1、第 1 页 共 6 页巧用基向量解立体几何题（海南省琼海市长坡中学 王萧）摘 要：利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系往往受到图形的制约，很难在立体几何问题中普遍使用，一般情况下, 我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法。关键词：基向量、基底建模法、自由性向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题,并
2、具有很强的规律性和可操作性, 而利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系往往受到图形的制约,很难在立体几何问题中普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下, 我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法, 它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法,并且应用广泛，下面本人将通过几个实例来加以具体说明, 供参考。引例：如图 1，已知正四面体 ABCD 中，E、F 分别在 AB，CD 上，且 ， ，则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为（ ）A、 B、 C
3、、 D、解析：可以以 、 、 为一组基向量。ABC解： 设 ， ， ，则 ， ， ，又设正四面体的棱长为 4，则 AE=1，CF=1， ， ， ，8bac8a由余弦定理可得 ，同理 因为 ， ，E4CDF413313413ADBAED41 ABDACADBCF 413)(41abcA06,06,b06,cos202E3F第 2 页 共 6 页所以 所以又由异面直线所成角的定义，可知直线 DE 和 BF 成成的角的余弦值为 ，选 A评注：引例的方法有如下特点：（1）当从一点出发的三条不共面的线段长度已知, 它们的夹角也已知时, 可选择这三条线段所代表的向量作为基向量, 然后求解；（2）当从一点出
4、发的三条不共面的线段长度可求出, 它们的夹角也可求出时, 可选择这三条线段所代表的向量作为基向量, 然后求解。其实, 引例的方法是通常坐标法的推广, 因为当基底中任意两个都互相垂直, 且它们三个都是单位向量时, 即转入通常的空间直角坐标系的运算。当然如果基底中的任意两个向量的夹角都不等于90 0时, 建立空间直角坐标系求解难度更大而利用引例的方法没有增加思维方法上的难度, 只是计算量稍微多一点而已，所以引例的这种方法是通性通法。例 1：（08 湖南）如图 2，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD， PA2。06BCD（）证明
5、：平面 PBE平面 PAB，（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小。解析：AP、AB、AD三线段长度已知，且 之间的夹角可求，故可以 作为基底（I）证明：以 为基底，则由题意有 BAD60， 所以 ，而 所以 = = =0所以 ，所以 ，又 PA底面 ABCD， ， 所以 PA EB，而 ，所以 EB面 PAB ， ，所以平面 PBE平面 PAB（）由题意有 ，作 BO AD于 O，则 PABO，又 ，4)143)(1 acbaBFDE|,cosBFE 134AD、BPADBP图 221AAE21ABEABEABCDE面PPBE面0,0DAPAO12360sin|E)(0
6、6cos|DBA2121第 3 页 共 6 页所以 为面PAD的法向量，且 ，设 为面PBE的法向量，则 ， 即， ，所以 解得 ，令所以 ，所以 所以 =3所以 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小为 。评注：本题如按图 3 建立空间直角坐标系较难，而点的坐标更是难求，用基底建模法不用去找两两垂直的直线，更不用去求点坐标，完全避开这两个难题，从而使得求解过程简洁明了。从考试心理和学习心理来看,例 1 若用坐标向量法求解,当空间直角坐标系建立错误时,一般没有分数；而用上面方法求解,会根据学生的书写分步给分。对基础差的学生特别是文科生来说,获得适当的分数,对他们以后的学习是一
