1、第十三章习 题 解 答131 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求：（l）平行于木纹方向的切应力；（2）垂直于木纹方向的正应力。解： 由图a可知 MP 0Pa, 6.1,.xy（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa1.0)5(2sin6.1 Pa97.)(cos.15 （2）垂直于木纹方向的正应力 Pa1.0)752sin(6.1 a527.cos.75 由图b可知 MPa 25.1, xyx（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 a08.1)5(2cos5.12cos 6inin15 x（
2、2）垂直于木纹方向的正应力 MPa08.1)752cos(.1cos6inin75 x132 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa） ，试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力解：（a）已知 a 20a,10,0Pa3xyx 则由公式可直接得到该斜截面上的应力151.62.0单位：MPa习题 131 图1.25(a) (b)MPa10)42cos(0)42sin(1032cossin2 Pa)4(10302sinco2 xyx xyxyx（b）已知 a MPa,0Pa3xyx 则： MPa21.)5.2cos(0)5.2sin(2103cos2sin Pa93.1.)5.(10302si
3、nco xyx xyxyx（c）已知 6Ma Pa,MPa10 xyx则： MPa17.3)60(2cos15)60(2sin01s a49.30)6(2sin15)60(2co0120is xyx xyxyx133 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa） ，试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。134 已知应力状态如习题13 2图所示（应力单位为MPa） ，计算图示应力状态中的主应力及方位。习题 132 图(c)(b)10203067.53010(a)204560201015605030(d)习题 133 图1020(a)1545(b)604020解：（a）已知 MPa 2
4、0Pa,10,0MPa3xyx 则由公式可直接得到该单元体的主应力 maxmin=+2 (2 )2+2)=30+102 (30102 )2+(20)2=42.362.36主应力为： 1=42.36, 2=0, 3=2.36 tan20=2=2(20)3010 =220= 63.44116.56 0= 31.7258.28因为 ，主应力 对应的方位角为 。xy 1 1=31.72135 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑） 。图中应力的单位为MPa。解：（a）已知 MPa 20Pa,20,0MPa4xyx 则由公式可直接得到该单元体的主应力 maxmin=+2 (
5、2 )2+2)=40+202 (40202 )2+(20)2=52.367.64主应力为： 1=52.36, 2=7.64, 3=0 tan20=2=2(20)4020=220=63.44116.56 0=31.7258.28因为 ，主应力 对应的方位角为 。xy 1 1= -31.72（b）已知 MPa 4Pa,MPa4xyx 则由公式可直接得到该单元体的主应力 maxmin=+2 (2 )2+2)=40-202 (40+202 )2+(-40)2= 60-40主应力为： 1=60, 2=0, 3=-40 (a)202040习题 135 图204040302020(b) (c)tan20=2
6、=2(-40)40+20 =4320= 53.13-126.87 0= 26.56-63.44因为 ，主应力 对应的方位角为 。xy 1 1=26.56（c）已知 MPa 2Pa,3,MPaxyx 则由公式可直接得到该单元体的主应力maxmin=+2 (2 )2+2)=-20+302 (-20302 )2+(20)2= 37.016-27.016主应力为： 1=37.016, 2=0, 3=27.016 tan20=2=2(20)-2030=4520= 38.66-141.34 0= 19.33-70.67因为 ，主应力 对应的方位角为 。xy 1 1= -70.67136 已知应力状态如图所
7、示（应力单位为 MPa） ，试画三向应力圆，求最大切应力。解：图 a 为单向应力状态，图 b 为纯剪切应力状态，图 c 为平面应力状态，其应力圆如图。最大切应力分别为：2， ， 12(a)习题 136 图(b) (c)0 0图 a 图 b图 cO121O 31O137 已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单位为 MPa） 。解：图 a 为三向主应力状态，应力圆如图（a） 。1=60, 2=50MPa, 3=-70 ， max=56MPa图 b 一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应力。于是有 1=40, 2=20MPa, 3=-40
