，命题 x(x)为真 对某个个体域 ,当个体变项 x遍历 上的每一个元素 (个体 )时 ,复合谓词 (填式 ) (x)都为真。 堪钱带践群瑟月朴厚杜桨漂撅步农怎综亚锥冻宣屈叙扰绥绍蜂远仁魏遥姥谓词演算(1-5节)-1谓词
11、演算(1-5节)-191.谓词 量词例 5.(a)令 : (e)=P(e,a)Q(e,b),则 表达式x(x)=x(P(x,a)Q(x,b)表示命题。(b)令 : (e)=P(e,a)Q(e,y)R(e,z),则 表达式x(x)=x(P(x,a)Q(x,y)R(x,z)表示命题函数 (新的复合谓词 )。(c )设 :=N=0,1,2, 令 : G(e1 , e2) e1e20 0, 2 2 则 表达式 xG(0,x)表示真命题 ;表达式 xG(2,x)表示假命题。(d)设 :=I= ,-2,-1,0,1,2, 令 : 同上但 表达式 xG(0,x)却 表示假命题 ;而表达式 xG(2,x)仍
12、表示假命题。惧锤漠牛帖悄秦接惯入粱毯挖性麦诫纽权塘以粉斩涤伞撤贝累厂梆啮健祁谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1101.谓词 量词(2)存在量词 (existential quantifier)：描述个体域存在性质的词汇 “存在着某一个 ”， “至少有一个 ”， “有些 ”， “有 ”， ,统称为存在量词 。记为 (there exists)。 设 (e)是个体域 上的一个复合谓词 ,则表达式 x(x)表示个体域上的存在性质。其中 :指导变项 :存在 量词 x中的个体变项 x。辖域 (scope):复合谓词 (填式 ) (x)。辖域也称为作用域。 表达式 x(x)可能 表示命题 ,
13、也可能表示命题函数 (高一层次上的复合谓词 )。若表达式 x(x) 表示命题 ,则命题 x(x)为真 对某个 个体域 ,当个体变项 x遍历 上的元素 (个体 )时 ,有一个使得 复合谓词 (填式 ) (x)为真 。呻岩赘恤夕琼鞠荡诅炼熏绝滓搀邀赋勃橇酞鳖怜缆惫萄探沼瓶孜栗迫辐鳖谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1111.谓词 量词例 6.(a)令 : (e)=P(e,a)Q(e,b),则 表达式x(x)=x(P(x,a)Q(x,b)表示命题。 (b)令 : (e)=P(e,a)Q(e,y)R(e,z),则x(x)= x(P(x,a)Q(x,y)R(x,z)表示命题函数 (新的复合谓
14、词 )。(c )设 :=N=0,1,2, 令 : G(e1 , e2) e1e20 0, 2 2 xG(x, 0)表示假命题；表达式 xG(x, 2)表示真命题。 (d)设 :=I= ,-2,-1,0,1,2, 令 : 同上xG(x, 0)却 表示真命题 ;而 xG(x, 2)仍 表示真命题。遗喂噪尿污镶挞凿言队边涉揣侦期上簇能乃洒夕哮偶衅帮禽涡喜廷碉毅集谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1121.谓词 量词(e)设 :=N=0,1,2, 令 : G(e1 , e2) e1e2yxG(x,y)表示命题xyG(x,y)表示命题(3)形式化中多个论域的统一问题：(a)问题的提出 :对命
15、题 “每个人都拥有一张桌子 ”进行形式化 ,令 :P(e1 , e2) e1 拥有 e2,形式化： xyP(x,y) 拥有关系 将会产生四种情况 :人拥有人 ;人拥有桌子 ;桌子拥有人 ;桌子拥有桌子。问题：一个正确的命题 ,在混合论域上形式化。 谆乾墓钙辗忘愉疙阂箱饼唾暇酉缄博哇斩提渔炔桃雾唬锌评再础讫汲句朝谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1131.谓词 量词(c )特征谓词方法 :若所考虑的问题涉及若干个论域 :1,2， ,m,则将它们并起来，形成一个理想的论域：=12 m称为 全总论域 (或 全总个体域 )。并对每个论域 i 定义一个一元 特征谓词 :Pi(e):ei (1
16、in)用它来指明个体变项 (或个体常项 )属于那一个论域。(b)受囿量词方法 :实用上常采用受囿量词方法 ,又称为相对化量词方法。 命题 “每个人都拥有一张桌子 ” 令 :M=人 ,T=桌子 ,P(e1 , e2) e1 拥有 e2,形式化为 (x M)(y T)P(x,y) 或 (x)M(y)TP(x,y) 。忿购锡醋搔仇捍妖膀它稿翻涅叔踞决痴将牵喉羹笋暮吐盗缎爆账陋物侥跟谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1141.谓词 量词例：对命题 “每个人都拥有一张桌子 ”进行形式化。令 :M=人 ， T=桌子 ，全总论域 = M T ，M(e) e M (或 e是一个人 )，T(e) e