7、个极大的鼓励,继而会使他们进入良性循环,增强学习数学的信心,增加对数学的情感投入,上课也会更认真一些。例 3：（07 浙江）在如图 4 所示的几何体中， 平面 ， 平面 ，EABCDABC，且 ， 是 的中点ACB2CBDAEMB（I）求证： ；M（II）求 与平面 所成的角解析：此题可以如图 5 建立空间直角坐标系，但这种建系方法不容易想到，下面用基底建模法求解，读者可以比较一下这两种方法的优缺点。OBAPzByDxn 0EBn0Pn0)21()( zAyx )()( AzAyDx0421zyx z4, 4,1yz则APBn 52|4|APBn5123|,cos OBn)21()4(DO D
8、|2 51arcosCMA图 4 BEDCMAByzx图 5图 3书资料 3第 4 页 共 6 页解：设 ，则 ，以 为基底，则 ， （I）证明：因为 ，所以=0故 ， 所以 CME（II）解：设 为平面 的法向量CDE则 即解得 ，令xyz2,021y、则所以所以=又 ，所以所以 与平面 所成的角为 。CMDE上述几个例子中基底之间的角是明确的,其实基底各向量之间的角还可以降低要求,使得基底建模法更自由，例如： 例 4：（07 海南文）如图 6， A， B， C， D 为空间四点。在 ABC 中，AB2， AC BC 。等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动。2（）当平面 ADB平面 ABC
9、 时，求 CD； 图 6aBCAaA2BE, 0,0ACE245cos| aACBM21BM21)()(BACC AECAE21|412AzCyBxn0,A)(EzyxCBn2)21()(ACBAM 2|21aABn| aACBCM|21|cosn045第 5 页 共 6 页（）当 ADB 转动时，是否总有 AB CD？证明你的结论。解：（）略（）以 作为基底，由已知可得 而 所以= = = 0故总有 ABCD。评注：原标准答案是分类讨论的,即分点 D 在平面 ABC 内和点 D 在平面 ABC 外两种情况证明结论,此处利用非坐标向量巧妙回避综合几何的分类讨论。在四面体、平行六面体等图形中,当
10、不易到从一点出发的三条两两垂直的直线建立直坐标系时,可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底,并用它们表示出指定的向量,再利用向量的运算证明平行和垂直,求解角和距离。 “基底建模法”可作为空间直角坐标系的一个补充,掌握该方法,可有效地提高利用空间向量解决立体几何问题的能力。上面的例子都是把从一点出发的不共面的三条线段所代表的向量作为基向量然后求解，因为我们研究的向量是自由向量,基向量的选取不一定要求它们的线段共点,从理论上讲只要三个向量不共面就可以了,这个本质的放宽,给我们带来了无限的变式空间。例 5（08 全国卷）等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角ABCDEAB的余
11、弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的CABDMN， ， MN，余弦值等于 对于本例，标准答案都是用传统的综合几何法求解,添加了许多辅助线,有的多达10 条之多,要求学生有很好的空间想像能力和计算与证明的技巧,对一道填空题,可谓大动干戈，下面灵活选取基向量,利用基底建模法简单求解。解：如图 7，设 O 是 AB 中点， OCAO ， 依题意有 AEAO ， 所以 ，选取 作为基底 ，令 AB=1，则006,45ABDABCBDCA,CDA )(BB 0045cos|6cos| BACD23图 73,cosAEC OCAE,21)3(21,0,0,2 OCEAO3,cos第 6 页 共 6 页
12、所以所以 ， ，所以 。近几年高考立体几何解答题的标准答案几乎清一色用的是坐标向量法(另一种为综合几何法)。本人认为“非坐标向量”也应引起我们的重视，特别是在文科教学中。首先,非坐标向量也是向量,并且它是研究向量的起点和基础；其次,它具有较大的自由性,它对发展学生思维有很好的作用,坐标向量的这种作用相对较差；第三,它的应用范围更广泛,一些问题用坐标向量难以解决,用非坐标向量容易解决。所以基底建模法可以作为空间坐标向量法一个很好的补充而应引起我们足够的重视， 而且用基向量表示空间向量对文科生来说也不是很难理解的问题，所以我们教师应该介绍并且要推广“基底建模法”在空间几何中的应用！ 1普通高中课程标准实验教材数学 A 必修系列，选修系列 人民教育出版社，2004 年2任志鸿，2007 年全国及各省市高考试题汇析，南方出版社3任志鸿，2008 年全国及各省市高考试题汇析，南方出版社3北京点知教育研究院，2008 年全国各省市高考试卷总汇及详解（数学） ，光明日报出版社，2008 年 6 月4陈志豪、李国屏 应注意“非坐标向量”在立体几何中的作用中学数学研究 2009 年第 1 期,21OCAEM OCABAN2132123|ANEM61,cos432161 41|4| | 2222 OCAEC81)23()21( OCAOCAEAN
