1、第四章傅立叶变换和系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数4.2 傅立叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱傅立叶变换4.5 傅立叶变换的性质4.6 周期信号的傅立叶变换4.7 LTI系统的频域分析4.8 取样定理,本章提要,傅立叶变换和傅立叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号的傅立叶变换LTI系统的频域分析抽样定理,傅立叶分析和频域分析,傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特
2、性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,本章从傅立叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅立叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅立叶变换性质的研究，初步掌握傅立叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅立叶级数，也可以利用傅立叶变换，傅立叶级数相当于傅立叶变换的一种特殊表达形式。本章还将研究抽样信号的傅立叶变换，引入抽样定理。,本章脉络,本章初步介绍傅立叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面滤波、调制和抽样。系统函数H(j)及傅立叶变换分析法；无失真传输条件；理想低通滤波器模型；系统的物理可实现条件；调制
3、解调的原理与实现；带通系统的运用；抽样信号的传输与恢复；,变换域分析选取完备的正交函数集来最佳逼近信号f (t)，或者说，信号f (t)用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅立叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：其内积为0。即,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集,例如三维空间中
4、，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。,例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz,矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,这个概念可推广到n维空间。,平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。,二、信号正交与正交函数集,1. 定义：,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足,(两函数的
5、内积为0),则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。,2. 正交函数集：,若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。若Ki =1则称此函数集为标准正交函数集。,3. 完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,( i
6、 =1，2，n),三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。,通常使误差的均方值(称为均方误差)最小。均方误差为,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,代入，得最小均方误差（推导过程见教材）,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有
7、,上式称为(Parseval)帕斯瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,例,将右图方波信号f(t)在上述的正交函数集sint，cost上分解。,4.2 傅立叶级数,傅立叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件,傅立叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 17681830 ),法国数学家。1768年3
8、月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅立叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。,在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法.,在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一
9、个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅立叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅立叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅立叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅立叶才把他的成果以另一种方式
10、出现在热的分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成 就。,书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅立叶级数和傅立叶积分，这个名称一直沿用至今。傅立叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅立叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅立叶级数法,从
11、而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅立叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅立叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅立叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅立叶的第二个主要论点,周期信号与傅立叶级数,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： . 三角函数式的傅立里叶级数 . 复指数函
12、数式的傅立叶级数,在一个周期内只有有限个间断点;在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即 周期函数只有满足这个条件才能展成傅立叶级数,一般周期信号都满足这些条件.,狄里赫利条件：（傅立叶级数）,一、傅立叶级数的三角形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅立叶级数。,系数an , bn称为傅立叶系数,可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。,式中，A0 = a0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐
13、波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,二、波形的对称性与谐波特性,1. f (t)为偶函数对称纵坐标,奇函数在对称区间内积分为零。,偶函数在对称区间内积分为半区间积分的两倍。,只含有常数项和余弦项。,2. f (t)为奇函数对称于原点,只含正弦项。,实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-
14、t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,3. 偶谐函数： ，则 只含偶次谐波。,周期本来就是T/2 。,4. 奇谐函数： ，则 只含奇次谐波。,不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,若周期信号波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，则称为偶谐函数或半周期重叠函数。,若周期信号波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴相对称，则称为奇谐函数或半波对称函数。,三、傅立叶级数的指数形式,三角形式的傅立叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅立叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2,
15、上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n，则上式写为,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,令复数,称其为复傅立叶系数，简称傅立叶系数。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。,注意：,1. 为直流分量，一般情况下要单独计算。,2.负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意义。,3.当 是实周期信号时， 和 互为共轭复数，有,即傅立叶复系数 的模和实部是 的偶函数； 的相角和虚部是 的奇函数。,4.当 是实偶函数时，则 是实偶函数；当 是实奇函数时，则 是虚奇函数。（利用 的计算公式可以证明）
16、,指数型和三角型傅立叶级数系数之间的关系,注意：指数型和三角型傅立叶级数中，n 的取值范围不同。,例：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅立叶级数。,解：,(2) 指数型傅立叶级数,称为抽样函数或取样函数,4.3 周期信号的频谱及特点,一、信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|和n的关系，称为双
17、边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。,说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅立叶系数 或 反映了不同谐波分量的幅度， 反映了不同谐波分量的相位。,频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度反映了该信号携带的全部信息。,信号傅立叶级数的工程写法：,2. 各（非零）分量的数目不同。,3. 幅度 （ ）不同，相位 （ ）不同。,不同的周期信号，其傅立叶级数的区别在于： 1. 由于 不同，所以基波频率 不同，谐波频率 也不同。,例如某周期信号的傅立叶级数为,单边频谱：,双边幅度频谱,双边相位频谱,单边幅度频谱,单边相位频谱,双边频谱：,画频谱图时注意：,2. 三角型傅立叶级数必须统一用余
18、弦函数来表示；,5. 谱线只在基波的整数倍处出现。（思考：为什么？）,例1：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边频谱。,解: (1) 单边频谱,单边幅度频谱：,单边相位频谱：,双边幅度频谱：,双边相位频谱：,(2) 双边频谱,例2：已知某周期信号的单边频谱如图所示，试写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。,解:,双边幅度频谱,双边相位频谱,双边频谱:,二、周期信号频谱的特点,下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。,由于信号各分量的幅度随频率增高而减小，其信号能量主要集中在第一个零点 ，在允许一定失真的条件下，只需传送频率较低的分量，通常把 这段频率范围成为周期矩形脉冲的频
19、带宽度或信号的带宽。,1. 频谱特点:(1)离散性(2)谐波性(3)幅度收敛性,和 与频谱的关系:,三、周期信号的功率谱,周期信号的平均功率,称为帕什瓦尔定理或功率等式 表明周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。,例1：周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=,是f(t)的/4/12
20、 =3次谐波分量；,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,例2：图示周期矩形脉冲， ，试画出其频谱和功率谱，并求出其在有效频带宽度 内的分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。,解:,频谱,功率谱,在时域中求得信号的功率为,在有效频带宽度 内的分量所具有的平均功率为,4.4 非周期信号的频谱傅立叶变换,一、傅立叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。,周期信号,非周期信号,为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅立叶变换存在的充分条件:,(2)用下
21、列关系还可方便计算一些积分,说明：,狄里赫利条件修改为,(1) 在 只有有限个不连续点；,(2) 在 只有有限个极大值、极小值；,(3) 在 绝对可积，即,这只是充分条件而非必要条件，如果引入广义函数后，即使不满足此条件，甚至某些非功率非能量信号也可能存在傅氏变换。,二、常用函数的傅立叶变换,1. 矩形脉冲,2. 三角形脉冲,3. 单边实指数脉冲,4. 双边实指数脉冲,5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅立叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅立叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅立叶变换F (j)为,这样定义的傅立叶变换也称为广义傅立叶变换。,构造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),另一种求法： (t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅立叶变换定义式，得,6. 单位冲激函数,（白噪声）,7. 符号函数,8. 虚指数信号,周期信号的傅立叶变换,9. 单位阶跃信号,10. 高斯脉冲(钟形脉冲),可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，若,归纳记忆：,1. F 变换对,2. 常用函数 F 变换对：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),
