1、悬臂梁自振频率分析专业：防灾减灾及防护工程 学号：S201003087 姓名：岳松林1l 2l3541b 2b3bx传 感 器图中： ， ， ， ， ，cml8.401cl9.52cml6.3cl7.4cml6.5， ， b6b71b28整个悬臂梁的厚度均为 。h.0图 1一、解析解第一步，梁的基本情况梁的运动偏微分方程（1）222,vxtvxtEImptx这里不考虑梁的轴向剪力和粘滞阻尼力，求它的自由振动频率，因而其运动偏微分方程为：（2）222,0vxtvxtIx由梁的几何物理参数参数（梁高 h，材料密度已知）我们可以得到：（3）3122aEILxa（4）122()x梁的边界条件：固定端：
2、 （5）0自由端有刚性质量：（6）(3)212()EILmj其中 （7）123abhj第二步，梁的求解问题转化为偏微分方程的求解 2 22312 122, ,0avxtavxtEhLxaLxahx （8）令 （9）122()axL（10）3constEh将公式（9） （10）代入（8）（11）4322 “,()2 0vxtvxtvxtvxtaaaa该方程目前不能解。应采用能量法，即 Rayleigh 法一、理论准备基本概念是最大动能等于最大势能。求解多自由度体系比较方便。 0,sinvxtZt201()LvVEIdx20()LTmt22ax02m1()LVZEIxdTax202()LEIxdm
3、但是要先假设振型形状函数。比如均质等截面简支梁的真实振型是正弦曲线的形状函数 。则计算结果近似度较高。sinxL等强度梁，不同位置截面应力相同。 3“ 12axhaxMEconst所以等强度梁的振型应为抛物线。书中有另外一种表述：vd 为重力荷载引起的挠曲线形状。202()Ldmxvg此公式常用于任何类型体系频率的近似分析。 但应考虑梁端的矩形平台及加速度传感器质量的影响。二、具体计算采用 找出重力静载下挠度曲线。202()Ldmxvg梁分为两段。左端 为等强度梁，特点是各个截面应力相等；右端为等截面梁，特点是截面不变，抗弯刚度不变。Lxb梁重力作用下挠度曲线公式： 23223122()10(
4、)()()1mgMxxahEIxLgmgxgbLaahEEIxxa由 可以求出不同区间的 。2()()dyMx()dyvx1()02Lxbyx然后代入 2022()()LLbmxydyxdg整个积分求解过程用 maple 软件计算，具体过程见附件 1。解得其基频为：（圆频率 ） 。37895.20f srad/04653.128二、数值模拟梁的尺寸和约束不变，传感器简化为与梁等密度的质量块。用 Turegrid 建立有限元模型，如图 2 所示。单元均采用六面体单元。模型共包含 50548 个节点，38892 个单元。图 2采用 LS-DYNA 软件隐式求解方法进行计算求解，最后得到其基频为：。
5、Hzf85.19三、实验测量实验过程中在梁左端压一重物，实现相对固端约束，实验时在梁右边自由端施加一个初始位移，采用 DHDAS_5927 动态信号采集分析系统采集数据。得到的结构任意一点的振动曲线如图 3 所示。图 3用 Origin 7 对数据进行 FFT 变换，得到其幅值-频率曲线，如图 4 所示。图 4在 Origin 7 中可直接读得其频率（基频）为： Hzf062451.9四、结论通过对给定的等强度悬臂梁的理论、数值模拟和实验测量分析，得出此悬臂梁在三中方法下的基频分别为： ， ， （下37895.01f Hzf85.192Hzf062451.93标表示对应的第 种方法） 。可见，理论解最大，实验测得的结果最小，理论解和模拟结果i的相对误差为: ,模拟结果和实验结果的相对误差为：%56.21021f。应该说，三种方法的结果都是对真实解的逼近。理论解中采用.4%032fRitz 法，形状函数只取到四阶多项式，可能是结果偏大的一个原因；数值模拟方法中为建立有限元模型的便利，将圆柱传感器处理为与梁等密度的质量块，形状和尺寸都有变化，也会产生误差；而实验测量中，不可能做到理想状态，如通过端点压重物的方式还不是很能实现所要求的固端约束。这些都有待于解析，模拟方法的更加细致和实验条件的改善。
