1、导数中范围问题1.已知函数 在 处取得极值 2.（1）求函数 的表达式；（2）当 满足什么条件时，bxaf2)(1)(xf m函数 在区间 上单调递增？（3）若 为 图象上任意一点，直线),m,0yPbax2与 的图象切于点 ，求直线 的斜率 的取值范围。lxf2)(Plk解：（1）因 而函数 在 处取得极值 2 22/ )(bxafbxaf2)(1所以 所以 为所求 2)(0/f10424)(xf（2）由（1）知 22/ )1(4)(84xxf 可知， 的单调增区间是)(xf 1,所以， 12m0m所以当 时，函数 在区间 上单调递增 ,()(xf)12,(（3）由条件知，过 的图形上一点
2、的切线 的斜率 为：)fPlk20200/ )1(4)1()xxfk 1)(42020x令 ，则 , 此时 ， 根据二次函数 的图象性质知：2t t 4(8ttk 21)4(8tk当 时， 当 时， 所以，直线 的斜率 的取值范围是4minttmaxl ,2.已知函数 21()kxfc（ 0且 1c， kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 xc（1 ）求函数 的另一个极值点；（2）求函数 ()fx的极大值 M和极小值 m，并求 1 时 k的取值范围解：（）222()(1)()kxckckf x，由题意知 ()0fc，即得 20c， （*）0c， 由 ()0f得 20，由韦达定理知另
3、一个极值点为 1x（或 2ck）（）由（*）式得 21kc，即 k当 1c时， k；当 01c时， 2k（i）当 0时， ()fx在 )， 和 ()， 内是减函数，在 ()， 内是增函数1 )(/xf负 正 负1()02kMfc， 221()0()kcmf，由 21()kMm 及 0k，解得 2k （ii）当 时， ()fx在 ， 和 ， 内是增函数，在 c， 内是减函数2()0kfc， (1)02kf 22(1)()k恒成立综上可知，所求 k的取值范围为 )， ， 3.设函数 , ( 是实数, 为自然对数的底数)xxpfln(eg)pe（）若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；)（）若
4、直线 与函数 , 的图象都相切,且与函数 的图象相切于点 ,求 的值；l)(xf )(xf )01(p（）若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围,1e0)(00gxfp解：（） ， 要使 为单调增函数，须 恒成立，2)(xpff 0)(xf即 恒成立，即 恒成立，又 ，02px x12212x所以当 时， 在 为单调增函数要使 为单调减函数，须 恒成立，1)(f,)(f 0)(xf即 恒成立，即 恒成立，又 ， 所以当 时， 在02px xxp122201xp)(xf为单调减函数 综上所述， 在 为单调函数， 的取值范围为 或 (0,)(f0,p0（） ， 设直线 , 2(pfxx
5、12p:2(1)lyx 与 图象相切 , 得 ,l)g()yxe(1)ex即 ， 当 时，方程无解；2(1)()0pxp当 时由 ， 得 综上，214()0pe14pe14pe（）因 在 上为减函数 ，所以xeg)(, 2,)(xg 当 时，由（）知 在 上递减 ，不合题意0)(xf,1e20)(maxff当 时，由（）知 在 上递增， ，又 在 上为减函数，1p )1(g,1e故只需 ， ，即： minax)()(gf,ex14ln2pepf当 时，因 ， 1， 10p0xe所以 不合题意综上， 的取值范围为 xfln2)()2ln1l2)(xp),14(2e4.已知函数 ).()(, xf
6、ga其 中（I）若当 的表达式；,4)(1xfex求 函 数的 最 大 值 为函 数时（II ）求 上是单调函数。)0(, 在 区 间使 函 数的 取 值 范 围a解：（I） 单调递减，xf)( ),1(,)1,(axfaf 在单 调 递 增在所以 取最大值（1） 解得 符合题意a时 ,4(mxf时即 a（2） 解得 舍去4)()(,maxffe时即 13e（3） 解得 舍去.0e时即 a5综上 xxf4ln)(（II） ag1 axxg 41)2(1)(2（1） 所以 上单调递减02,0)(,4xa时且 只 有时 ），在 （ 0f（2） ,)(,41,10 xga在时0)(,2,4( ax
7、,0)(,412(xga上不单调， 综上),0)在f ),的 取 值 范 围 为a5.已知函数 ，点 .()xaxb,AsfBtf（）若 ，函数 在 上既能取到极大值，又能取到极小值，求 的取值范围；3，f)3(t t（）当 时， 对任意的 恒成立，求 的取值范围；0a()ln10fx1,2xb（）若 ，函数 在 和 处取得极值，且 ， 是坐标原点，证明：直线b()fst 32aO与直线 不可能垂直.OAB解：（）当 时 ， 在 上递增，在3,0a322f(x)-,f(x)3-6f(x),)(,0和上递减，所以 在 0 和 2 处分别达到极大和极小，由已知有 且 ，因而 的取值范围是(0,2)
8、f t032t.1（）当 时， 即0a01ln)(xf 01ln2xb可化为 ，记bx1ln ，g)(l)(则 记 则 ，xg22ll)( xxmln)2xm12)(在 上递减，在 上递增.)(xm)1，)(，0ln)()从而 上递增，因此 故 ),21(,0在xg bgx2l51(min .2ln5（）假设 ，即 =OABO(,),)()0sftfstft故 ，1)()(btas 1 22at由 ， 为 (x)=0 的两根可得， 从而有tf 2bs(),st,(0)339)(2ba即 2 ，这与 0 时， ()x等价于 21(0)axx，即 1a此时 ()f的单调递减区间为 1(,)依题意，得 ,.解之得 当 ag(3),只需 g(2)0，解得 x 2m或 x- （舍去）故 时，函数的单调递增区间为( ,+) 单调递减区间为(0, 2m) 而 h(x)在(0,+)上的单调递减区间是(0, 12)，单调递增区间是( 1，+)故只需 2m= 1，解之得 m= 12 即当 m= 时，函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