8、， max=40MPa其应力圆如图（b） 。138 图示悬臂梁，承受荷载 F = 10KN 作用，试求固定端截面上 A、 B、 C 三点最大切应力值及作用面的方位。解：固定端截面的弯矩,剪=102=20力 。F=10I=312=801603101212 =2.7311054截面 a 点的应力：,其应力状态为单向应力=MyIZ=20103801032.731105 =5.859107=58.59MPa,=0状态，即, 最大切应力作用面的方位为1=58.59MPa, 2= 3=0， max=12=29.29MPa。=-4截面 b 点的应力：,其=MyIZ=20103401032.731105 =2
9、.929107,=101034080601090.082.731105. =8.788105应力状态为平面应力状态，即 maxmin=2(2)2+2)=29.292 (29.292 )2+(0.8788)2= 43.96-14.62M主应力：习题 137 图40(a)506070 20(b)40习题 138 图2mA16080BCFA图 a70 601501图 b40O20-40。1=43.96M, 2=0， 3=-14.62， max=1-32 =29.29Pa求最大切应力作用面的方位先求主应力的方位，即tan20= -2 = -20.878829.29= -0.06， 20=-3.4317
10、6.57， 0=-1.7288.281= -1.72， =1+45=43.28截面 c 点的应力：,其应力状态为纯剪切应=0,=3Fs2A= 31010328016010-6=1.172106Pa=1.162MPa力状态，则, 最大切应力作用面的方位为1=, 2=0， 3=1.172M， max= =0。139 空心圆杆受力如图所示。已知F=20kN，D=120mm，d = 80mm，在圆轴表面 A 点处测得与轴线成 30方向的线应变30= 1.022105 ，弹性模量 E=210GPa, 试求泊松比 。解：1、A 点对应的横截面上只有正应力，即=F= 201034(1202802)106=3
11、.185106=3.1852、取 A 点的单元体3、由斜截面应力计算公式有30=cos2=3.18534=2.389120=cos2=3.1850.52=0.796253、根据广义胡克定律有30=1(30-60)则 =3030120 =2.3891062101091.0221050.796106 =0.31310 在其本身平面内承受荷载的铝平扳，巳知在板平面内的主应变为 1 = 3.510-4， 3 = -5.410-4 其方向如图 1310 所示。铝的 E70 GPa，0.33，试求应力分量 x、 y 及 x。解：由题意可知该应力状态为平面应力状态，根据广义胡克定律有代入1=1(13) 3=
12、1(31)A 0习题 139 图30AF F60xzy13习题 1310 图3.510-470109=10.333-5.410-470109=30.331得 1=13.5106=13.5, 3= -33.35106=33.35利用斜截面应力公式1=+y2 +-y2 120120120= 2-y及 得+y=1+3 x= -21.7, =1.7, x= -20.31311 已知各向同性材料的一主应力单元体的 1 = 30MPa， 2 = 15MPa， 3 =-5MPa，材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比 。试求该点得主应变。250.解：直接应用广义胡克定律即可求出。 5-35-24-31
13、 108. 0.7 1.7（ ；）-211312 图示矩形板，承受正应力 x 与 y 作用，试求板厚的改变量 与板件的体积改变 V。已知板件厚度 =10mm，宽度 b = 800mm，高度 h = 600mm，正应力 x = 80MPa， y = -40MPa，材料为铝，弹性模量 E 70GPa，泊松比 0.33。解：由广义胡克定律即可求出 43y 1086.)40(.170-)(1 -Exzz则 mz 3486.86.体应变 43109.)0(17.2)(2-1 yxE板件的体积改变量 34 57.268093.1mV1313 如图所示，边长为 20cm 均质材料的立方体，放入刚性凹座内。顶
14、部受轴向力 F = 400kN 作用。已知材料的E = 2.6104MPa， = 0.18。试求下列两种情况下立方体中产生的应力。（1）凹座的宽度正好是 20cm；（2）凹座的宽度均为 20.001cm。解：（1）根据题意立方体两水平方向的变形为零，即 为变形条件，由广义0yx胡克定律得习题 1312 图hbxy习题 1313 图20cm 20.001cmF0)(1xy-Ezyyzxx上式解出 。zyx1式中 。代入数据，得MPaAFz 0.243MPayx 195.20.81（2）根据题意立方体两水平方向的变形为 0.001cm，应变，由广义胡克定律得5-0.0.1yx 5-x-y10.)(
15、1.-Ezyyzxx式中 。上式解出 。MPaAFz 0.243 Ezyx 1.5代入数据，得 MPayx 854.216180.545 1314 已知如图所示受力圆轴的直径 d=20mm，若测得圆轴表面 A 点处与轴线 45方向的线应变 45= 5.2010-4，材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比 = 0.3。试求外力偶矩Me。解：A 点应力状态为纯剪切状态，故 45方向为主应力方向，且有 。由 -0 321， 4311 102.5)1()( E得 。对于扭转是 A 点的切应力 ，则MPa80 PeMWmkNDe 6.12510836P1315 一直径为 25mm 的实心钢球承受静
