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类型外微分.doc

  • 上传人:hyngb9260
  • 文档编号:7785471
  • 上传时间:2019-05-25
  • 格式:DOC
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    1、 利用外微分对场论中三个算子的讨论【摘要】本文通过引入外微分算子,对经典场论中的梯度, 旋度,散度做了统一的解释, 寻找其中的关系.同时利用其寻找 NewtonLeibniz 公式、Green 公式、Stokes 公式和 Gauss 公式之间的联系.关 键 词:外微分 场论 1、 引言在关于多元函数积分的学习中,我们可以得出各种积分之间的联系.但是我们可以看到,关于统一这些积分形式的 NewtonLeibniz 公式、Green 公式、Stokes 公式和 Gauss 公式之间也是有一定联系的.通过查找资料知道,我们可以通过另一个形式外微分,将它们统一起来.同时,也可以用外微分算子来解释经典场

    2、论中的三个算子:梯度算子、散度算子和旋度算子的引进.在三维空间中,我们只能得到四种相应的外微分形式,但是按照外微分算子的定义,其可以推广到 n 维.以上问题将在下面进行简要的讨论与证明.2、 主要结论及其证明2.1 场论的简单引入2.1.1 场的概念依据空间中坐标系的表现形式,场是关于点的坐标的多变量函数.根据原物理量,可以将场分为数量场和向量场.2.1.2 场论中的三个算子从对数量场的方向微商的定义中,可以引申出梯度的概念.定义 2.1:数量场 u 在点 M 处的梯度是一个向量,记为 gradu,其大小为场 u 在点 M 的所有方向微商中的最大值,其方向为取到这个最大值所沿的那个方向.在三维

    3、的直角坐标系中可以表达为:.=+从对向量场的通量的定义中,可以引申出散度的概念.定义 2.2:设 是区域 上的向量场, 是 内一点.在场中围绕点 做任意的闭曲面 ,() G 是 所围成的闭区域,其体积记为.是 外侧的单位法向量.若当区域 无限收缩于点 时,比式 的极限存在,就称该极限为向量场 在点 的散度,记为 ,即 它表示点 附近单位体积所流出的流量,称为 处源的密度.0 0从对向量场的环量的定义中,可以引申出旋度的概念.定义 2.3:设 是定义在区域上的向量场,是 中的一点,是在点处取定的单位向量.在() 内过 ,做任意光滑的且以 为法向量的曲面元 ,假定这个曲面元的面积为,它的边界是逐段

    4、 光滑的闭曲线 .选取 的环行方向,使之与向量 组成右手螺旋系统.如果当面元 无限收缩 于点 ,而在点 处的法向量 保持不变时,平均环量 的极限就存在,就称此极限为场 在点 处绕方向 的涡量 ,记做 ,即 ()并且吧这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为 在点 的旋度,记 作 .()2.2 外微分形式2.2.1 外微分形式的外积设在微分之间定义一种乘积的运算,它满足下述法则:两个相同微分的乘积为 0;两个不同微分的乘积变换顺序时变号.这种微分之间的乘积称作微分的外积,用 表示. 则定义 2.4:由微分的外积乘以三元函数组成的微分形式称为外微分形式. 设 都是三维空间 的函数,

    5、则分别称(1)(4)式为零阶、一阶、二, ,阶和三阶外微分式(1)(2)+(3)(4)其满足分配律和结合律,但不满足交换律.2.2.2 外微分形式的外微分当我们在其中引入微分运算符 d,若 是零次外微分形式 ,即为函数 ,则定义 =+d 就是通常的全微分算符.若 是一次外微分形式=+则定义=+将全微分 的表达式带入后化简,给出,若 是二次外微分形式,则可以类比.若 _D_Dd_2.3 对梯度、散度、旋度的统一2.3.1 梯度,旋度,散度的计算与联系因为在此,仅仅涉及到三维欧式空间,则三次外微分没有与之对应的“度”,可以不予以讨论,仅就场论中三个算子进行讨论.(1)零次外微分形式 的外微分公式为

    6、0=(,)0=+而数量场 的梯度为=+所以零次外微分形式的外微分与梯度相对应。 (2)一次外微分形式 的外微分为1=+而矢量场 的旋度为=+所以一次外微分形式的外微分与旋度相对应。(3)二次外微分形式 _/2=+而矢量场 的散度为=+=+所以二次外微分形式的外微分与散度相对应。(4) 在三维空间,三次外微分形式的外微分为0.则这三个算子与外微分形式的对应关系为外微分形式的次数 外微分对应的度0梯度1旋度2散度2.3.2 对几个公式的描述(1) 牛顿-莱布尼兹公式()=()|其中 是 在 上的一个原函数。若记 ,则, 则牛顿-莱布尼兹()(), =() =(),公式可写为,=,(2) 斯托克斯公

    7、式其中 是以分段光滑曲线 为边界的光滑曲面, 与 的方向遵从右手法则 . 在这个公式中,由于 与 都是有向的,故 是有向长度微元,是有向面积微元, ,若记 ,则=+故斯托克斯公式可写为格林公式作为斯托克斯公式的特殊情形,自然也具有上述形式。(3) 高斯公式其中空间闭区域 以分片光滑曲面 为边界,曲面 取外侧。 在这个公式中,由于 是有向的,故 也可看作有向的。若记 =+则 =(,)故高斯公式可写为综合上述,可以将上述各公式统一为 =令 为 维区域,则 是 的边界(因而是维的), 是阶外微分(因而 是 阶外微分) 。此定理在 N 维无限的空间依然适用,并不只局限于三维空间.3、 举例例 1 求矢

    8、量场 的旋度.=22+2sin+2解: 设 1=22+2sin+2则 1=(22)+(2sin)+(2)=(22sin)+2(22) 22所以 =(22sin)+2(22) 224、 结论利用外微分形式可以很好的将场论中的梯度,旋度,散度进行解释与统一.同时找到联系多元函数积分的几个公式间的统一形式.参考文献【1】 陈天权 数学分析讲义北京大学出版社 2010 年【2】 中国科技大学高等数学教研室 高等数学导论中国科学技术大学出版社 2008年【3】 马知恩 王锦森 工科数学分析基础 (第二版)高等教育出版社 2006 年【4】 曹剑光 曹维玺外微分在场论中的应用长安大学学报(自然科学版) 第25卷第3期 2005年5月

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