1、常微分期末考试试题Pa42 1.(8) (10) 2.(1)(4)Pa60 1.(1) (2) 2.(1) (2) (4) (5)Pa88 1.2.3pa111 1.(1) (2) Pa132 7Pa164 2.(6) (8) (9) (13) (14) (15)Pa182 2.(2) (3)pa244 2. 4.(1) (2)22 22+3x-3-1231-yy1=0;*.1=+-=,6d.=,+,exxxyxxydyyccecee求 下 列 方 程 的 解 :解 : 原 方 程 可 以 变 形 为积 分 两 边 即 得 为 任 意 常 数 。化 简 为这 里 是 任 意 常 数.解 : 原
2、 方 程 可 变 形 为两 边 积 分 , 即 得这 里 为 任 意 常 数22222.dy1=;+,udu=,1arctn+,(x+y)=c.-52.=;,xu,du-7+5104=,cxdxxyxy作 适 当 的 变 量 变 换 求 解 下 列 方 程 :解 : 令 则 原 方 程 变 为分 离 变 量 为两 边 同 时 积 分 。 得这 里 为 任 意 常 数 。所 以 , 原 方 程 的 解 为 arctn解 : 令 即 则 原 方 程 变 为分 离 变 量 , 并 且 积 分 得为 任22-,+-1-04=.xyxyc意 常 数 , 代 入 u可 得 原 方 程 的 解 为化 简 得
3、22233.1+-=0;,=,1+,x-y.1u=(),y+()u=2(y)-ydxyMNyXuxxy验 证 下 列 方 程 是 恰 当 微 分 方 程 , 并 求 出 方 程 的 解 :解 : 这 里 , 这 时因 此 方 程 是 恰 当 微 分 方 程 。 现 在 求 , 使 它 同 时 满 足 如 下 两 个方 程 :第 一 个 方 程 对 积 分 , 得 到对 此 等 式 两 边 关 于 求 导 , 得与 相 比 较 得 到2,()=,积 分 后 得 到 23231u+.=c,-yx所 以即 得 到 原 方 程 的 同 解 为这 里 是 任 意 常 数 。22232.y-3(4-x)d
4、y=0;,=1,+,=x-4y.u=(y),+()x-4,(y)=-,(),-MNyXuux解 : 这 里 , 这 时因 此 方 程 是 恰 当 微 分 方 程现 在 求 , 使 它 同 时 满 足 如 下 两 个方 程 :第 一 个 方 程 对 积 分 , 得 到对 此 等 式 两 边 关 于 求 导 , 得于 是积 分 后 得 到2323yu=-,-xy将 代 入 , 得 到因 此 , 方 程 的 通 解 为这 里 的 是 任 意 常 数 。222224.1x(y-)d+y=0;-,(-)0.y-=.xxcee求 下 列 方 程 的 解 :解 : 重 新 “分 项 组 合 ”得 到( )于
5、 是 , 方 程 的 通 解 为 ,2x222x32x232x23.(+3)dy=0;.(-+)d()=0,(-)cxdeye解 : 方 程 两 边 同 乘 以 得即于 是 方 程 的 通 解 为 222322223.-=(+)dx;yd-1.,d(arctn-x)=0,rt-4.ydx(+)=0;1,1-,yd(-)=0,-yxyxxyxcyy解 : 方 程 两 边 同 除 以 ( ) , 得即于 是 方 程 的 通 解 为解 : 方 程 两 边 同 乘 以 并 且 重 新 分 项 组 合 得 ,( )即于 是 方 程 通 解 为2022025210281520228153dy5.=+0,x
6、,()t),(x=t+,0()t)+.(640dy=,+.0640xtdttx123求 方 程 通 过 点 ( ) 的 第 三 次 近 似 解 。解 : ( )所 以 方 程 通 过 点 ( ) 的 第 三 次 近 似 解 为20221 22112352235dy6.=-,x-(t),=-(t)-4-+-,460dy=1,01-,46xxdtdtxx求 方 程 通 过 点 ( ) 的 第 二 近 似 解解 : ( ) ,所 以 , 方 程 通 过 点 ( ) 的 第 二 近 似 解 为22023102220-7.=-,:+1,01=max| -|=4,hmin(a,)=4|(1)|x+|x+(