16、水压力，压强为 14MPa。设钢球的E=210GPa，=0.3。试问其体积减少多少？解：根据题意有习题 1314 图A 45MeMPa-14321体应变 53321 10.-80.-)(- E体积改变量 335.65470.8Vmd1316 试对图示三个单元体写出第一、二、三、四强度理论的相当应力值，设 =0.3。解：(a) 由题图可知 MPaaMPa30,10,2021 则 MPaPaa83.45)()()(21;503;26)31(.2)(;20213232r43r321r (b)已知 00a,30Maxyx PP93.21,9.132则 MPaPaa91.46)()()(21;86.53
17、9.21.3 ;5.38).210()(;. 212r4r3221r （c）由题图可知习题 1316 图30(a)3020102010(b)1520(c)MPaaMPax20,0,51xyyz 则 ,20321MPaMPaa75.3)()()(21;40;.1)5(3.)(; 213232r43r3221r 则由公式可直接得到该单元体的主应力1317 有一铸铁制成的零件。已知危险点处的应力状态如图所示。设材料的许用拉应力 t=30MPa，许用压应力 c=90MPa，泊松比 =0.25。试用第一和第二强度理论校核其强度。1318 一工字钢制成的简支梁，受力如图 a 所示。其截面尺寸见图 b。材料
18、的=170MPa， =100MPa，试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上 A 点的强度。解：（1）横截面的几何性质 4343423 10.2108)102402( mmIz 3max, 7.14 mmSz （2）作简支梁的剪力图和弯矩图。 kNMkFs 870,70axax,（3）梁内跨中截面上下边缘有最大正应力为 1904.2.3maxmax MPaIyzB习题 1317 图550kN1m8m200 A840240B10z习题 1318 图40kN/m 1m550kN单位：MPa70503040（a） （b）（4）梁内支座处截面的中性轴上有最大切应力为 4.96
19、1004.27.133max,max MPabISFzs（5）梁内集中力作用处左侧截面上的剪力和弯矩为 kNMkcsc 69,670左该截面上 A 点的应力为 PaIyzC13504.2.3 MPabISFzCA 6.40.4267339左A 点的主应力为 09.2516.42135231Pa由第四强度理论 Mar 175)9.216().51624 因此，梁是安全的。1319 图所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t = 35010-6， 。若已知容器平均直径 D500 mm，壁厚d10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。试：（
20、1）导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；（2）计算容器所受的内压力。答 案131 = -1.773 MPa， = .1 MP132 （a） = 40.3 MPa， = 14 MPa。（b） = -38.2 MPa， = 0。（c） = 0.49 MPa， = -20.5 MPa。（d） = 35.8 MPa， = -8.66 MPa。133 （a） = 10 MPa， = 15 MPa。（b） = 47.3 MPa， = -7.3 MPa。135 (a） 1= 52.4 MPa， 2= 7.64 MPa， 3= 0， 1 =-31.8（b） 1= 11.23 MPa， 2= 0， 3=-7
21、1.2 MPa， 1 =52.2（c） 1= 37 MPa， 2= 0， 3=-27 MPa 0， 1 =70.5137 (a） 1= 60 MPa， 2= 50 MPa， 3= -70MPa， max =65MPa（b） 1= 40 MPa， 2= 20 MPa， 3=-40 MPa， max =40MPa138 Amax =10MPa， =45139 = 0.31310 x -228MPa y-0177MPa x166MPa1311 1 = 1.37510-4， 2 = 4.37510-5，=0.3。 3 = -8.12510-5。1312 =-0.00126mm，V = 538m 3。1
22、313 。)(4,221 dFdF1314 125.6Nm1315 6.5410-10 m31316 (a) r2=26MPa， (b) r3=53.86MPa, r4=46.91MPa, (c) r4=37.75MPa。1317 r1 = 24.3MPa， r2 = 26.6MPa1318 集中力作用点处截面 a 点处 r4 = 176MPa1319 p=3.36MPa13-1 （a） MPa1.0a,932.113-2 （a） （b）P,40 MPa2.1Pa,9.2（c） （d）a17.3a,5.3 6.8,3513-3 （a） （b）不改5,013-5 （a） o1321 7.,0MPa,64.7Pa,4.5（b） o1321 6.2,40MPa,0a,6（c） 7.,3713-8 omax45a,.58A13-10 Pa3.20Pa,7.1,7.21yx13-12 9.6mV,086.13-19 中 改为tpD2tp2t
