1、1数列与不等式本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 满分为 150 分，考试时间为 120 分钟.第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在数列a n中，a 1=14，3a n=3an+1+2，则使 anan+20 且 a11|a10|，S n 是数列a n的前 n 项和，则使 Sn0 的n 的最小值是（ ）A.21 B.20 C.10 D.117 （理）已知首项为 a、公比为 q（0m（其中n、mN *） ，S n- Sm 的最大值是（ ）A.5 B.10 C.15 D.2
2、09已知等差数列a n的前 n 项和是 Sn，且 a1=2008，且存在自然数 p10，使得 Sp=ap，则当 np 时，S n 与 an 的大小关系是（ ）A.anS n B.anSn C.anS n D.anN B.MTn+1？若对一切正整数 n，总有 Tnm，求 m 的取值范围.418 （本小题满分 12 分）（理）已知数列a n是首项为 q、公比为 q 的等比数列（其中 q0 且 q1） ，设（其中 nN *）.nb2log（1）当 q=2 时，求数列b n的前 n 项和为 Sn；（2）在（1）的条件下，求 的值；alim（3）当 时，在数列b n中，是否存在最小的自然数 n，使得对任
3、意的087qmn（m N *） ，都有 bmbn？证明你的结论 .（文）数列a n的通项公式是 an = （其中 nN *） ，前 n 项和nC32C1为 Sn.（1）化简数列a n的通项公式 an；（2）求证： .112S19 （本小题满分 12 分）医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法，通常将这种病毒细胞 m 个注入一只小白鼠的体内进行试验 .在试验过程中，将病毒细胞的数量（个）与时间（h）的关系记录如下表：时间（h） 1 2 3 4 5 6 7 病毒细胞总数（个） m 2m 4m 8m 16m 32m 64m 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过 m106
4、个时，小白鼠将死亡，但有一种药物对杀死此种病毒有一定的效果，在最初使用此药物的几天内，每次用药可杀死其体内该病毒细胞的 98%.（1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（答案精确到小时，参考数据：lg 2=0.301 0）520 （本小题满分 12 分）已知函数 f (x)=x+1，点 (nN *)在 y = f -1(x)上，且 a1=a2=1.,1(a（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，若 Snm 恒成立，求常数 m 的取值范围.)!1(!321Sn21 （本小题满分 12 分）已知数列a n满
5、足：a 1=2，a 2=3，2a n+1=3an-an-1(n2).（1）求数列a n的通项公式 an；（2）求使不等式 成立的所有正整数 m、n 的值.31m622 （本小题满分 12 分）已知点 P1、P 2、P 3、P n、顺次为曲线 xy= （x0）上的点（如图所示） ，点 Q1、Q 2、Q 3、Q n、顺次为 x 轴上的点，且OP 1Q1、OP 2Q2、Q n-1PnQn、均为等边三角形. 记点 Qn(cn，0)，P n(an，b n) (其中 nN *).（1）求数列c n(nN *)的通项公式；（2） （理）求数列a n(n N* )的通项公式及 的ncalim值；（文）求数列a
6、 n(n N* )的通项公式.（3） （理）求证： (其中 nN * ).24112232 naa（文）求证： (其中 nN * ).664421ncc7参考答案1A 由已知得 an+1-an= ，a n=14+(n-1)( )3232= ，a nan+2= 0， ，当 n1，a n+1 an 且107n1a2007=a2006；当 n2007 时， -a10，a 11+a100，2a 1+19d0，2a 1-19d.令Sn=na1+ d=n 0 即 2a1+(n-1)d0，而 2a1+(n-1)d-19d+(n-1)d)(2)(1=(n-20)d，需(n -20)d0，又 d0，因此 n20
7、，选 B.7 （理）由题意得 (1-q2)S=(1-q2) =a(1+q)=q，aS1a= =1- ，又 00 得 40，因此 ap-1p 时，S n-1=a1+a2+an-1Sn.10B 设数列a n的公差是 d，则 dd)(2)1(1， 且 a1 ，d=-1 且 a1=2，a n=2-(n-1)=3-28 728an2009，因此使 an p .10322 31032因此结合各选项知选 C.12A 设一月份投入的建设资金与一月份的利润均为 a，每月增加投入的百分率为 r，则各月的利润依次组成一个数列a n，其中 an=na(1n12，nN *)，各月的建设资金依次组成一个数列b n，其中
8、bn=a(1+r)n-1(1n12，nN *)，由于 a1=b1，a 12=b12，结合函数 y=ax 与 y=a(z1+r)x-1 的图象可知 a2b2，a 3b3，a 11b11，因此 MN.13 （理）-1 由题意得 a1+a9 ，3 -1 .014 （理）20 由题意得，经过 n 次这样的折叠后其厚度是 0.12n mm，令0.12n100103=105 得，2 n106，n ，因此经过 20 次这样的折叠后其厚31.62lg度开始大于 100 m.（文）20 当此设备使用了 n 年时，此设备的平均费用是 n2)1(02500 =20500，当且仅当 =n，即 n=20 时取得)140
9、(5n)1402(4等号.15 由已知得 2b2=a2+c2，cos B= 23 acacacb422222 ，因此 sinB= .14acos13916 （理）10 依题意得 (n2)，又 bn+cn=1，则 +cn=1， =1，由1ncb11ncb1=c1，b 1+c1=1 得 b1=c1= ，则 cn= ，b n= ，所以 an=bn-bn-21= =n(n+1)，因此数列 中最接近 108 的项是第 10 项.,)(nana（文）x=y 由等比数列的性质知(S 20-S10)2=S10(S30-S20)，即 S10S30-102021SS10S20，也即 =S10(S20+S30)，则
10、 x=y.20117 （1）设公差为 d（d0） ，则有 =a1a4，(2+d) 2=2(2+3d)，由此解得 d=0（舍去）或2d=2，因此 an=2+2(n-1)=2n；（2）由（1）得 n(n+1)，2)(S ，即 n2(nN * )；11)2)nnnTT =1，T 2=T3= ，又n2 时，T nTn+1，各项中数值最大值为 ，对一1S 23切正整数 n，总有 Tnm 恒成立，因此 m .23命题动向 近年来的全国各地的高考试题中，有关等差、等比数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式的基本考查常有出现，这就要求考生对于这方面的知识比较熟悉，做到灵活地使用，同时注意与其他知识间的联系.