7、-;()=yxdyRxyx bMd求 初 值 问 题的 解 的 存 在 区 间 , 并 求 第 二 次 近 似 解 , 给 出 在 解 的 存 在 区 间 的 误 差 估 计解 : 因 为 M则则 解 的 存 在 区 间 为令 ( ) 473123211=-+9862fx,|L*1|x-()|=4x xMLh又则 : 误 差 估 计 为 : ( )8.解下列方程,并求奇解(如果存在的话):1、42dxyxy解:令 ,则 ,p42px两边对 x 求导,得 dxpxd3240213px从 得 时, ;0213xp234,1y从 得 ,d22,cpycx为参数, 为任意常数.00经检验得 ,是方程奇
8、解.3124xpy2、2dx解:令 ,则 ,py2pxy两边对 x 求导,得 dxp1,2解之得 ,cpx1ln2所以 ,y2且 y=x+1 也是方程的解,但不是奇解.9.试证 n 阶非齐线形微分方程(4.1)存在且最多存在 n+1 个线形无关解。证:设 为(4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组, 是(4.1)txtxn,21 tx的一个解,则: (1) ,均为(4.1)的,21 txtxtn解。同时(1)是线形无关的。事实上:假设存在常数 ,使得:121,nctxctxcctxc txctxtxtx iniiniinini nn1111 120: 0 , 则 有 :否 则 , 若我 们 说
9、 :即 (*)的左端为非齐线形方程的解,而右端为齐线形方程的解,矛盾!从而有 01txcini又 为(4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组,tn,2故有: 0:,0121 nnccc进 而 有即(1)是线形无关的。10.求下列常系数线性微分方程:1. 3254 txx解:特征方程 有根 2,两重根 105431齐线性方程的通解为 x= tttecec321又因为 0 不是特征根,故可以取特解行如 代入原 BtAx方程解得 A=-4,B=-1故通解为 x= -4-ttttecec3212. txos解:特征方程 有复数根0131,23i2,31i1故齐线性方程的通解为 ttt ecectecx
10、 31221sinos取特解行如 代入原方程解得 A=tBtAxsinco 21,B故通解为 ttt ecete32121i3 )sin(o21t3. txsin8解:特征方程 有根 -2, 10212故齐线性方程的通解为 x= ttec因为+-2i 不是特征根取特解行如 代入原方程解得 A=tBtAx2sinco 56,2B故通解为 x= tte21tsi564. textcos32解:特征方程 有根 -1+ i, -1- i032122故齐线性方程的通解为 tectecxtt sinos不是特征方程的根, 取特解行如 代入i1 teBAx)sino(原方程解得 A= 41,5B故通解为 +
11、tectecxtt 2sin2os1tet)si41c5(5. tsin解:特征方程 有根 i, - i0212故齐线性方程的通解为 tctxsno, i,是方程的解 代入原方程解得txsin1 )i(BAA= B=0 故2txcs2代入原方程解得txcos tBA2inoA= B=0 故31txcs31故通解为 i21tcs1to311.试证:如果 是 =Ax 满足初始条件 的解,那么)(t )(0texp A(t-t )0证明:由定理 8 可知 (t) -1(t0) (t) )(t tdsf0)(1-又因为 (t)= expA t , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At
12、0), f(s)=0,又因为矩阵 (At)(- At 0)= (- At 0)(At)所以 expA(t-t )(12.试求方程组 =Ax 的一个基解矩阵,并计算 expAt,其中 A 为:a) b)213421解:a)det( EA)=0 得 , 123对应于 的特征向量为 u , ( 0 )1 对应于 的特征向量为 v , ( )2321u ,v 是对应于 , 的两个线性无关的特征向量3112(t)= 是一个基解矩阵ttee33)2()2(ExpAt= tttttt ee3333 )2()2(1b) 由 det( EA)=0 得 5, 112解得 u ,v 是对应于 , 的两个线性无关的特征向量2112则基解矩阵为 (t) tte5(0) 1 (0)21312则 expAt(t) 1 (0) tttt ee553