17、 T (或 e是一张桌子 )，P(e1 , e2) e1拥有 e2 ，形式化为 x(M(x)y(T(y)P(x,y)。对于全称量词 ,应将特征谓词作为蕴涵前件放在该量词的辖域中 ;对于存在量词 ,应将特征谓词作为合取项放在该量词的辖域中。瞬毋益俐闰味崩榷附牵鸟欲婶晌喝蔑湘犊模闷毡盈俱喇糜龋喜溜检除戴筒谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-115(4)形式化举例例 7.著名的 苏格拉底 (Socrates) 三段论：凡人都是要死的 ,苏格拉底是人 ,所以苏格拉底是要死的 。解 .令 :D(e) e是要死的M(e) e是 人s 苏格拉底形式化 : x(M(x)D(x)M(s)D(s) 。这
18、里：一元谓词 M是特征谓词。该命题的全总论域 =动物 。1.谓词 量词署协蔡骗瞩陷蒋淖滤态喂肮窘横修铝姨驾慑蔷致尖今缅揪表伐婆言翔隔骄谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1161.谓词 量词例 8.离散数学是计算机系学生的必修课。即所有计算机系的学生都要学习离散数学。 解 .(a)简单化 : 令 :C(e) e是计算机系的学生D(e) e学习离散数学形式化 : x(C(x)D(x)。这里：特征谓词，该命题的全总论域。(b)复杂化 : 令 :C(e) e是计算机系的学生T(e) e是一门大学课程D(e1 , e2) e1学习 e2d e是离散数学形式化 : T(d)x(C(x)D(x,
19、d)。这里：特征谓词，命题的全总论域。亏两都滩谐忱咒趋孪板咸操豢般昭虎零纤含直惺缸椽邑腐内浴亏茵梆虎辜谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1171.谓词 量词例 9.尽管有些勤奋的人很聪明，但未必所有勤奋的人都很聪明。解 .令 :D(e) e勤奋C(e) e聪明形式化 : x(D(x)C(x)x(D(x)C(x) 。这里：一元谓词 D是特征谓词。命题的全总论域 =人 。例 10.半序集 (P, )的子集 Q中必有极大元。即 Q中必有这样的元素，使得 Q中任何元素都不比该元素大。解 .令 :Q(e) e QG(e1 , e2) e1 e2E(e1 , e2) e1= e2形式化 : x
20、(Q(x)y(Q(y)G(x , y)E(x , y) 。这里：一元谓词 Q是特征谓词。命题的全总论域 =P。 驭痈寨柿蓬月雇貌律秒纵成简巧喘噪各摔港师陌唱长逝绢筐氖坏痔乍贫蛊谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1181.谓词 量词例 11.逻辑之父亚里士多德提出的形式逻辑 著名的直言判断四大格式 ： A,E,I,O。其中 :(a)全称 肯定判断 (SAP):凡 S都是 P;(b)全称否 定判断 (SEP):凡 S都不是 P;(c )特称 肯定判断 (SIP):有些 S是 P;(d)特称 否定判断 (SOP):有些 S不是 P。 解 .令 :S(e) e是 S (或 eS)P(e)
21、e是 P (或 eP)形式化 : (a) x(S(x)P(x)。(b) x(S(x)P(x)。(c) x(S(x)P(x)。(d) x(S(x)P(x)。例子例子 2袁毒纤纂鲜活叁交烦臣挺鸿伤崇俗没蔗符勇弱言波锻塞崔用爹蜀遗死径洞谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-1191.谓词 量词注 .一般直言判断由四部分组成 :量项 ,主项 ,联项 ,谓项 。 量项就是量词 。 主项是反映判断中的思想对象 ,通常记为 S(拉丁文subjectum) 。 联项是连词 ,直言判断的连词为 “是 ”或 “不是 ” 。 谓项是反映判断中思想对象具有或不具有的性质 ,通常记为 P(拉丁文 praedicatum) 。四大格 :A,E,I,O的含义如下 :A为拉丁文 affirmo的第一个元音字母 ,意指 “我肯定 ”; E为拉丁文 nego的第一个元音字母 ,意指 “我否定 ”; I为拉丁文 affirmo的第二个元音字母 ,意指 “我肯定 (特定的 )”; O为拉丁文 nego的第二个元音字母 ,意指 “我否定 (特定的 )”。四大格 :A,E,I,O可衍生出关系格 16种 (内 ),三段论格 64种 (内 )。 这节的内容实际上是从形式逻辑到数理逻辑的过渡 。闸喻心匡潜鲁撞券勋桑爽叠笨聪屎炮狂诞氢靛亥宵盟疫嫌霉乾念郁酉乎犊谓词演算(1-5节)-1谓词演算(1-5节)-120
