1、14 条 件 概 率,一、引出条件概率的例子,二、条件概率的数学定义,三、乘法公式,四、全概率公式,五、贝叶斯公式,条件概率的定义,条件概率是概率论中的一个重要概念，同时，我们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要工具。,什么是条件概率？,一、引出条件概率的例子,记“取出的产品是甲厂生产的”这一事件为A “取出的产品为次品”这一事件为B 则本例所需求的是已知A发生的条件下 B发生的概率 此概率记作P(B|A) 称为在A发生的条件下 B发生的条件概率,例118 一批同型号产品由甲 乙两厂生产 产品结构如下,现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的 那么这件产品为次品的概率是多大呢?,从这批产品中随
2、意地取一件 则这件产品为次品的概率为,当被告知取出的产品是甲厂生产的时 由于甲厂生产的500件产品中有25件次品 因此,例118 一批同型号产品由甲 乙两厂生产 产品结构如下,现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的 那么这件产品为次品的概率是多大呢?,当被告知取出的产品是甲厂生产的时 由于甲厂生产的500件产品中有25件次品 因此,注意,容易验证 对一般的古典概型 只要P(A)0 总有,在几何概型中(以平面区域情形为例) 在平面上的有界区域内等可能地投点,可见 在古典概型和几何概型这两类“等可能”概型中总有,若已知A发生 则B发生的概率为,二、条件概率的数学定义,定义13(条件概率 ) 给定概率
3、空间( P) A B是其上的两个事件 且P(A)0 则称,为已知事件A发生的条件下 事件B发生的条件概率,对给定的事件A P(A)0 条件概率满足概率的三条公理,(1) P( |A)1 (2)对任意事件B 有P(B|A)0 (3)对任意可数个两两不相容的事件A1 A2 An 有,条件概率的性质,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,例119 一袋中装有10个球 其中3个黑球 7个白球 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球 求第二次取出的仍是黑球的概率 (2)已知第二次取出的是黑球 求第一次取出的也是黑球的概率 ,记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i1 2),解,(
4、1)在已知A1发生 即第一次取到的是黑球的条件下 第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个 根据古典概率计算 取到黑球的概率为2/9 即有,说明,例119 一袋中装有10个球 其中3个黑球 7个白球 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球 求第二次取出的仍是黑球的概率 (2)已知第二次取出的是黑球 求第一次取出的也是黑球的概率 ,记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i1 2),解,在已知A2发生 即第二次取到的是黑球的条件下 第一次取球发生在第二次取球之前 问题的结构不像(1)那么直观 采用(12)式计算P(A1|A2)更方便一些,(2),因为,根据条件
5、概率公式(12)可得,例：某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率,解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时,所求概率为,在上面例子中可以观察到,它是条件概率的计算公式。,要求P(A)0, P(B)0,而P(A)、 P(B)称为无条件概率。,条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系,若,一般地,当P(A)0时 有 P(AB)P(A)P(B|A) (13) 当P(B)0时 有 P(AB)P(B)P(A|B) (15),乘法公式的推广 若P(A1A2An1)0 则 P(A1A2An)
6、P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1) (16),三、乘法公式,例120 某批产品中 甲厂生产的产品占60% 已知甲厂的产品的次品率为10% 从这批产品中随意地抽取一件 求该件产品是甲厂生产的次品的概率 ,记A表示事件“产品是甲厂生产的” B表示事件“产品是次品” 由题设知,解,P(AB)P(A)P(B|A),根据乘法公式 有,P(A)60%,P(B|A)10%,60%10%,6%,例121 袋中有10个球 其中3个黑球、7个白球 先后两次从中随意各取一球(不放回) 求两次取到的均为黑球的概率,设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i1 2) 则A1A2表示事
7、件“两次取到的均为黑球” 由题设知 ,解,于是根据乘法公式 有,例 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.,设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效,已知,求,解,解,由,即,故,解法二,全概率公式,解：B=AB+B且AB与B互不相容。,市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70，乙厂占30，甲厂产品的合格率是95，乙厂的合格率是80若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品
8、。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率。,引例:,解：B=AB+B且AB与B互不相容。,P(B)=P(AB+B),=P(AB)+P(B),=P(A)P(B|A)+P()P(B|),=0.70.95+0.30.8,=0.905,四、全概率公式,简要证明,定理11(全概率公式),B1,Bn,AB1,AB2,ABn,A,B2,例122 一袋中有10个球 其中3个黑球 7个白球 从中先后随意各取一球(不放回) 求第二次取到的是黑球的概率 ,记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i1 2) 则有,解,由题设易知,于是有,例123 为了解一支股票未来一定时期内价格的变化 往往要分析影响
9、股票价格的基本因素 比如利率的变化 现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60% 利率不变的概率为40% 根据经验 人们估计 在利率下调的情况下 该支股票价格上涨的概率为80% 而在利率不变的情况下 其价格上涨的概率为40% 求该支股票将上涨的概率,记A为事件“利率下调” 那么A即为“利率不变” 记B为事件“股票价格上涨” 据题设知,解,P(A)60%,P(B|A)80%,于是,60%80%40%40%64%,设A1 A2 An是一个完备事件组 且P(Ai)0 i1 2 n 则对任意事件B 有,全概率公式的特例,Bayes公式,五、贝叶斯公式,贝叶斯公式的特例 设A1 A2 An是一个完备事件
10、组 且P(Ai)0 i1 2 n 则对任意事件B P(B)0 有,定理12(贝叶斯公式),j,例124 袋中有10个球 其中3个黑球 7个白球 从中先后随意各取一球(不放回) 如果观察到第二次取到的球是黑球 求第一次取到的是黑球的概率,设“第一次取到的是黑球”这一事件为A “第二次取到的是黑球”这一事件为B 则问题归结为求条件概率P(A|B),解,根据贝叶斯公式,易知,例125 设某批产品中 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20% 各厂产品的次品率分别为4%、2%、5% 现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率 (2)经检验发现取到的产品为次品 求该产品是甲厂生产的概率 ,记“
11、该产品为甲厂生产的”这一事件为A1 “该产品为乙厂生产的”这一事件为A2“该产品为丙厂生产的”这一事件为A3 “该产品是次品”这一事件为B 由题设知 ,解,P(B|A3)5%,P(B|A2)2%,P(B|A1)4%,P(A3)20%,P(A2)35%,P(A1)45%,(1)由全概率公式得,45%4%35%2%20%5%,35% ,例125 设某批产品中 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20% 各厂产品的次品率分别为4%、2%、5% 现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率 (2)经检验发现取到的产品为次品 求该产品是甲厂生产的概率 ,记“该产品为甲厂生产的”这一事件为A1 “
12、该产品为乙厂生产的”这一事件为A2“该产品为丙厂生产的”这一事件为A3 “该产品是次品”这一事件为B 由题设知 ,解,P(B|A3)5%,P(B|A2)2%,P(B|A1)4%,P(A3)20%,P(A2)35%,P(A1)45%,(2)由贝叶斯公式得,各原因下条件概率已知 求事件发生概率,求是某种原因造成得概率 事件已发生,全概率,贝叶斯(逆概),注意:由前例可知道,一般地,贝叶斯概率的要求条件比全概率的多,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,应用举例 肠癌普查,设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B,表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：,某患者首次检查反应为阳性, 试判断该,患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为,阳性呢？,由Bayes 公式得,首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大,接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半,两次检查反应均为阳性,还不能断,定患者已患肠癌.,连续三次检查为阳性,几乎可断定已患肠癌,抽签的公正性 设10支签中有4支难签。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。,解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。,