11、18 （理） （1）当 q=2 时，a n=2n，b n=2nlog22n=n2n，S n=121+222+n2n ，2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1 ，由-得，-S n=21+22+2n-n2n+1= -n2n+1=2n+1- n2n+1+2，1；n（2）由（1）得 ；2)2(lim2limli 1 nnnnnaS（3）当 q= 时，存在最小的自然数 n=2008，使得对任意的 mn（mN *） ，都有087bmbn.证明如下：当 q= 且 n2008 时，a n= ，b n=n log2 ，b n+1-bn20872087n08710=(n+1) log2 -n log2
12、 = 1087n087n087n2087nlog2 0，由于 1 0，log 2 0，20即 bn+1bn，数列 bn从第 2008 项开始各项随着 n 的增大而增大，故存在最小的自然数 n=2008，使得对任意的 mn（m N *） ，都有 bmbn.（文） （1）由 an= ，nC32C1an= ，即12)()( nan= ，10 nn由+得 2an= 2n，)C(0则 an=n2n-1；（2）由 an=n2n-1 得 Sn=120+221+322+n2n-1 ，2Sn=121+222+323+（n-1）2 n-1+n2n ，由-得- Sn=1+21+22+2n-1-n2n= 2n，S n
13、=(n-1)2n+1，nn)(1 ,12122121 nnnnSS因此 .21n规律总结 有关数列前 n 项和的求解问题，具体问题应当进行具体分析. 当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成，则此时可采用错位相减法. 把其前 n 项和的表示式两边同时乘以公比，然后两式相减，从而求解. 当一个数列a n满足：a 1+an=a2+an-1=时，可考虑采用倒序相加法来求其前 n 项和.19.（1）设第一次最迟在第 n（h）时注射药物 由病毒细胞的生长规律可知，第 n（h）时病毒细胞的数量是 2n-1m 个.因此为了使小白鼠在试验过程中不死亡，应有 2n-1mm10 6，即 2
14、n-110 6，(n-1)lg26，n1+ 20.9， 第一次最迟应在第 20（h）时注射该种药物；lg（2）第 20（h）时的小白鼠体内的病毒细胞数是 210m(1-98%)= 个.10211设第一次注射药物后的第 t 小时必须注射药物，则 2tm10 6，即102t+2010 8，( t+20)lg28，t -206.57，因此第二次注射药物的时间最迟应在自开2lg始注射该种药物后的第 6（h） ，才能维持白鼠的生命.规律总结 解决实际应用问题的一般步骤：（1）读题：反复读题，领悟题目的数学本质，弄清题中出现的每个量及其数学含义；（2）建模：恰当地设出关键量，根据题意进行数学化设计，建立目
15、标函数（函数模型） ；（3）求解：用相关的函数知识进行数学上的计算；（4）反馈：把计算获得的结果返回到实际问题中，写出答案.20 （1）f (x)= x+1 的反函数是 f -1(x)=x-1，点(n+1 ， )（nN *）在反函数图象上， =n，a1 a1而 a1=1， =123(n-1)，a n=(n-1)！；1231n（2） ,)1()!()!()!( nS n= ,1321nn又 Sn 随 n 的增大而增大，S nS 1= ，由 Snm 得，m0，因此 cn=2 .,)1(421n（2） （理）由已知得Q nPn+1Qn+1 是等边三角形，所以当 n2 时，a n-cn-1= (cn-
16、cn-1)，2an= (cn+cn-1)= + .又 a1=1= + ，所以数列a n的通项公式是1an= + ， =1ncnn2limli .12li（文）由已知得Q nPn+1Qn+1 是等边三角形，所以当 n2 时，a n-cn-1= (cn-cn-1)，an= (cn+cn-1)= + .又 a1=1= + ，所以数列a n的通项公式是21an= + .1（3） （理）由（2）得 an= + ，a nan+1=( + )（ + ）1n =n，当 n2 时，有 ，即n)1(122 ，an112 )312()()21()2(122321na+ =3-2 +1- =4-2 - 4-2 ，)(
17、n当 n=1 时， .2423)1(21 a综上所述， （其中 nN *）.212321na14（文）由（1）得 ，且当 n2 时， ，2416cn2416ncn1)(=2 2，)3()(64421cn 当 n=1 时， .14综上所述， （其中 nN *）.2664421ncc规律总结 有关数列背景下的不等式的证明问题，在处理过程中常常会涉及放缩法的使用，这就要求考生对于放缩法的使用技巧有一定的积累，否则难以完成. 常见的数列问题中的放缩方式有：（1） （n2） ；n12（2） ；n1（3）2( - )= =2( - )；nnn122 1（4）当 1kn 时，k (k-1)n(k-1)，即 k(n-k+1)n；（5） .21)2)(2
